В геометрии многогранник (например, многоугольник или полиэдр ) или мозаика является изогональной или вершинно-транзитивной, если все его вершины эквивалентны относительно симметрий фигуры. Это подразумевает, что каждая вершина окружена теми же видами граней в том же или обратном порядке и с теми же углами между соответствующими гранями.
Технически, говорят, что для любых двух вершин существует симметрия многогранника, отображающая первую изометрически на вторую. Другие способы сказать это — то, что группа автоморфизмов многогранника действует транзитивно на его вершинах, или что вершины лежат внутри одной орбиты симметрии .
Все вершины конечной n -мерной изогональной фигуры существуют на ( n −1) -сфере . [1]
Термин изогональный долгое время использовался для многогранников. Вершинно-транзитивный — это синоним, заимствованный из современных идей, таких как группы симметрии и теория графов .
Псевдоромбокубооктаэдр , который не является изогональным, демонстрирует, что простое утверждение о том, что «все вершины выглядят одинаково», не является столь ограничительным, как используемое здесь определение, которое включает группу изометрий, сохраняющих многогранник или мозаику.
Все правильные многоугольники , апейрогоны и правильные звездчатые многоугольники являются изогональными . Двойственный многоугольник изогонального многоугольника является изотоксальным многоугольником .
Некоторые четносторонние многоугольники и апейрогоны, у которых чередуются две длины сторон, например, прямоугольник , являются изогональными .
Все плоские изогональные 2 n -угольники имеют диэдральную симметрию (D n , n = 2, 3, ...) с линиями отражения, проходящими через точки середины ребра.
Изогональный многогранник и 2D-мозаика имеют один вид вершины. Изогональный многогранник со всеми правильными гранями также является однородным многогранником и может быть представлен нотацией конфигурации вершин , упорядочивающей грани вокруг каждой вершины. Геометрически искаженные вариации однородных многогранников и мозаик также могут быть заданы конфигурацией вершин.
Изогональные многогранники и двумерные мозаики можно дополнительно классифицировать:
Эти определения можно распространить на многогранники и мозаики более высокой размерности . Все однородные многогранники являются изогональными , например, однородные 4-мерные многогранники и выпуклые однородные соты .
Двойственная фигура изогонального многогранника — это изоэдральная фигура , транзитивная на своих гранях .
Многогранник или мозаика могут быть названы k -изогональными , если их вершины образуют k классов транзитивности. Более строгий термин, k -однородный, определяется как k-изогональная фигура, построенная только из правильных многоугольников . Их можно визуально представить цветами с помощью различных однородных раскрасок .