Джордан в нормальной форме

Форма матрицы с указанием ее собственных значений и их алгебраических кратностей.

Пример матрицы в жордановой нормальной форме. Все не показанные элементы матрицы равны нулю. Очерченные квадраты известны как «иорданские блоки». Каждый блок Джордана содержит одно число лямбда на главной диагонали и одно число над главной диагональю. Лямбды — это собственные значения матрицы; они не обязательно должны быть различимы.

В линейной алгебре йордановая нормальная форма , также известная как йордановая каноническая форма ( JCF ), ^{[1] [2]} представляет собой верхнюю треугольную матрицу определенной формы, называемую йордановой матрицей , представляющую линейный оператор в конечномерном векторном пространстве. относительно некоторого основания . Такая матрица имеет каждый ненулевой внедиагональный элемент, равный 1, непосредственно над главной диагональю (на супердиагонали ) и с одинаковыми диагональными элементами слева и под ними.

Пусть V — векторное пространство над полем K. Тогда базис, относительно которого матрица имеет требуемый вид, существует тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы лежат в K или, что то же самое, если характеристический многочлен оператора распадается на линейные множители над K . Это условие всегда выполняется, если К алгебраически замкнуто ( например, если оно является полем комплексных чисел ). Диагональные элементы нормальной формы являются собственными значениями (оператора), а количество раз, которое встречается каждое собственное значение, называется алгебраической кратностью собственного значения. ^{[3] [4] [5]}

Если оператор изначально задан квадратной матрицей M , то его жорданова нормальная форма также называется жордановой нормальной формой M. Любая квадратная матрица имеет жордановую нормальную форму, если поле коэффициентов расширить до поля, содержащего все собственные значения матрицы. Несмотря на свое название, нормальная форма для данного M не совсем уникальна, поскольку это блочная диагональная матрица, образованная из жордановых блоков , порядок которых не фиксирован; принято группировать блоки для одного и того же собственного значения вместе, но никакой порядок не налагается ни между собственными значениями, ни между блоками для данного собственного значения, хотя последние можно, например, упорядочить путем слабо уменьшающегося размера. ^{[3] [4] [5]}

Разложение Жордана –Шевалле особенно просто в отношении базиса, для которого оператор принимает свою жордановую нормальную форму. Диагональная форма для диагонализируемых матриц, например нормальных матриц , является частным случаем жордановой нормальной формы. ^{[6] [7] [8]}

Нормальная форма Жордана названа в честь Камиля Джордана , который впервые сформулировал теорему Жордана о разложении в 1870 году. ^[9]

Обзор

Обозначения

В некоторых учебниках есть субдиагональные ; то есть сразу под главной диагональю, а не на супердиагонали. Собственные значения все еще находятся на главной диагонали. ^{[10] [11]}

Мотивация

Матрица A размера n × n диагонализуема тогда и только тогда , когда сумма размерностей собственных пространств равна n . Или, что то же самое, тогда и только тогда, когда A имеет n линейно независимых собственных векторов . Не все матрицы диагонализуемы; Матрицы, недиагонализуемые, называются дефектными . Рассмотрим следующую матрицу:

${\displaystyle A=\left[{\begin{array}{*{20}{r}}5&4&2&1\\[2pt]0&1&-1&-1\\[2pt]-1&-1&3&0\\[2pt]1&1&-1&2\end{array}}\right].}$

С учетом кратности собственные значения A равны λ = 1, 2, 4, 4. Размерность собственного пространства, соответствующего собственному значению 4, равна 1 (а не 2), поэтому A не является диагонализируемым. Однако существует обратимая матрица P такая, что J = P ⁻¹ AP , где

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\[2pt]0&2&0&0\\[2pt]0&0&4&1\\[2pt]0&0&0&4\end{bmatrix}}.}$

Матрица почти диагональная. Это жордановая нормальная форма A . В разделе «Пример» ниже приведены подробности вычислений. ${\displaystyle J}$

Комплексные матрицы

В общем, квадратная комплексная матрица A похожа на блочную диагональную матрицу .

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}J_{1}&\;&\;\\\;&\ddots &\;\\\;&\;&J_{p}\end{bmatrix}}}$

где каждый блок J _i представляет собой квадратную матрицу вида

${\displaystyle J_{i}={\begin{bmatrix}\lambda _{i}&1&\;&\;\\\;&\lambda _{i}&\ddots &\;\\\;&\;&\ddots &1\\\;&\;&\;&\lambda _{i}\end{bmatrix}}.}$

Итак, существует обратимая матрица P такая, что P ⁻¹ AP = J такова, что единственные ненулевые элементы J находятся на диагонали и супердиагонали. J называется жордановой нормальной формой A . Каждый J _i называется жордановым блоком A . В данном жордановом блоке каждая запись на супердиагонали равна 1.

Предполагая этот результат, мы можем вывести следующие свойства:

• При подсчете кратностей собственные значения J и, следовательно , A являются диагональными элементами.
• Учитывая собственное значение λ _i , его геометрическая кратность равна размерности ker( A − λ _i I ), где I - единичная матрица , и это количество жордановых блоков, соответствующих λ _i . ^[12]
• Сумма размеров всех жордановых блоков, соответствующих собственному значению λi _, есть его алгебраическая кратность . ^[12]
• A диагонализуема тогда и только тогда, когда для каждого собственного значения λ оператора A его геометрическая и алгебраическая кратности совпадают. В частности, жордановые блоки в этом случае представляют собой матрицы размера 1 × 1; то есть скаляры.
• Джордановый блок, соответствующий λ , имеет вид λI  +  N , где N — нильпотентная матрица , определяемая как N _ij = δ _{i , j −1} (где δ — дельта Кронекера ). Нильпотентность N можно использовать при вычислении f ( A ), где f — комплексная аналитическая функция. Например, в принципе жордановая форма может дать выражение в замкнутой форме для экспоненты exp( A ).
• Число жордановых блоков, соответствующих λ размера не менее j , равно dim ker( A  −  λI ) ^j  − dim ker( A  −  λI ) ^{j −1} . Таким образом, количество жордановых блоков размера j равно

  ${\displaystyle 2\dim \ker(A-\lambda _{i}I)^{j}-\dim \ker(A-\lambda _{i}I)^{j+1}-\dim \ker(A-\lambda _{i}I)^{j-1}}$

• Учитывая собственное значение λ _i , его кратность в минимальном многочлене равна размеру его наибольшего жорданового блока.

Пример

Рассмотрим матрицу из примера в предыдущем разделе. Жорданова нормальная форма получается некоторым преобразованием подобия : ${\displaystyle A}$

${\displaystyle P^{-1}AP=J;}$то есть, ${\displaystyle AP=PJ.}$

Пусть имеют векторы-столбцы , , тогда ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,4}$

${\displaystyle A{\begin{bmatrix}p_{1}&p_{2}&p_{3}&p_{4}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}p_{1}&p_{2}&p_{3}&p_{4}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&4&1\\0&0&0&4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}p_{1}&2p_{2}&4p_{3}&p_{3}+4p_{4}\end{bmatrix}}.}$

Мы видим, что

${\displaystyle (A-1I)p_{1}=0}$

${\displaystyle (A-2I)p_{2}=0}$

${\displaystyle (A-4I)p_{3}=0}$

${\displaystyle (A-4I)p_{4}=p_{3}.}$

Ибо имеем , то есть – собственный вектор , соответствующий собственному значению . Для , умножение обеих частей на дает ${\displaystyle i=1,2,3}$ ${\displaystyle p_{i}\in \ker(A-\lambda _{i}I)}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle i=4}$ ${\displaystyle (A-4I)}$

${\displaystyle (A-4I)^{2}p_{4}=(A-4I)p_{3}.}$

Но так ${\displaystyle (A-4I)p_{3}=0}$

${\displaystyle (A-4I)^{2}p_{4}=0.}$

Таким образом, ${\displaystyle p_{4}\in \ker(A-4I)^{2}.}$

Векторы, такие как называются обобщенными собственными векторами A . ${\displaystyle p_{4}}$

Пример: Получение нормальной формы

В этом примере показано, как вычислить жордановую нормальную форму данной матрицы.

Рассмотрим матрицу

${\displaystyle A=\left[{\begin{array}{rrrr}5&4&2&1\\0&1&-1&-1\\-1&-1&3&0\\1&1&-1&2\end{array}}\right]}$

о котором сказано в начале статьи.

Характеристический полином A равен _

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi (\lambda )&=\det(\lambda I-A)\\&=\lambda ^{4}-11\lambda ^{3}+42\lambda ^{2}-64\lambda +32\\&=(\lambda -1)(\lambda -2)(\lambda -4)^{2}.\,\end{aligned}}}$

Это показывает, что собственные значения равны 1, 2, 4 и 4 в соответствии с алгебраической кратностью. Собственное пространство, соответствующее собственному значению 1, можно найти, решив уравнение Av = λv . Он натянут на вектор-столбец v = (−1, 1, 0, 0) ^T . Аналогично, собственное пространство, соответствующее собственному значению 2, охватывается w = (1, −1, 0, 1) ^T . Наконец, собственное пространство, соответствующее собственному значению 4, также является одномерным (хотя это двойное собственное значение) и натянуто на x = (1, 0, −1, 1) ^T . Итак, геометрическая кратность (т. е. размерность собственного пространства данного собственного значения) каждого из трёх собственных значений равна единице. Следовательно, два собственных значения, равные 4, соответствуют одному жордановому блоку, а жордановая нормальная форма матрицы A представляет собой прямую сумму

${\displaystyle J=J_{1}(1)\oplus J_{1}(2)\oplus J_{2}(4)={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&4&1\\0&0&0&4\end{bmatrix}}.}$

Есть три сети Jordan . Два из них имеют длину один: { v } и { w }, что соответствует собственным значениям 1 и 2 соответственно. Существует одна цепочка длины два, соответствующая собственному значению 4. Чтобы найти эту цепочку, вычислите

${\displaystyle \ker(A-4I)^{2}=\operatorname {span} \,\left\{{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix}},\left[{\begin{array}{r}1\\0\\-1\\1\end{array}}\right]\right\}}$

где I — единичная матрица 4 × 4. Выберите вектор в указанном выше диапазоне, который не входит в ядро ​​A  − 4 I ; например, y = (1,0,0,0) ^T . Теперь ( A  − 4 I ) y = x и ( A  − 4 I ) x = 0, поэтому { y , x } — это цепочка длины два, соответствующая собственному значению 4.

Матрица перехода P такая, что P ⁻¹ AP = J , формируется путем размещения этих векторов рядом друг с другом следующим образом:

${\displaystyle P=\left[{\begin{array}{c|c|c|c}v&w&x&y\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{rrrr}-1&1&1&1\\1&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&1&1&0\end{array}}\right].}$

Расчеты показывают, что уравнение P ⁻¹ AP = J действительно выполняется.

${\displaystyle P^{-1}AP=J={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&4&1\\0&0&0&4\end{bmatrix}}.}$

Если бы мы поменяли местами порядок появления цепных векторов, то есть изменили порядок v , w и { x , y } вместе, жордановые блоки поменялись бы местами. Однако жордановые формы являются эквивалентными жордановыми формами.

Обобщенные собственные векторы

Учитывая собственное значение λ , каждый соответствующий жордановый блок порождает жордановую цепочку линейно независимых векторов p _i , i = 1 , ..., b , где b — размер жорданового блока. Генератор , или ведущий вектор , p _b цепи, является обобщенным собственным вектором таким, что ( A − λ I ) ^b p _b = 0. Вектор p ₁ = ( A − λ I ) ^{b −1} p _b является обычным собственным вектором . соответствующий λ . В общем, p _i является прообразом p _{i −1} при A − λ I . Таким образом, ведущий вектор генерирует цепочку путем умножения на A − λ I . ^{[13] [2]} Таким образом, утверждение о том, что каждую квадратную матрицу A можно привести к жордановой нормальной форме, эквивалентно утверждению, что базис основного векторного пространства состоит из жордановых цепей.

Доказательство

Мы докажем по индукции , что любую комплексную квадратную матрицу A можно привести к жордановой нормальной форме. Поскольку можно показать ^[14], что базовое векторное пространство является прямой суммой инвариантных подпространств , связанных с собственными значениями, можно предположить, что A имеет только одно собственное значение λ . Случай 1 × 1 тривиален. Пусть A — матрица размера n × n . Диапазон A − λ I , обозначаемый Ran( A − λ I ) , является инвариантным подпространством A . Кроме того, поскольку λ является собственным значением A , размерность Ran( A − λ I ), r , строго меньше n , поэтому по индуктивному предположению Ran ( A − λ I ) имеет базис { p ₁ , ..., p _r } составленная из жордановых цепей.

Далее рассмотрим ядро ​​, то есть подпространство ker( A  −  λ I ). Если

${\displaystyle \operatorname {Ran} (A-\lambda I)\cap \ker(A-\lambda I)=\{0\},}$

искомый результат непосредственно следует из теоремы о ранге-нулевости . (Так было бы, например, если бы А было эрмитовым .)

В противном случае, если

${\displaystyle Q=\operatorname {Ran} (A-\lambda I)\cap \ker(A-\lambda I)\neq \{0\},}$

пусть размерность Q равна s  ≤  r . Каждый вектор из Q является собственным вектором, поэтому Ran( A  −  λ I ) должен содержать s жордановых цепочек, соответствующих s линейно независимым собственным векторам. Поэтому базис { p ₁ , ..., p _r } должен содержать s векторов, скажем { p _{r − s +1} , ..., p _r }, которые являются ведущими векторами этих жордановых цепей. Мы можем «продлить цепочки», взяв прообразы этих ведущих векторов. (Это ключевой шаг.) Пусть q _i таково, что

${\displaystyle \;(A-\lambda I)q_{i}=p_{i}{\mbox{ for }}i=r-s+1,\ldots ,r.}$

Множество { q _i }, являющееся прообразом линейно независимого множества { p _i } относительно A − λ I , также является линейно независимым. Очевидно, что никакая нетривиальная линейная комбинация q _i не может лежать в ker( A  −  λI ), поскольку { p _i } _{i = r − s +1, ..., r} линейно независима. Более того, никакая нетривиальная линейная комбинация q _i не может принадлежать Ran( A − λ I ), потому что тогда она была бы линейной комбинацией основных векторов p ₁ , ..., p _r , и эта линейная комбинация имела бы вклад базисных векторов, не входящих в ker( A − λI ), потому что в противном случае он принадлежал бы ker( A − λI ). Тогда действие A − λI на обе линейные комбинации привело бы к равенству нетривиальной линейной комбинации ведущих векторов и такой линейной комбинации неведущих векторов, что противоречило бы линейной независимости ( p ₁ ,... , п _р ).

Наконец, мы можем выбрать любое линейно независимое множество { z ₁ , ..., z _t }, проекция которого охватывает

${\displaystyle \ker(A-\lambda I)/Q.}$

Каждый z _i образует жорданову цепь длины 1. По построению объединение трех множеств { p ₁ , ..., p _r }, { q _{r − s +1} , ..., q _r } и { z ₁ , ..., z _t } линейно независима, и ее члены объединяются в жордановые цепи. Наконец, по теореме о ранге-пустоте мощность объединения равна n . Другими словами, мы нашли базис, состоящий из жордановых цепей, и это показывает, что A можно привести к жордановой нормальной форме.

Уникальность

Можно показать, что жордановая нормальная форма данной матрицы A единственна с точностью до порядка жордановых блоков.

Знания алгебраической и геометрической кратностей собственных значений недостаточно для определения жордановой нормальной формы A . Предполагая, что алгебраическая кратность m ( λ ) собственного значения λ известна, структура жордановой формы может быть установлена ​​путем анализа рангов степеней ( A − λI ) ^{m ( λ )} . Чтобы убедиться в этом, предположим, что матрица A размера n × n имеет только одно собственное значение λ . Итак м ( λ ) знак равно п . Наименьшее целое число k ₁ такое, что

${\displaystyle (A-\lambda I)^{k_{1}}=0}$

— это размер самого большого жорданового блока в жордановой форме A. (Это число k ₁ также называется индексом λ . См. обсуждение в следующем разделе.) Ранг

${\displaystyle (A-\lambda I)^{k_{1}-1}}$

— количество жордановых блоков размера k ₁ . Аналогично, ранг

${\displaystyle (A-\lambda I)^{k_{1}-2}}$

в два раза больше количества жордановых блоков размера k ₁ плюс количество жордановых блоков размера k ₁  − 1. Общий случай аналогичен.

Это можно использовать, чтобы показать уникальность формы Иордана. Пусть J ₁ и J ₂ — две жордановые нормальные формы A . Тогда J ₁ и J ₂ подобны и имеют одинаковый спектр, включая алгебраические кратности собственных значений. Для определения структуры этих матриц можно использовать процедуру, описанную в предыдущем параграфе. Поскольку ранг матрицы сохраняется за счет преобразования подобия, существует биекция между жордановыми блоками J ₁ и J ₂ . Это доказывает единственность утверждения.

Реальные матрицы

Если A — действительная матрица, ее жорданова форма все равно может быть невещественной. Вместо того, чтобы представлять его комплексными собственными значениями и единицами на супердиагонали, как обсуждалось выше, существует действительная обратимая матрица P такая, что P ⁻¹ AP = J представляет собой действительную блочную диагональную матрицу , где каждый блок является действительным жордановым блоком. ^[15] Вещественный жордановый блок либо идентичен комплексному жордановому блоку (если соответствующее собственное значение вещественно ), либо сам является блочной матрицей, состоящей из блоков 2×2 (для невещественных собственных значений с заданной алгебраической кратностью) форма ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle \lambda _{i}=a_{i}+ib_{i}}$

${\displaystyle C_{i}=\left[{\begin{array}{rr}a_{i}&-b_{i}\\b_{i}&a_{i}\\\end{array}}\right]}$

и описать умножение на в комплексной плоскости. Супердиагональные блоки представляют собой единичные матрицы размером 2 × 2, и, следовательно, в этом представлении размеры матрицы больше, чем комплексная жорданова форма. Полный реальный блок Джордана определяется выражением ${\displaystyle \lambda _{i}}$

${\displaystyle J_{i}={\begin{bmatrix}C_{i}&I&&\\&C_{i}&\ddots &\\&&\ddots &I\\&&&C_{i}\end{bmatrix}}.}$

Эта действительная жорданова форма является следствием комплексной жордановой формы. Для вещественной матрицы всегда можно выбрать невещественные собственные векторы и обобщенные собственные векторы, образующие комплексно-сопряженные пары. Учитывая действительную и мнимую часть (линейную комбинацию вектора и сопряженного ему), матрица имеет такой вид относительно нового базиса.

Матрицы с записями в поле

Жорданову редукцию можно распространить на любую квадратную матрицу M , элементы которой лежат в поле K. Результат утверждает, что любое M можно записать в виде суммы D + N , где D полупросто , N нильпотентно и DN = ND . Это называется разложением Жордана – Шевалле . Всякий раз, когда K содержит собственные значения M , в частности, когда K алгебраически замкнут , нормальная форма может быть явно выражена как прямая сумма жордановых блоков.

Как и в случае, когда K — комплексные числа, знание размерностей ядер ( M − λI ) ^k для 1 ≤ k ≤ m , где m — алгебраическая кратность собственного значения λ , позволяет определить жорданову форму М. _ Мы можем рассматривать лежащее в основе векторное пространство V как K [ x ] -модуль , рассматривая действие x на V как применение M и расширяя его за счет K -линейности. Тогда многочлены ( x  −  λ ) ^k являются элементарными делителями M , а нормальная форма Жордана связана с представлением M в терминах блоков, связанных с элементарными делителями.

Доказательство жордановой нормальной формы обычно проводится как приложение к кольцу K [ x ] структурной теоремы для конечно порожденных модулей над областью главных идеалов , следствием которой оно является.

Последствия

Можно видеть, что жордановая нормальная форма по сути является результатом классификации квадратных матриц, и поэтому несколько важных результатов из линейной алгебры можно рассматривать как ее следствия.

Теорема о спектральном отображении

Используя нормальную форму Жордана, прямые вычисления дают теорему о спектральном отображении для полиномиального функционального исчисления : пусть A — матрица размера n × n с собственными значениями λ ₁ , ..., λ _n , тогда для любого многочлена p , p ( A ) имеет собственные значения p ( λ ₁ ), ..., p ( λ _n ).

Характеристический полином

Характеристический полином A равен . _ Подобные матрицы имеют одинаковый характеристический полином. Следовательно, , где - корень i- й степени и - его кратность, поскольку это, очевидно, характеристический многочлен жордановой формы A . ${\displaystyle p_{A}(\lambda )=\det(\lambda I-A)}$ ${\textstyle p_{A}(\lambda )=p_{J}(\lambda )=\prod _{i}(\lambda -\lambda _{i})^{m_{i}}}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\textstyle p_{J}}$ ${\displaystyle m_{i}}$

Теорема Кэли – Гамильтона

Теорема Кэли -Гамильтона утверждает, что каждая матрица A удовлетворяет своему характеристическому уравнению: если p является характеристическим полиномом A , то . Это можно показать прямым вычислением в жордановой форме, поскольку если является собственным значением кратности , то его жордановый блок явно удовлетворяет . Поскольку диагональные блоки не влияют друг на друга, i -й диагональный блок равен ; следовательно . ${\displaystyle p_{A}(A)=0}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle J_{i}}$ ${\displaystyle (J_{i}-\lambda _{i}I)^{m_{i}}=0}$ ${\displaystyle (A-\lambda _{i}I)^{m_{i}}}$ ${\displaystyle (J_{i}-\lambda _{i}I)^{m_{i}}=0}$ ${\textstyle p_{A}(A)=\prod _{i}(A-\lambda _{i}I)^{m_{i}}=0}$

Можно предположить, что жордановая форма существует над полем, расширяющим базовое поле матрицы, например, над полем расщепления p ; это расширение поля никак не меняет матрицу p ( A ) .

Минимальный полином

Минимальный многочлен P квадратной матрицы A — это уникальный монический многочлен наименьшей степени m , такой, что P ( A ) = 0. Альтернативно, набор многочленов, которые аннулируют данное A , образуют идеал I в C [ x ], область главных идеалов многочленов с комплексными коэффициентами. Монический элемент, порождающий I, — это именно P.

Пусть λ ₁ , ..., λ _q — различные собственные значения A , а s _i — размер наибольшего жорданового блока, соответствующего λ _i . Из жордановой нормальной формы ясно, что минимальный полином A имеет степень Σs _i .

Хотя нормальная форма Жордана определяет минимальный полином, обратное неверно. Это приводит к понятию элементарных делителей . Элементарные делители квадратной матрицы A — это характеристические многочлены ее жордановых блоков. Факторами минимального многочлена m являются элементарные делители наибольшей степени, соответствующие различным собственным значениям.

Степень элементарного дивизора — это размер соответствующего жорданового блока, а следовательно, и размерность соответствующего инвариантного подпространства. Если все элементарные делители линейны, A диагонализуемо.

Инвариантные разложения подпространства

Йордановая форма матрицы A размера n × n является блочно-диагональной и, следовательно, дает разложение n- мерного евклидова пространства на инвариантные подпространства A . Каждый жордановый блок J _i соответствует инвариантному подпространству X _i . Символически мы положили

${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\bigoplus _{i=1}^{k}X_{i}}$

где каждый X _i — это длина соответствующей жордановой цепи, а k — количество жордановых цепей.

Можно также получить несколько иное разложение через жорданову форму. Учитывая собственное значение λ _i , размер его наибольшего соответствующего жорданового блока _s i _{называется} индексом λ i и обозначается v ( λ _i ). (Следовательно, степень минимального многочлена равна сумме всех индексов.) Определим подпространство Y _i формулой

${\displaystyle Y_{i}=\ker(\lambda _{i}I-A)^{v(\lambda _{i})}.}$

Это дает разложение

${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\bigoplus _{i=1}^{l}Y_{i}}$

где l — количество различных собственных значений A . Интуитивно мы объединяем вместе жордановы блочно-инвариантные подпространства, соответствующие одному и тому же собственному значению. В крайнем случае, когда A кратно единичной матрице, мы имеем k = n и l = 1.

Проекция на Y _i и вдоль всех остальных Y _j ( j ≠ i ) называется спектральной проекцией A в точке vi _и обычно обозначается P ( λ _i  ; A ) . Спектральные проекции взаимно ортогональны в том смысле, что P ( λ _i  ; A ) P (v _j  ; A ) = 0, если я ≠ j . Кроме того, они коммутируют с A , и их сумма является единичной матрицей. Замена каждого v _i в йордановой матрице J на ​​единицу и обнуление всех остальных элементов дает P (vi _;  J ) , более того, если UJU ⁻¹ — преобразование подобия, такое что A = UJU ⁻¹ , то P ( λ _i  ; A ) = UP ( λ _я  ; J ) U ^-1 . Они не ограничены конечными размерами. См. ниже их применение к компактным операторам и более общее обсуждение в голоморфном функциональном исчислении .

Сравнивая два разложения, обратите внимание, что, вообще говоря, l ≤ k . Когда A нормально, подпространства X _i в первом разложении одномерны и взаимно ортогональны. Это спектральная теорема для нормальных операторов. Второе разложение легче обобщается на общие компактные операторы в банаховых пространствах.

Здесь может быть интересно отметить некоторые свойства индекса ν ( λ ). В более общем смысле, для комплексного числа λ его индекс можно определить как наименьшее неотрицательное целое число ν ( λ ), такое что

${\displaystyle \ker(A-\lambda I)^{\nu (\lambda )}=\ker(A-\lambda I)^{m},\;\forall m\geq \nu (\lambda ).}$

Итак, ν (v) > 0 тогда и только тогда, когда λ является собственным значением A . В конечномерном случае ν (v) ⩽ алгебраическая кратность v.

Плоская (плоская) нормальная форма

Форма Жордана используется для нахождения нормальной формы матриц с точностью до сопряженности, такой, что нормальные матрицы составляют алгебраическое многообразие низкой фиксированной степени в объемлющем матричном пространстве.

Множества представителей классов матричной сопряженности для жордановой нормальной формы или рациональных канонических форм вообще не образуют линейных или аффинных подпространств в объемлющих матричных пространствах.

Владимир Арнольд поставил ^[16] задачу: найти каноническую форму матриц над полем, для которой множество представителей классов матричной сопряженности представляет собой объединение аффинных линейных подпространств (квартир). Другими словами, инъективно отобразите набор классов сопряженности матриц обратно в исходный набор матриц так, чтобы образ этого вложения - набор всех нормальных матриц - имел наименьшую возможную степень - это было объединение сдвинутых линейных подпространств.

Для алгебраически замкнутых полей ее решил Петерис Даугулис. ^[17] Построение однозначно определенной плоской нормальной формы матрицы начинается с рассмотрения ее жордановой нормальной формы.

Матричные функции

Итерация цепочки Джордана мотивирует различные расширения до более абстрактных настроек. Для конечных матриц получаются матричные функции; это можно распространить на компактные операторы и голоморфное функциональное исчисление, как описано ниже.

Жорданова нормальная форма является наиболее удобной для вычисления матричных функций (хотя она может быть не лучшим выбором для компьютерных вычислений). Пусть f ( z ) — аналитическая функция комплексного аргумента. Применение функции к жордановому блоку J размера n × n с собственным значением λ приводит к получению верхней треугольной матрицы:

${\displaystyle f(J)={\begin{bmatrix}f(\lambda )&f'(\lambda )&{\tfrac {f''(\lambda )}{2}}&\cdots &{\tfrac {f^{(n-1)}(\lambda )}{(n-1)!}}\\0&f(\lambda )&f'(\lambda )&\cdots &{\tfrac {f^{(n-2)}(\lambda )}{(n-2)!}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&0&f(\lambda )&f'(\lambda )\\0&0&0&0&f(\lambda )\end{bmatrix}},}$

так что элементы k -й супердиагонали полученной матрицы равны . Для матрицы общей жордановой нормальной формы приведенное выше выражение должно применяться к каждому жорданову блоку. ${\displaystyle {\tfrac {f^{(k)}(\lambda )}{k!}}}$

В следующем примере показано применение к степенной функции f ( z ) =  z ⁿ :

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\lambda _{1}&1&0&0&0\\0&\lambda _{1}&1&0&0\\0&0&\lambda _{1}&0&0\\0&0&0&\lambda _{2}&1\\0&0&0&0&\lambda _{2}\end{bmatrix}}^{n}={\begin{bmatrix}\lambda _{1}^{n}&{\tbinom {n}{1}}\lambda _{1}^{n-1}&{\tbinom {n}{2}}\lambda _{1}^{n-2}&0&0\\0&\lambda _{1}^{n}&{\tbinom {n}{1}}\lambda _{1}^{n-1}&0&0\\0&0&\lambda _{1}^{n}&0&0\\0&0&0&\lambda _{2}^{n}&{\tbinom {n}{1}}\lambda _{2}^{n-1}\\0&0&0&0&\lambda _{2}^{n}\end{bmatrix}},}$

где биномиальные коэффициенты определяются как . Для целых положительных n это сводится к стандартному определению коэффициентов. При отрицательном n тождество может оказаться полезным. ${\textstyle {\binom {n}{k}}=\prod _{i=1}^{k}{\frac {n+1-i}{i}}}$ ${\textstyle {\binom {-n}{k}}=(-1)^{k}{\binom {n+k-1}{k}}}$

Компактные операторы

Результат, аналогичный жордановой нормальной форме, справедлив для компактных операторов в банаховом пространстве . Ограничиваются компактными операторами, поскольку каждая точка x в спектре компактного оператора T является собственным значением; Единственным исключением является случай, когда x является предельной точкой спектра. Это неверно для ограниченных операторов в целом. Чтобы дать некоторое представление об этом обобщении, сначала переформулируем разложение Жордана на языке функционального анализа.

Голоморфное функциональное исчисление

Пусть X — банахово пространство, L ( X ) — ограниченные операторы на X , а σ ( T ) обозначает спектр T ∈ L ( X ). Голоморфное функциональное исчисление определяется следующим образом:

Зафиксируйте ограниченный оператор T . Рассмотрим семейство комплексных функций Hol( T ), голоморфное на некотором открытом множестве G , содержащем σ ( T ). Пусть Γ = { γi _} — конечный набор жордановых кривых такой, что σ ( T ) лежит внутри Γ , мы определяем f ( T ) как

${\displaystyle f(T)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma }f(z)(z-T)^{-1}\,dz.}$

Открытое множество G может меняться в зависимости от f и не обязательно должно быть связным. Интеграл определяется как предел сумм Римана, как и в скалярном случае. Хотя интеграл имеет смысл для непрерывного f , мы ограничиваемся голоморфными функциями, чтобы применить аппарат классической теории функций (например, интегральную формулу Коши). Предположение о том, что σ ( T ) лежит внутри Γ, обеспечивает корректность определения f ( T ); оно не зависит от выбора Γ. Функциональное исчисление — это отображение Φ из Hol( T ) в L ( X ), заданное формулой

${\displaystyle \;\Phi (f)=f(T).}$

Нам потребуются следующие свойства этого функционального исчисления:

1. Φ расширяет полиномиальное функциональное исчисление.
2. Верна теорема о спектральном отображении : σ ( f ( T )) = f ( σ ( T )).
3. Φ — гомоморфизм алгебры.

Конечномерный случай

В конечномерном случае σ ( T ) = { λ _i } — конечное дискретное множество в комплексной плоскости. Пусть e _i будет функцией, которая равна 1 в некоторой открытой окрестности λ _i и равна 0 в другом месте. По свойству 3 функционального исчисления оператор

${\displaystyle e_{i}(T)}$

является проекцией. _Более того, пусть νi _— индекс λi и

${\displaystyle f(z)=(z-\lambda _{i})^{\nu _{i}}.}$

Теорема спектрального отображения говорит нам

${\displaystyle f(T)e_{i}(T)=(T-\lambda _{i})^{\nu _{i}}e_{i}(T)}$

имеет спектр {0}. По свойству 1 f ( T ) может быть непосредственно вычислено в жордановой форме, и при проверке мы видим, что оператор f ( T ) e _i ( T ) является нулевой матрицей.

По свойству 3 f ( T ) e _i ( T ) = e _i ( T ) f ( T ). Итак, e _i ( T ) — это в точности проекция на подпространство

${\displaystyle \operatorname {Ran} e_{i}(T)=\ker(T-\lambda _{i})^{\nu _{i}}.}$

Отношение

${\displaystyle \sum _{i}e_{i}=1}$

подразумевает

${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\bigoplus _{i}\;\operatorname {Ran} e_{i}(T)=\bigoplus _{i}\ker(T-\lambda _{i})^{\nu _{i}}}$

где индекс i проходит через различные собственные значения T . Это инвариантное разложение подпространства

${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\bigoplus _{i}Y_{i}}$

приведено в предыдущем разделе. Каждое e _i ( T ) является проекцией на подпространство, натянутое жордановыми цепями, соответствующими λ _i , и вдоль подпространств, натянутых жордановыми цепями, соответствующими v _j, для j ≠ i . Другими словами, е _я ( Т ) = P ( λ _я ; Т ). Эта явная идентификация операторов ei ( T ) _, в свою очередь, дает явную форму голоморфного функционального исчисления для матриц:

Для всех f ∈ Hol( T )

${\displaystyle f(T)=\sum _{\lambda _{i}\in \sigma (T)}\sum _{k=0}^{\nu _{i}-1}{\frac {f^{(k)}}{k!}}(T-\lambda _{i})^{k}e_{i}(T).}$

Обратите внимание, что выражение f ( T ) является конечной суммой, потому что в каждой окрестности vi _мы выбрали разложение f в ряд Тейлора с центром в _vi .

Полюса оператора

Пусть T — ограниченный оператор λ — изолированная точка σ ( T ). (Как указано выше, когда T компактно, каждая точка его спектра является изолированной точкой, за исключением, возможно, предельной точки 0.)

Точка λ называется полюсом оператора T порядка ν , если резольвентная функция R _T определяется формулой

${\displaystyle R_{T}(\lambda )=(\lambda -T)^{-1}}$

имеет полюс порядка ν в точке λ .

Покажем, что в конечномерном случае порядок собственного значения совпадает с его индексом. Этот результат справедлив и для компактных операторов.

Рассмотрим кольцевую область A с центром в собственном значении λ и достаточно малым радиусом ε такую, что пересечение открытого диска B _ε ( λ ) и σ ( T ) равно { λ }. Резольвентная функция R _T голоморфна на A . _{Расширяя} результат классической теории функций, RT имеет представление ряда Лорана на A :

${\displaystyle R_{T}(z)=\sum _{-\infty }^{\infty }a_{m}(\lambda -z)^{m}}$

где

${\displaystyle a_{-m}=-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}(\lambda -z)^{m-1}(z-T)^{-1}dz}$и C — небольшой круг с центром в точке  λ .

Судя по предыдущему обсуждению функционального исчисления,

${\displaystyle a_{-m}=-(\lambda -T)^{m-1}e_{\lambda }(T)}$где 1 внутри и 0 в другом месте. ${\displaystyle e_{\lambda }}$ ${\displaystyle B_{\varepsilon }(\lambda )}$

Но мы показали, что наименьшее натуральное число m такое, что

${\displaystyle a_{-m}\neq 0}$и ${\displaystyle a_{-l}=0\;\;\forall \;l\geq m}$

это в точности индекс λ , ν ( λ ). Другими словами, функция R _T имеет полюс порядка ν ( λ ) в точке λ .

Численный анализ

Если матрица A имеет несколько собственных значений или близка к матрице с несколькими собственными значениями, то ее жордановая нормальная форма очень чувствительна к возмущениям. Рассмотрим, например, матрицу

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&1\\\varepsilon &1\end{bmatrix}}.}$

Если ε = 0, то жордановая нормальная форма — это просто

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}.}$

Однако при ε ≠ 0 жордановая нормальная форма имеет вид

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1+{\sqrt {\varepsilon }}&0\\0&1-{\sqrt {\varepsilon }}\end{bmatrix}}.}$

Из-за этой плохой обусловленности очень сложно разработать надежный численный алгоритм для нормальной формы Жордана, поскольку результат критически зависит от того, считаются ли два собственных значения равными. По этой причине при численном анализе обычно избегают жордановой нормальной формы ; устойчивое разложение Шура ^[18] или псевдоспектры ^[19] являются лучшими альтернативами.

Смотрите также

• Каноническая основа
• Каноническая форма
• Нормальная форма Фробениуса
• Жорданова матрица
• Разложение Жордана – Шевалле
• Разложение матрицы
• Модальная матрица
• Каноническая форма Вейра

Примечания

1. Шилов определяет термин « каноническая форма Жордана» и в сноске говорит, что нормальная форма Жордана является синонимом. Эти термины иногда сокращаются до иорданской формы . (Шилов) Термин «классическая каноническая форма» также иногда употребляется в смысле данной статьи. (Джеймс и Джеймс, 1976)
2. Холт и Румынин (2009, стр. 9)
3. Борегар и Фрели (1973, стр. 310–316)
4. Голуб и Ван Лоан (1996, стр. 355)
5. Неринг (1970, стр. 118–127)
6. Борегар и Фрели (1973, стр. 270–274)
7. Голуб и Ван Лоан (1996, стр. 353)
8. Неринг (1970, стр. 113–118)
9. Брехенмахер, «История Иорданской теории разложения матрицы (1870-1930). Формы представления и методы разложения», Диссертация, 2007 г.
10. Каллен (1966, стр. 114)
11. Франклин (1968, стр. 122)
12. Horn & Johnson (1985, §3.2.1)
13. Бронсон (1970, стр. 189, 194)
14. Роу Гудман и Нолан Р. Уоллак, Представления и инварианты классических групп , Кембриджский университет, 1998, Приложение B.1.
15. Хорн и Джонсон (1985, теорема 3.4.5)
16. Арнольд, Владимир I, изд. (2004). Проблемы Арнольда . Шпрингер-Верлаг Берлин Гейдельберг. п. 127. дои : 10.1007/b138219. ISBN 978-3-540-20748-1.
17. Петерис Даугулис (2012). «Параметризация множеств орбит сопряжения матриц как объединений аффинных плоскостей». Линейная алгебра и ее приложения . 436 (3): 709–721. arXiv : 1110.0907 . дои : 10.1016/j.laa.2011.07.032. S2CID  119649768.
18. См. Голуб и Ван Лоан (2014), §7.6.5; или Голуб и Уилкинсон (1976) для получения подробной информации.
19. См. Голуб и Ван Лоан (2014), §7.9.

Рекомендации

• Борегар, Раймонд А.; Фрэли, Джон Б. (1973), Первый курс линейной алгебры: с дополнительным введением в группы, кольца и поля , Бостон: Houghton Mifflin Co. , ISBN 0-395-14017-Х
• Бронсон, Ричард (1970), Матричные методы: Введение , Нью-Йорк: Academic Press , LCCN  70097490
• Каллен, Чарльз Г. (1966), Матрицы и линейные преобразования , Чтение: Аддисон-Уэсли , LCCN  66021267
• Данфорд, Н.; Шварц, Дж.Т. (1958), Линейные операторы, Часть I: Общая теория , Interscience
• Финкбайнер II, Дэниел Т. (1978), Введение в матрицы и линейные преобразования (3-е изд.), WH Freeman and Company
• Франклин, Джоэл Н. (1968), Теория матриц , Энглвуд Клиффс: Прентис-Холл , LCCN  68016345
• Голуб, Джин Х.; Ван Лоан, Чарльз Ф. (1996), Матричные вычисления (3-е изд.), Балтимор: Издательство Университета Джона Хопкинса , ISBN 0-8018-5414-8
• Голуб, Джин Х.; Уилкинсон, Дж. Х. (1976). «Плохо обусловленные собственные системы и вычисление жордановой нормальной формы». Обзор СИАМ . 18 (4): 578–619. дои : 10.1137/1018113.
• Холт, Дерек; Румынин, Дмитрий (2009), Алгебра I - Продвинутая линейная алгебра (MA251) Конспект лекций (PDF)
• Хорн, Роджер А.; Джонсон, Чарльз Р. (1985), Матричный анализ , Издательство Кембриджского университета , ISBN 978-0-521-38632-6
• Джеймс, Гленн; Джеймс, Роберт К. (1976), Математический словарь (2-е изд.), Ван Ностранд Рейнхольд
• Маклейн, Сондерс; Биркгоф, Гаррет (1967), Алгебра , Macmillan Publishers
• Мишель, Энтони Н.; Херже, Чарльз Дж. (1993), Прикладная алгебра и функциональный анализ , Dover Publications
• Неринг, Эвар Д. (1970), Линейная алгебра и теория матриц (2-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , LCCN  76091646
• Шафаревич, ИР; Ремизов, АО (2012), Линейная алгебра и геометрия , Springer , ISBN 978-3-642-30993-9
• Шилов, Георгий Э. (1977), Линейная алгебра , Dover Publications
• Статья о канонической форме Джордана на mathworld.wolfram.com