В области современной алгебры, известной как теория групп , группа Янко J 2 или группа Холла-Янко HJ является спорадической простой группой порядка
J 2 является одной из 26 спорадических групп и также называется группой Холла–Янко–Уэйлса . В 1969 году Звонимир Янко предсказал J 2 как одну из двух новых простых групп, имеющих 2 1+4 :A 5 в качестве централизатора инволюции (другая — группа Янко J3 ). Она была построена Маршаллом Холлом и Дэвидом Уэйлсом (1968) как группа перестановок ранга 3 на 100 точках.
И множитель Шура , и внешняя группа автоморфизмов имеют порядок 2. Как группа перестановок на 100 точках J 2 имеет инволюции, перемещающие все 100 точек, и инволюции, перемещающие только 80 точек. Первые инволюции являются произведениями 25 двойных переносов, нечетного числа, и, следовательно, поднимаются до 4-элементов в двойном покрытии 2.A 100 . Двойное покрытие 2.J 2 встречается как подгруппа группы Конвея Co 0 .
J 2 — единственная из 4 групп Янко, которая является подфактором группы монстров ; таким образом, она является частью того, что Роберт Грайс называет Счастливой семьей. Поскольку она также находится в группе Конвея Co1 , она, следовательно, является частью второго поколения Счастливой семьи.
Это подгруппа индекса два группы автоморфизмов графа Холла–Янко , приводящая к перестановочному представлению степени 100. Это также подгруппа индекса два группы автоморфизмов почти октагона Холла–Янко [1], приводящая к перестановочному представлению степени 315.
Он имеет модульное представление размерности шесть над полем из четырех элементов; если в характеристике два мы имеем w 2 + w + 1 = 0 , то J 2 генерируется двумя матрицами
и
Эти матрицы удовлетворяют уравнениям
(Обратите внимание, что умножение матриц в конечном поле порядка 4 определяется несколько иначе, чем обычное умножение матриц. См. Конечное поле § Поле с четырьмя элементами для получения конкретных таблиц сложения и умножения, где w совпадает с a , а w 2 совпадает с 1 + a .)
Таким образом, J 2 является группой Гурвица , конечным гомоморфным образом группы треугольника (2,3,7) .
Представление матрицы, данное выше, представляет собой вложение в группу Диксона G 2 (4) . Существует только один класс сопряженности J 2 в G 2 (4). Каждая подгруппа J 2 , содержащаяся в G 2 (4), расширяется до подгруппы J 2 :2 = Aut(J 2 ) в G 2 (4):2 = Aut( G 2 (4)) ( G 2 (4) расширяется полевыми автоморфизмами F 4 ). G 2 (4) в свою очередь изоморфна подгруппе группы Конвея Co 1 .
Существует 9 классов сопряженности максимальных подгрупп J 2 . Некоторые из них описаны здесь в терминах действия на графе Холла–Янко.
Максимальный порядок любого элемента — 15. Как перестановки, элементы действуют на 100 вершинах графа Холла–Янко.
