КК-теория

Теория в математике

В математике KK -теория является общим обобщением как K-гомологий , так и K-теории как аддитивного бивариантного функтора на сепарабельных C*-алгебрах . Это понятие было введено российским математиком Геннадием Каспаровым ^[1] в 1980 году.

На него повлияла концепция Атьи о фредгольмовых модулях для теоремы Атьи–Зингера об индексе и классификация расширений C *-алгебр Лоуренса Г. Брауна , Рональда Г. Дугласа и Питера Артура Филлмора в 1977 году. ^[2] В свою очередь, он имел большой успех в операторном алгебраическом формализме по отношению к теории индекса и классификации ядерных C*-алгебр , поскольку он был ключом к решениям многих проблем в операторной K-теории, таких как, например, простое вычисление K -групп. Кроме того, он сыграл важную роль в развитии гипотезы Баума–Конна и играет решающую роль в некоммутативной топологии .

За KK -теорией последовал ряд подобных бифункторных конструкций, таких как E -теория и бивариантная периодическая циклическая теория, большинство из которых имели больше категориально-теоретико-логических оттенков, или касались другого класса алгебр, а не класса отделимых C *-алгебр, или включали групповые действия .

Определение

Следующее определение довольно близко к первоначально данному Каспаровым. Это форма, в которой большинство КК-элементов возникают в приложениях.

Пусть A и B — отделимые C *-алгебры, где B также предполагается σ -унитальной. Набор циклов — это набор троек ( H , ρ , F ) , где H — счетно порожденный градуированный гильбертов модуль над B , ρ — *-представление A на H в виде четных ограниченных операторов, которые коммутируют с B , а F — ограниченный оператор на H степени 1, который снова коммутирует с B . Они должны удовлетворять условию, что

${\displaystyle [F,\rho (a)],(F^{2}-1)\rho (a),(F-F^{*})\rho (a)}$

для a в A все B -компактные операторы. Цикл называется вырожденным, если все три выражения равны 0 для всех a .

Два цикла называются гомологичными или гомотопными, если существует цикл между A и IB , где IB обозначает C *-алгебру непрерывных функций из [0, 1] в B , такой, что существует четный унитарный оператор из 0-конца гомотопии в первый цикл и унитарный оператор из 1-конца гомотопии во второй цикл.

KK -группа KK( A , B ) между A и B тогда определяется как множество циклов по модулю гомотопии. Она становится абелевой группой относительно операции прямой суммы бимодулей как сложения, и класса вырожденных модулей как ее нейтрального элемента.

Существуют различные, но эквивалентные определения теории КК, в частности, определение, данное Иоахимом Кунцем ^[3] , которое исключает из картины бимодуль и оператор «Фредгольма» F и полностью сосредотачивается на гомоморфизме ρ . Точнее, его можно определить как множество гомотопических классов

${\displaystyle KK(A,B)=[qA,K(H)\otimes B]}$,

*-гомоморфизмов из классифицирующей алгебры qA квазигомоморфизмов в C *-алгебру компактных операторов бесконечномерного сепарабельного гильбертова пространства, тензорно умноженного на B. Здесь qA определяется как ядро ​​отображения из C *-алгебраического свободного произведения A * A оператора A на себя в A, определяемое тождеством на обоих сомножителях.

Характеристики

Когда в качестве первого аргумента KK берется C *-алгебра C комплексных чисел , как в KK ( C , B ), эта аддитивная группа естественным образом изоморфна K ₀ -группе K ₀ ( B ) второго аргумента B . С точки зрения Кунца, K ₀ -класс B есть не что иное, как гомотопический класс *-гомоморфизмов из комплексных чисел в стабилизацию B . Аналогично, когда в качестве первого аргумента берется алгебра C ₀ ( R ) непрерывных функций на вещественной прямой, затухающих на бесконечности, полученная группа KK ( C ₀ ( R ), B ) естественным образом изоморфна K 1 ( _B ) .

Важным свойством теории КК является так называемое произведение Каспарова , или композиционное произведение,

${\displaystyle KK(A,B)\times KK(B,C)\to KK(A,C)}$,

которая билинейна относительно аддитивных групповых структур. В частности, каждый элемент KK ( A , B ) дает гомоморфизм K _* ( A ) → K _* ( B ) и другой гомоморфизм K *( B ) → K *( A ) .

Произведение можно определить гораздо проще на рисунке Кунца, учитывая, что существуют естественные отображения из QA в A и из B в K ( H ) ⊗ B , которые индуцируют KK -эквивалентности.

Композиционный продукт дает новую категорию , объекты которой задаются отделимыми C *-алгебрами, а морфизмы между ними задаются элементами соответствующих KK-групп. Более того, любой *-гомоморфизм A в B индуцирует элемент KK ( A , B ) и это соответствие дает функтор из исходной категории отделимых C *-алгебр в . Приближенно внутренние автоморфизмы алгебр становятся тождественными морфизмами в . ${\displaystyle {\mathsf {KK}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {KK}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {KK}}}$

Этот функтор универсален среди точных по расщеплению, гомотопически инвариантных и стабильных аддитивных функторов на категории сепарабельных C *-алгебр. Любая такая теория удовлетворяет периодичности Ботта в соответствующем смысле, поскольку удовлетворяет. ${\displaystyle {\mathsf {C^{*}\!-\!alg}}\to {\mathsf {KK}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {KK}}}$

Произведение Каспарова можно обобщить до следующей формы:

${\displaystyle KK(A,B\otimes E)\times KK(B\otimes D,C)\to KK(A\otimes D,C\otimes E).}$

Он содержит в качестве частных случаев не только произведение чашек K-теории , но также произведения крышек , крестов и наклонных произведений K-теории и произведение расширений.

Примечания

1. Г. Каспаров. Операторный К-функтор и расширения С*-алгебр. Изв. Акад. Наук. СССР сер. Мат. 44 (1980), 571–636
2. Браун, LG; Дуглас, RG; Филлмор, PA, «Расширения C*-алгебр и K-гомологии», Annals of Mathematics (2) 105 (1977), № 2, 265–324. MR 0458196
3. J. Cuntz. Новый взгляд на теорию КК. K-Theory 1 (1987), 31–51

Ссылки

• Б. Блэкадар, Операторные алгебры: теория C*-алгебр и алгебр фон Неймана, Энциклопедия математических наук 122 , Springer (2005)
• А. Коннес, Некоммутативная геометрия , Academic Press (1994)

Внешние ссылки

• Теория КК в n Lab
• Электронная теория в n Lab