Векторная авторегрессия

Статистическая модель для расчета значений нескольких величин по мере их изменения с течением времени

Векторная авторегрессия ( VAR ) — это статистическая модель, используемая для описания взаимосвязи между несколькими величинами по мере их изменения с течением времени. VAR — это тип модели стохастического процесса . Модели VAR обобщают модель авторегрессии с одной переменной (одномерную) , допуская многомерные временные ряды . Модели VAR часто используются в экономике и естественных науках .

Как и в модели авторегрессии, каждая переменная имеет уравнение, моделирующее ее эволюцию с течением времени. Это уравнение включает в себя запаздывающие (прошлые) значения переменной, запаздывающие значения других переменных в модели и погрешность . Модели VAR не требуют столько знаний о силах, влияющих на переменную, как структурные модели с одновременными уравнениями . Единственное необходимое предварительное знание — это список переменных, которые, как можно предположить, влияют друг на друга с течением времени.

Спецификация

Определение

Модель VAR описывает эволюцию набора из k переменных, называемых эндогенными переменными , с течением времени. Каждый период времени пронумерован, t = 1, ..., T . Переменные собраны в векторе y t _, длина которого k. (Эквивалентно, этот вектор можно описать как матрицу ( k  × 1) . Вектор моделируется как линейная функция его предыдущего значения. Компоненты вектора обозначаются как y _{i , t} , что означает наблюдение в момент времени t i -й переменной . Например, если первая переменная в модели измеряет цену пшеницы с течением времени, то y _1,1998 будет указывать цену пшеницы в 1998 году.

Модели VAR характеризуются их порядком , который относится к числу более ранних периодов времени, которые будет использовать модель. Продолжая приведенный выше пример, VAR 5-го порядка будет моделировать цену пшеницы каждого года как линейную комбинацию цен на пшеницу последних пяти лет. Лаг — это значение переменной в предыдущем периоде времени. Таким образом, в общем случае VAR p -го порядка относится к модели VAR, которая включает лаги для последних p периодов времени. VAR p -го порядка обозначается как «VAR( p )» и иногда называется «VAR с p лагами». Модель VAR p -го порядка записывается как

${\displaystyle y_{t}=c+A_{1}y_{t-1}+A_{2}y_{t-2}+\cdots +A_{p}y_{t-p}+e_{t},\,}$

Переменные вида y _{t −i} указывают значение переменной i периодами времени раньше и называются "i- м лагом" y _t . Переменная c является k -вектором констант, служащим отсекателем модели . A _i является инвариантной во времени ( k  ×  k )-матрицей, а e _t является k -вектором членов ошибки . Члены ошибки должны удовлетворять трем условиям:

1. ${\displaystyle \mathrm {E} (e_{t})=0\,}$. Каждый член ошибки имеет среднее значение , равное нулю.
2. ${\displaystyle \mathrm {E} (e_{t}e_{t}')=\Omega \,}$. Текущая ковариационная матрица ошибок представляет собой положительно-полуопределенную матрицу размером k  ×  k, обозначаемую Ω.
3. ${\displaystyle \mathrm {E} (e_{t}e_{t-k}')=0\,}$для любого ненулевого k . Нет никакой корреляции во времени. В частности, нет никакой последовательной корреляции в индивидуальных терминах ошибок. ^[1]

Процесс выбора максимального лага p в модели VAR требует особого внимания, поскольку вывод зависит от правильности выбранного порядка лага. ^{[2] [3]}

Порядок интегрирования переменных

Обратите внимание, что все переменные должны иметь одинаковый порядок интегрирования . Следующие случаи являются различными:

• Все переменные I(0) (стационарны): это стандартный случай, т.е. VAR на уровне
• Все переменные являются I( d ) (нестационарными) с d  > 0: ^{[ необходима ссылка ]}
  • Переменные коинтегрированы : член коррекции ошибок должен быть включен в VAR. Модель становится векторной моделью коррекции ошибок (VECM), которую можно рассматривать как ограниченную VAR.
  • Переменные не коинтегрированы : во-первых, переменные должны быть разнесены d раз, и в результате получается VAR-разность.

Краткая матричная запись

Векторы можно сложить, чтобы записать VAR( p ) как стохастическое матричное разностное уравнение с краткой матричной записью:

${\displaystyle Y=BZ+U\,}$

Пример

VAR(1) с двумя переменными можно записать в матричной форме (более компактная запись) как

${\displaystyle {\begin{bmatrix}y_{1,t}\\y_{2,t}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}\\a_{2,1}&a_{2,2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{1,t-1}\\y_{2,t-1}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}e_{1,t}\\e_{2,t}\end{bmatrix}},}$

(в котором появляется только одна матрица A, поскольку в этом примере максимальный лаг p равен 1), или, что эквивалентно, как следующая система двух уравнений

${\displaystyle y_{1,t}=c_{1}+a_{1,1}y_{1,t-1}+a_{1,2}y_{2,t-1}+e_{1,t}\,}$

${\displaystyle y_{2,t}=c_{2}+a_{2,1}y_{1,t-1}+a_{2,2}y_{2,t-1}+e_{2,t}.\,}$

Каждая переменная в модели имеет одно уравнение. Текущее (время t ) наблюдение каждой переменной зависит от ее собственных запаздывающих значений, а также от запаздывающих значений каждой другой переменной в VAR.

Запись VAR(п) как VAR(1)

VAR с p лагами всегда можно эквивалентно переписать как VAR с одним лагом, соответствующим образом переопределив зависимую переменную. Преобразование сводится к наложению лагов переменной VAR( p ) в новую зависимую переменную VAR(1) и добавлению тождеств для завершения точного числа уравнений.

Например, модель VAR(2)

${\displaystyle y_{t}=c+A_{1}y_{t-1}+A_{2}y_{t-2}+e_{t}}$

может быть преобразована в модель VAR(1)

${\displaystyle {\begin{bmatrix}y_{t}\\y_{t-1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c\\0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}A_{1}&A_{2}\\I&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{t-1}\\y_{t-2}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}e_{t}\\0\end{bmatrix}},}$

где I — единичная матрица .

Эквивалентная форма VAR(1) более удобна для аналитических выводов и допускает более компактные выражения.

Структурная и редуцированная формы

Структурный VAR

Структурная VAR с p-лагами (иногда сокращенно SVAR ) — это

${\displaystyle B_{0}y_{t}=c_{0}+B_{1}y_{t-1}+B_{2}y_{t-2}+\cdots +B_{p}y_{t-p}+\epsilon _{t},}$

где c ₀ —  вектор констант размером k × 1, B _i — матрица размером k  ×  k (для каждого i = 0, ..., p ), а ε _t — вектор ошибок размером k  × 1. Главные диагональные члены матрицы B ₀ (коэффициенты при i ^-й переменной в i ^-м уравнении) масштабируются до 1.

Ошибочные члены ε _t ( структурные шоки ) удовлетворяют условиям (1) - (3) в определении выше, с той особенностью, что все элементы вне диагонали ковариационной матрицы равны нулю. То есть структурные шоки некоррелированы. ${\displaystyle \mathrm {E} (\epsilon _{t}\epsilon _{t}')=\Sigma }$

Например, структурная VAR(1) с двумя переменными имеет вид:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&B_{0;1,2}\\B_{0;2,1}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{1,t}\\y_{2,t}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{0;1}\\c_{0;2}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}B_{1;1,1}&B_{1;1,2}\\B_{1;2,1}&B_{1;2,2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{1,t-1}\\y_{2,t-1}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\epsilon _{1,t}\\\epsilon _{2,t}\end{bmatrix}},}$

где

${\displaystyle \Sigma =\mathrm {E} (\epsilon _{t}\epsilon _{t}')={\begin{bmatrix}\sigma _{1}^{2}&0\\0&\sigma _{2}^{2}\end{bmatrix}};}$

то есть дисперсии структурных шоков обозначены ( i = 1, 2), а ковариация — . ${\displaystyle \mathrm {var} (\epsilon _{i})=\sigma _{i}^{2}}$ ${\displaystyle \mathrm {cov} (\epsilon _{1},\epsilon _{2})=0}$

Записывая первое уравнение явно и перенося y _2,t в правую часть, получаем

${\displaystyle y_{1,t}=c_{0;1}-B_{0;1,2}y_{2,t}+B_{1;1,1}y_{1,t-1}+B_{1;1,2}y_{2,t-1}+\epsilon _{1,t}\,}$

Обратите внимание, что y _{2, t} может иметь одновременное влияние на y _{1, t,} если B _{0; 1, 2} не равно нулю. Это отличается от случая, когда B ₀ является единичной матрицей (все недиагональные элементы равны нулю — случай в исходном определении), когда y _{2, t} может напрямую влиять на y _{1, t +1} и последующие будущие значения, но не на y _{1, t} .

Из-за проблемы идентификации параметров , обычная оценка наименьших квадратов структурной VAR даст несостоятельные оценки параметров. Эту проблему можно преодолеть, переписав VAR в сокращенной форме.

С экономической точки зрения, если совместная динамика набора переменных может быть представлена ​​моделью VAR, то структурная форма является изображением базовых, «структурных», экономических отношений. Две особенности структурной формы делают ее предпочтительным кандидатом для представления базовых отношений:

1. Ошибочные члены не коррелируют . Структурные экономические шоки, которые управляют динамикой экономических переменных, предполагаются независимыми , что подразумевает нулевую корреляцию между ошибочными членами как желаемое свойство. Это полезно для выделения эффектов экономически не связанных влияний в VAR. Например, нет причин, по которым шок цен на нефть (как пример шока предложения ) должен быть связан со сдвигом в предпочтениях потребителей в отношении стиля одежды (как пример шока спроса ); поэтому можно было бы ожидать, что эти факторы будут статистически независимыми.

2. Переменные могут оказывать одновременное влияние на другие переменные . Это желательная функция, особенно при использовании низкочастотных данных. Например, увеличение ставки косвенного налога не повлияет на налоговые поступления в день объявления решения, но можно обнаружить эффект в данных за этот квартал.

Редуцированная форма VAR

Путем предварительного умножения структурной VAR на обратную величину B ₀

${\displaystyle y_{t}=B_{0}^{-1}c_{0}+B_{0}^{-1}B_{1}y_{t-1}+B_{0}^{-1}B_{2}y_{t-2}+\cdots +B_{0}^{-1}B_{p}y_{t-p}+B_{0}^{-1}\epsilon _{t},}$

и обозначая

${\displaystyle B_{0}^{-1}c_{0}=c,\quad B_{0}^{-1}B_{i}=A_{i}{\text{ for }}i=1,\dots ,p{\text{ and }}B_{0}^{-1}\epsilon _{t}=e_{t}}$

получаем редуцированную VAR p -го порядка

${\displaystyle y_{t}=c+A_{1}y_{t-1}+A_{2}y_{t-2}+\cdots +A_{p}y_{t-p}+e_{t}}$

Обратите внимание, что в сокращенной форме все переменные правой стороны предопределены в момент времени t . Поскольку в правой части нет эндогенных переменных времени t , ни одна переменная не оказывает прямого одновременного влияния на другие переменные в модели.

Однако члены ошибки в редуцированной VAR являются составными структурными шоками e _t = B ₀ ⁻¹ ε _t . Таким образом, возникновение одного структурного шока ε _i,t может потенциально привести к возникновению шоков во всех членах ошибки e _j,t , тем самым создавая одновременное движение во всех эндогенных переменных. Следовательно, ковариационная матрица редуцированной VAR

${\displaystyle \Omega =\mathrm {E} (e_{t}e_{t}')=\mathrm {E} (B_{0}^{-1}\epsilon _{t}\epsilon _{t}'(B_{0}^{-1})')=B_{0}^{-1}\Sigma (B_{0}^{-1})'\,}$

могут иметь ненулевые недиагональные элементы, что допускает ненулевую корреляцию между членами ошибки.

Оценка

Оценка параметров регрессии

Начнем с краткой матричной записи:

${\displaystyle Y=BZ+U\,}$

• Многомерный метод наименьших квадратов (МНК) для оценки B дает:

${\displaystyle {\hat {B}}=YZ'(ZZ')^{-1}.}$

Это можно записать по-другому:

${\displaystyle \operatorname {Vec} ({\hat {B}})=((ZZ')^{-1}Z\otimes I_{k})\ \operatorname {Vec} (Y),}$

где обозначает произведение Кронекера , а Vec — векторизацию указанной матрицы. ${\displaystyle \otimes }$

Эта оценка является последовательной и асимптотически эффективной . Кроме того, она равна условной оценке максимального правдоподобия . ^[4]

• Поскольку объясняющие переменные в каждом уравнении одинаковы, многомерная оценка наименьших квадратов эквивалентна обычной оценке наименьших квадратов , применяемой к каждому уравнению в отдельности. ^[5]

Оценка ковариационной матрицы ошибок

Как и в стандартном случае, оценка максимального правдоподобия (ОМП) ковариационной матрицы отличается от обычной оценки наименьших квадратов (МНК).

Оценщик MLE: ^{[ необходима ссылка ]} ${\displaystyle {\hat {\Sigma }}={\frac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}{\hat {\epsilon }}_{t}{\hat {\epsilon }}_{t}'}$

Оценка по методу наименьших квадратов: ^{[ необходима ссылка ]} для модели с константой, k переменными и p лагами. ${\displaystyle {\hat {\Sigma }}={\frac {1}{T-kp-1}}\sum _{t=1}^{T}{\hat {\epsilon }}_{t}{\hat {\epsilon }}_{t}'}$

В матричной записи это дает:

${\displaystyle {\hat {\Sigma }}={\frac {1}{T-kp-1}}(Y-{\hat {B}}Z)(Y-{\hat {B}}Z)'.}$

Оценка ковариационной матрицы оценщика

Ковариационная матрица параметров может быть оценена как ^{[ требуется ссылка ]}

${\displaystyle {\widehat {\mbox{Cov}}}({\mbox{Vec}}({\hat {B}}))=({ZZ'})^{-1}\otimes {\hat {\Sigma }}.\,}$

Степени свободы

Векторные авторегрессионные модели часто включают оценку многих параметров. Например, при семи переменных и четырех лагах каждая матрица коэффициентов для заданной длины лага имеет размер 7 на 7, а вектор констант имеет 7 элементов, поэтому в общей сложности оценивается 49×4 + 7 = 203 параметра, что существенно снижает степени свободы регрессии (количество точек данных за вычетом количества оцениваемых параметров). Это может повредить точности оценок параметров и, следовательно, прогнозов, даваемых моделью.

Интерпретация оценочной модели

Импульсный ответ

Рассмотрим случай первого порядка (т.е. только с одним запаздыванием) с уравнением эволюции

${\displaystyle y_{t}=Ay_{t-1}+e_{t},}$

для эволюционирующего (состояния) вектора и вектора шоков. Чтобы найти, скажем, влияние j -го элемента вектора шоков на i -й элемент вектора состояния 2 периода спустя, что является конкретной импульсной реакцией, сначала запишите приведенное выше уравнение эволюции с задержкой на один период: ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle e}$

${\displaystyle y_{t-1}=Ay_{t-2}+e_{t-1}.}$

Используйте это в исходном уравнении эволюции, чтобы получить

${\displaystyle y_{t}=A^{2}y_{t-2}+Ae_{t-1}+e_{t};}$

затем повторите, используя дважды запаздывающее уравнение эволюции, чтобы получить

${\displaystyle y_{t}=A^{3}y_{t-3}+A^{2}e_{t-2}+Ae_{t-1}+e_{t}.}$

Отсюда, влияние j -го компонента на i -й компонент есть i, j элемент матрицы ${\displaystyle e_{t-2}}$ ${\displaystyle y_{t}}$ ${\displaystyle A^{2}.}$

Из этого индукционного процесса видно , что любой шок будет оказывать влияние на элементы y бесконечно далеко вперед во времени, хотя со временем эффект будет становиться все меньше и меньше, если предположить, что процесс AR стабилен — то есть, что все собственные значения матрицы A по абсолютной величине меньше 1 .

Прогнозирование с использованием оценочной модели VAR

Оценочную модель VAR можно использовать для прогнозирования , а качество прогнозов можно оценить способами, которые полностью аналогичны методам, используемым в одномерном авторегрессионном моделировании.

Приложения

Кристофер Симс выступал в защиту моделей VAR, критикуя утверждения и производительность более раннего моделирования в макроэкономической эконометрике . ^[6] Он рекомендовал модели VAR, которые ранее появлялись в статистике временных рядов и в системной идентификации , статистической специальности в теории управления . Симс выступал в защиту моделей VAR как предоставляющих метод, свободный от теории, для оценки экономических взаимосвязей, таким образом, являясь альтернативой «невероятным ограничениям идентификации» в структурных моделях. ^[6] Модели VAR также все чаще используются в исследованиях в области здравоохранения для автоматического анализа данных дневников ^[7] или данных датчиков.

Программное обеспечение

• R : Пакет vars включает функции для моделей VAR. ^{[8] [9]} Другие пакеты R перечислены в представлении задач CRAN: анализ временных рядов.
• Python : Модуль tsa (анализ временных рядов) пакета statsmodels поддерживает VAR. PyFlux поддерживает VAR и байесовские VAR.
• SAS : VARMAX
• Статус : "var"
• EViews : "VAR"
• Гретл : "вар"
• Matlab : "варм"
• Регрессионный анализ временных рядов : «СИСТЕМА»
• ЛДТ

Смотрите также

• Байесовская векторная авторегрессия
• Конвергентное перекрестное отображение
• Причинность по Грейнджеру
• Разложение дисперсии

Примечания

1. Для многомерных тестов на автокорреляцию в моделях VAR см. Hatemi-J, A. (2004). "Многомерные тесты на автокорреляцию в стабильных и нестабильных моделях VAR". Economic Modelling . 21 (4): 661–683. doi :10.1016/j.econmod.2003.09.005.
2. Хакер, RS; Хатеми-Дж, А. (2008). «Оптимальный выбор длины лага в стабильных и нестабильных моделях VAR в ситуациях гомоскедастичности и ARCH». Журнал прикладной статистики . 35 (6): 601–615. doi :10.1080/02664760801920473.
3. Хатеми-Дж., А.; Хакер, Р.С. (2009). «Может ли тест LR быть полезен при выборе оптимального порядка лага в модели VAR, когда информационные критерии предполагают разные порядки лага?». Прикладная экономика . 41 (9): 1489–1500.
4. Гамильтон, Джеймс Д. (1994). Анализ временных рядов . Princeton University Press. стр. 293.
5. Зеллнер, Арнольд (1962). «Эффективный метод оценки, казалось бы, не связанных регрессий и тестов на смещение агрегации». Журнал Американской статистической ассоциации . 57 (298): 348–368. doi :10.1080/01621459.1962.10480664.
6. Sims, Christopher (1980). «Макроэкономика и реальность». Econometrica . 48 (1): 1–48. CiteSeerX 10.1.1.163.5425 . doi :10.2307/1912017. JSTOR  1912017. 
7. ван дер Крике и др. (2016). «Временная динамика здоровья и благополучия: краудсорсинговый подход к мгновенным оценкам и автоматизированной генерации персонализированной обратной связи (2016)». Психосоматическая медицина : 1. doi :10.1097/PSY.00000000000000378. PMID  27551988.
8. Бернхард Пфафф Модели VAR, SVAR и SVEC: реализация в пакете R vars
9. Хайндман, Роб Дж.; Атанасопулос, Джордж (2018). «11.2: Векторные авторегрессии». Прогнозирование: принципы и практика. OTexts. стр. 333–335. ISBN 978-0-9875071-1-2.

Дальнейшее чтение

• Астериу, Димитриос; Холл, Стивен Г. (2011). «Модели векторной авторегрессии (VAR) и тесты причинности». Прикладная эконометрика (второе изд.). Лондон: Palgrave MacMillan. С. 319–333.
• Эндерс, Уолтер (2010). Прикладные эконометрические временные ряды (третье изд.). Нью-Йорк: John Wiley & Sons. стр. 272–355. ISBN 978-0-470-50539-7.
• Фаверо, Карло А. (2001). Прикладная макроэконометрика . Нью-Йорк: Oxford University Press. С. 162–213. ISBN 0-19-829685-1.
• Люткеполь, Хельмут (2005). Новое введение в анализ множественных временных рядов . Берлин: Springer. ISBN 3-540-40172-5.
• Цинь, Дуо (2011). «Расцвет подхода к моделированию VAR». Журнал экономических исследований . 25 (1): 156–174. doi :10.1111/j.1467-6419.2010.00637.x.