Линейный поток на торе

В математике , особенно в области математического анализа , известной как теория динамических систем , линейный поток на торе — это поток на n -мерном торе , который представляется следующими дифференциальными уравнениями относительно стандартных угловых координат: $${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}=\underbrace {S^{1}\times S^{1}\times \cdots \times S^{1}} _{n}}$$ ${\displaystyle \left(\theta _{1},\theta _{2},\ldots ,\theta _{n}\right):}$ $${\displaystyle {\frac {d\theta _{1}}{dt}}=\omega _{1},\quad {\frac {d\theta _{2}}{dt}}=\omega _{2},\quad \ldots ,\quad {\frac {d\theta _{n}}{dt}}=\omega _{n}.}$$

Решение этих уравнений можно явно выразить как $${\displaystyle \Phi _{\omega }^{t}(\theta _{1},\theta _{2},\dots ,\theta _{n})=(\theta _{1}+\omega _{1}t,\theta _{2}+\omega _{2}t,\dots ,\theta _{n}+\omega _{n}t){\bmod {2}}\pi .}$$

Если представить тор так, то мы увидим, что начальная точка перемещается потоком в направлении с постоянной скоростью, а достигнув границы унитарного -куба, она перескакивает на противоположную грань куба. ${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}/\mathbb {Z} ^{n}}$ ${\displaystyle \omega =\left(\omega _{1},\omega _{2},\ldots ,\omega _{n}\right)}$ ${\displaystyle n}$

Иррациональное вращение на 2-торе

Для линейного потока на торе либо все орбиты периодические , либо все орбиты плотны на подмножестве -тора, которое является -тором. Когда компоненты рационально независимы, все орбиты плотны на всем пространстве. Это легко увидеть в двумерном случае: если две компоненты рационально независимы, то сечение Пуанкаре потока на ребре единичного квадрата является иррациональным вращением на окружности, и поэтому его орбиты плотны на окружности, как следствие, орбиты потока должны быть плотны на торе. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$

Иррациональная обмотка тора

В топологии иррациональная обмотка тора — это непрерывная инъекция линии в двумерный тор , которая используется для постановки нескольких контрпримеров. ^[1] Связанное понятие — слоение Кронекера тора, слоение, образованное множеством всех трансляций данной иррациональной обмотки.

Определение

Один из способов построения тора — это фактор-пространство двумерного действительного векторного пространства по аддитивной подгруппе целочисленных векторов с соответствующей проекцией Каждая точка в торе имеет в качестве своего прообраза один из трансляций квадратной решетки в и пропускается через отображение, которое переводит любую точку плоскости в точку в единичном квадрате, заданном дробными частями декартовых координат исходной точки. Теперь рассмотрим прямую в заданную уравнением Если наклон прямой рационален , то он может быть представлен дробью и соответствующей точкой решетки Можно показать, что тогда проекция этой прямой является простой замкнутой кривой на торе. Если же иррационально , ​​то она не пересечет никаких точек решетки, кроме 0, что означает, что ее проекция на тор не будет замкнутой кривой, а ограничение на эту прямую является инъективным . Более того, можно показать, что образ этой ограниченной проекции как подпространства, называемого иррациональной обмоткой тора, плотен в торе. ${\displaystyle \mathbb {T^{2}} =\mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}}$ ${\displaystyle \pi :\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {T^{2}} .}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle [0,1)^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle y=kx.}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}.}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \pi }$

Приложения

Иррациональные обмотки тора могут быть использованы для установления контрпримеров, связанных с мономорфизмами . Иррациональная обмотка является погруженным подмногообразием , но не регулярным подмногообразием тора, что показывает, что образ многообразия при непрерывной инъекции в другое многообразие не обязательно является (регулярным) подмногообразием. ^[2] Иррациональные обмотки также являются примерами того факта, что топология подмногообразия не обязательно должна совпадать с топологией подпространства подмногообразия. ^[2]

Во-вторых, тор можно рассматривать как группу Ли , а прямую можно рассматривать как . Тогда легко показать, что образ гомоморфизма непрерывной и аналитической группы не является регулярным подмногообразием для иррационального ^{[2] [3],} хотя это погруженное подмногообразие, и, следовательно, подгруппа Ли. Его также можно использовать, чтобы показать, что если подгруппа группы Ли не замкнута, фактор не обязательно должен быть многообразием ^[4] и может даже не быть хаусдорфовым пространством . ${\displaystyle U(1)\times U(1)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x\mapsto \left(e^{ix},e^{ikx}\right)}$ ${\displaystyle k,}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G/H}$

Смотрите также

• Полностью интегрируемая система  – Свойство некоторых динамических системPages displaying short descriptions of redirect targets
• Эргодическая теория  – раздел математики, изучающий динамические системы.
• Список топологий  – Список конкретных топологий и топологических пространств
• Квазипериодическое движение  – тип движения, который приблизительно является периодическим.
• Торический узел  – узел, который лежит на поверхности тора в трехмерном пространстве.

Примечания

^  а:  Как топологическое подпространство тора, иррациональная обмоткавообще не является многообразием , поскольку она локально не гомеоморфна . ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Ссылки

1. Д. П. Желобенко (январь 1973). Компактные группы Ли и их представления. ISBN 9780821886649.
2. Loring W. Tu (2010). Введение в многообразия . Springer. стр. 168. ISBN 978-1-4419-7399-3.
3. Чап, Андреас; Словак, Ян (2009), Параболическая геометрия: предыстория и общая теория, AMS, с. 24, ISBN 978-0-8218-2681-2
4. Шарп, Р.В. (1997), Дифференциальная геометрия: обобщение Картаном программы Эрлангена Кляйна , Springer-Verlag, Нью-Йорк, стр. 146, ISBN 0-387-94732-9

Библиография

• Каток, Анатоль; Хассельблатт, Борис (1996). Введение в современную теорию динамических систем . Кембридж. ISBN 0-521-57557-5.