Шум Джонсона-Найквиста ( тепловой шум , шум Джонсона или шум Найквиста ) — это электронный шум , создаваемый тепловым возбуждением носителей заряда (обычно электронов ) внутри электрического проводника в состоянии равновесия, которое происходит независимо от любого приложенного напряжения . Тепловой шум присутствует во всех электрических цепях , а в чувствительном электронном оборудовании (например, радиоприемниках ) может заглушать слабые сигналы и может быть ограничивающим фактором чувствительности электроизмерительных приборов. Тепловой шум увеличивается с ростом температуры. Некоторое чувствительное электронное оборудование, такое как приемники радиотелескопов, охлаждается до криогенных температур, чтобы уменьшить тепловой шум в их цепях. Общий статистический физический вывод этого шума называется теоремой о флуктуации-диссипации , где для характеристики среды используется обобщенный импеданс или обобщенная восприимчивость .
Тепловой шум в идеальном резисторе примерно белый , что означает, что спектральная плотность мощности почти постоянна во всем частотном спектре , но затухает до нуля на чрезвычайно высоких частотах ( терагерц для комнатной температуры ). При ограничении конечной полосы пропускания тепловой шум имеет почти гауссово распределение амплитуды . [1]
Этот тип шума был обнаружен и впервые измерен Джоном Б. Джонсоном в Bell Labs в 1926 году. [2] [3] Он описал свои открытия Гарри Найквисту , также из Bell Labs, который смог объяснить результаты. [4]
Как заявил Найквист в своей статье 1928 года, сумма энергии в нормальных режимах электрических колебаний будет определять амплитуду шума. Найквист использовал закон равнораспределения Больцмана и Максвелла. Используя концепцию потенциальной энергии и гармонических осцилляторов закона равнораспределения, [5]
где – плотность мощности шума в (Вт/Гц), – постоянная Больцмана и – температура . Умножение уравнения на полосу пропускания дает результат в виде мощности шума.
где N — мощность шума, а Δf — полоса пропускания .
Тепловой шум отличается от дробового шума , который состоит из дополнительных флуктуаций тока, возникающих при подаче напряжения и начале протекания макроскопического тока. В общем случае приведенное выше определение применимо к носителям заряда в любом типе проводящей среды (например, ионам в электролите ), а не только к резисторам . Его можно смоделировать с помощью источника напряжения, представляющего шум неидеального резистора, включенного последовательно с идеальным безшумовым резистором.
Односторонняя спектральная плотность мощности или отклонение напряжения (среднеквадратичное) на герц полосы пропускания определяется выражением
где k B — постоянная Больцмана в джоулях на кельвин , T — абсолютная температура резистора в кельвинах, а R — номинал резистора в омах (Ом). Использование этого уравнения для быстрого расчета при комнатной температуре:
Например, резистор сопротивлением 1 кОм при температуре 300 К имеет
Для заданной полосы пропускания среднеквадратичное значение (RMS) напряжения определяется выражением
где Δf — полоса пропускания в герцах, в которой измеряется шум. Для резистора сопротивлением 1 кОм при комнатной температуре и полосе пропускания 10 кГц среднеквадратичное шумовое напряжение составляет 400 нВ. [6] Следует запомнить полезное эмпирическое правило: сопротивление 50 Ом при полосе пропускания 1 Гц соответствует шуму 1 нВ при комнатной температуре.
Резистор при коротком замыкании рассеивает мощность шума
Шум, создаваемый резистором, может передаваться на остальную схему; максимальная передача мощности шума происходит при согласовании импедансов , когда эквивалентное сопротивление Тевенена оставшейся цепи равно шумогенерирующему сопротивлению. В этом случае каждый из двух участвующих резисторов рассеивает шум как в себе, так и в другом резисторе. Поскольку на любом из этих резисторов падает только половина напряжения источника, результирующая мощность шума определяется выражением
где P — мощность теплового шума в ваттах. Обратите внимание, что это не зависит от сопротивления, создающего шум.
Источник шума также можно смоделировать источником тока, включенным параллельно с резистором. Взятие нортоновского эквивалента источника напряжения соответствует делению шумового напряжения на R. Это дает среднеквадратичное значение источника тока как:
Мощность сигнала часто измеряется в дБм ( децибелы относительно 1 милливатт ). Из приведенного выше уравнения мощность шума в резисторе при комнатной температуре в дБм равна:
При комнатной температуре (300 К) это примерно
Используя это уравнение, легко рассчитать мощность шума для различных полос пропускания:
Идеальные конденсаторы, как устройства без потерь, не имеют теплового шума, но, как обычно используется с резисторами в RC-цепи , эта комбинация имеет так называемый шум kTC . Шумовая полоса пропускания RC-цепи равна Δ f = 1/(4 RC ). [9] Когда это подставляется в уравнение теплового шума, результат имеет необычно простую форму, поскольку значение сопротивления ( R ) выпадает из уравнения. Это связано с тем, что более высокое R уменьшает полосу пропускания настолько же, насколько увеличивает шум.
Среднеквадратичное и среднеквадратичное напряжение шума, генерируемое в таком фильтре, составляют: [10]
Шумовой заряд равен произведению емкости на напряжение:
Этот зарядовый шум является источником термина « шум kTC ».
Несмотря на независимость от номинала резистора, 100% шума kTC возникает в резисторе. Следовательно, если резистор и конденсатор имеют разные температуры, в приведенном выше расчете следует использовать только температуру резистора.
Крайним случаем является предел нулевой полосы пропускания, называемый шумом сброса , остающимся на конденсаторе при размыкании идеального переключателя. Сопротивление бесконечно, но формула по-прежнему применима; однако теперь среднеквадратичное значение следует интерпретировать не как среднее значение по времени, а как среднее значение по многим таким событиям сброса, поскольку напряжение постоянно, когда полоса пропускания равна нулю. В этом смысле шум Джонсона RC-цепи можно рассматривать как неотъемлемый эффект термодинамического распределения числа электронов на конденсаторе, даже без участия резистора.
Шум вызван не самим конденсатором, а термодинамическими колебаниями количества заряда на конденсаторе. Как только конденсатор отключается от проводящей цепи, термодинамические колебания фиксируются на случайном значении со стандартным отклонением , как указано выше. Шум сброса емкостных датчиков часто является ограничивающим источником шума, например, в датчиках изображения .
Любая система, находящаяся в тепловом равновесии , имеет переменные состояния со средней энергией кТ /2 на степень свободы . Используя формулу для энергии конденсатора ( E = ½ CV 2 ), можно увидеть, что средняя энергия шума на конденсаторе также равна ½ C ( kT / C ) = kT /2. Тепловой шум конденсатора может быть получен из этого соотношения без учета сопротивления.
Описанный выше шум напряжения представляет собой частный случай чисто резистивного компонента на низких частотах. В целом, термоэлектрический шум по-прежнему связан с резистивным откликом во многих более общих электрических случаях, как следствие теоремы о флуктуации-диссипации . Ниже отмечены различные обобщения. Все эти обобщения имеют общее ограничение: они применяются только в тех случаях, когда рассматриваемый электрический компонент является чисто пассивным и линейным.
В оригинальной статье Найквиста также представлен обобщенный шум для компонентов, имеющих частично реактивную реакцию, например, источников, содержащих конденсаторы или катушки индуктивности. [4] Такой компонент можно описать частотно-зависимым комплексным электрическим сопротивлением . Формула для спектральной плотности мощности последовательного шумового напряжения:
Функция просто равна 1, за исключением очень высоких частот или вблизи абсолютного нуля (см. ниже).
Действительная часть импеданса, как правило, зависит от частоты, поэтому шум Джонсона-Найквиста не является белым шумом. Среднеквадратичное напряжение шума в диапазоне частот можно найти путем интегрирования спектральной плотности мощности:
В качестве альтернативы для описания шума Джонсона можно использовать параллельный шумовой ток, его спектральная плотность мощности равна
где электрическая проводимость ; Обратите внимание, что
Найквист также отметил, что квантовые эффекты возникают при очень высоких частотах или при очень низких температурах, близких к абсолютному нулю. [4] Функция в общем случае определяется формулой [11]
где – постоянная Планка , – повышающий коэффициент.
На очень высоких частотах функция начинает экспоненциально убывать до нуля. При комнатной температуре этот переход происходит в терагерцовом диапазоне, что намного превышает возможности традиционной электроники, поэтому его можно использовать для работы обычной электроники.
Формула Найквиста по существу такая же, как и формула, полученная Планком в 1901 году для электромагнитного излучения абсолютно черного тела в одном измерении, т. е. это одномерная версия закона Планка об излучении абсолютно черного тела . [12] Другими словами, горячий резистор будет создавать электромагнитные волны в линии передачи точно так же, как горячий объект создает электромагнитные волны в свободном пространстве.
В 1946 году Роберт Х. Дике уточнил эту зависимость [13] и связал ее со свойствами антенн, в частности с тем фактом, что средняя апертура антенны во всех различных направлениях не может быть больше, чем , где λ - длина волны. Это происходит из-за различной частотной зависимости трехмерного и одномерного закона Планка.
Ричард К. Твисс распространил формулы Найквиста на многопортовые пассивные электрические сети, включая невзаимные устройства, такие как циркуляторы и изоляторы . [14] Тепловой шум появляется на каждом порту и может быть описан как случайные последовательные источники напряжения, включенные последовательно с каждым портом. Случайные напряжения на разных портах могут быть коррелированы, а их амплитуды и корреляции полностью описываются набором функций кросс-спектральной плотности, связывающих различные шумовые напряжения.
где – элементы матрицы импеданса . Опять же, альтернативное описание шума заключается в использовании параллельных источников тока, применяемых к каждому порту. Их кросс-спектральная плотность определяется выражением
где матрица проводимости .
Полное обобщение шума Найквиста можно найти в флуктуационной электродинамике, которая описывает плотность шумового тока внутри сплошных сред с диссипативным откликом в функции непрерывного отклика, такой как диэлектрическая проницаемость или магнитная проницаемость . Уравнения флуктуационной электродинамики обеспечивают общую основу для описания как шума Джонсона – Найквиста, так и излучения черного тела в свободном пространстве . [15]
Эта статья включает общедоступные материалы из Федерального стандарта 1037C. Управление общего обслуживания . Архивировано из оригинала 22 января 2022 г. (в поддержку MIL-STD-188 ).