маятник Катера

Реверсивный свободно качающийся маятник.

Оригинальный маятник Катера, демонстрирующий использование, из статьи Катера 1818 года. Период маятника определялся путем сравнения его колебаний с маятником в точных часах, стоящих за ним. Прицел (слева) использовался, чтобы избежать ошибки параллакса .

Маятник Катера — это обратимый свободно качающийся маятник , изобретенный британским физиком и армейским капитаном Генри Катером в 1817 году и опубликованный 29 января 1818 года ^[1] для использования в качестве гравиметрического прибора для измерения местного ускорения силы тяжести . Его преимущество заключается в том, что, в отличие от предыдущих маятниковых гравиметров, не нужно определять центр тяжести и центр колебаний маятника , что обеспечивает большую точность. Примерно столетие, вплоть до 1930-х годов, маятник Катера и различные его усовершенствования оставались стандартным методом измерения силы земного притяжения при геодезических изысканиях. Сейчас он используется только для демонстрации принципов маятника.

Описание

Маятник можно использовать для измерения ускорения свободного падения g, поскольку при узких колебаниях период его качания T зависит только от g и его длины L : ^[2]

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}\qquad \qquad \qquad (1)\,}$

Таким образом, измерив длину L и период T маятника, можно вычислить g .

Маятник Катера состоит из жесткого металлического стержня с двумя точками поворота, по одной на каждом конце стержня. Его можно подвешивать на любой оси и поворачивать. Он также имеет либо регулируемый груз, который можно перемещать вверх и вниз по перекладине, либо один регулируемый шарнир для регулировки периодов качания. При использовании его поворачивают на одном шарнире и засекают период , а затем переворачивают и поворачивают на другом шарнире и засекают период. Подвижный груз (или ось) регулируется до тех пор, пока два периода не станут равными. В этот момент период T равен периоду «идеального» простого маятника, длина которого равна расстоянию между точками опоры. По периоду и измеренному расстоянию L между точками опоры ускорение свободного падения можно с большой точностью рассчитать по уравнению (1), приведенному выше.

Ускорение силы тяжести маятника Катера определяется выражением ^[3]

${\displaystyle g={\frac {8\pi ^{2}}{{\dfrac {T_{1}^{2}+T_{2}^{2}}{\ell _{1}+\ell _{2}}}+{\dfrac {T_{1}^{2}-T_{2}^{2}}{\ell _{1}-\ell _{2}}}}}}$

где Т ₁ и Т ₂ - периоды времени колебаний при подвешивании на К ₁ и К ₂ соответственно, а ℓ ₁ и ℓ ₂ - расстояния ножевых кромок К ₁ и К ₂ от центра тяжести соответственно.

История

Измерение силы тяжести маятниками

Маятник Катера и подставка.

Первым человеком, обнаружившим, что сила тяжести меняется на поверхности Земли, был французский учёный Жан Рише , который в 1671 году был отправлен Французской Академией наук в экспедицию в Кайенну , Французская Гвиана , с заданием произвести измерения с помощью маятниковых часов . Благодаря наблюдениям, которые он сделал в следующем году, Ричер определил, что на часах было 2 часа.+на 1/2 минуты в день медленнее, чем в Париже, или, что эквивалентно длине маятника с колебанием в одну секунду, там было 1+На 1/4 парижской линии , или на 2,6 мм, короче, чем в Париже . ^{[4] [5]} Ученые того времени осознали и доказали Исааком Ньютоном в 1687 году, что это произошло из-за того, что Земля была не идеальной сферой, а слегка сплюснутой ; на экваторе он был толще из-за вращения Земли. Поскольку поверхность в Кайенне находилась дальше от центра Земли, чем в Париже, гравитация там была слабее. После того, как было сделано это открытие, свободно качающиеся маятники стали использоваться в качестве прецизионных гравиметров , которые отправлялись в путешествия в разные части света для измерения местного ускорения гравитации. Накопление данных географической гравитации привело к созданию все более точных моделей общей формы Земли.

Маятники настолько повсеместно использовались для измерения гравитации, что во времена Катера местная сила гравитации обычно выражалась не значением ускорения g , используемым сейчас, а длиной в этом месте секундного маятника , маятника с периодом две секунды, поэтому каждое колебание занимает одну секунду. Из уравнения (1) видно, что для секундного маятника длина просто пропорциональна g :

${\displaystyle g=\pi ^{2}L\,}$

Погрешность маятников гравиметра

Во времена Катера период Т маятников можно было очень точно измерить, синхронизируя их с помощью прецизионных часов, устанавливаемых по прохождению звезд над головой. До открытия Катера точность измерений g была ограничена трудностью точного измерения другого фактора L - длины маятника. L в приведенном выше уравнении (1) представляла собой длину идеального математического «простого маятника», состоящего из точечной массы, качающейся на конце безмассового шнура. Однако «длину» реального маятника, качающегося твердого тела, известного в механике как составной маятник , определить труднее. В 1673 году голландский учёный Христиан Гюйгенс в своём математическом анализе маятников «Horologium Oscillatorium » показал, что настоящий маятник имеет тот же период, что и простой маятник с длиной, равной расстоянию между точкой поворота и точкой, называемой центром колебаний , которая находится под центром тяжести маятника и зависит от распределения массы по длине маятника. Проблема заключалась в том, что не было возможности точно определить положение центра колебаний реального маятника. Теоретически его можно было рассчитать по форме маятника, если бы металлические части имели одинаковую плотность, но качество металлургии и математические способности того времени не позволяли выполнить точный расчет.

Чтобы обойти эту проблему, большинство ранних исследователей гравитации, такие как Жан Пикард (1669 г.), Шарль Мари де ла Кондамин (1735 г.) и Жан-Шарль де Борда (1792 г.), аппроксимировали простой маятник, используя металлическую сферу, подвешенную на легком маятнике. проволока. Если проволока имела незначительную массу, центр колебаний был близок к центру тяжести сферы. Но даже точно определить центр тяжести сферы было сложно. Кроме того, этот тип маятника по своей сути не был очень точным. Сфера и проволока не раскачивались вперед и назад как единое целое, поскольку при каждом качании сфера приобретала небольшой угловой момент . Кроме того, проволока упруго растягивалась во время качания маятника, слегка меняя L во время цикла.

Решение Катера

Однако в «Horologium Oscillatorium» Гюйгенс также доказал, что точка поворота и центр колебаний взаимозаменяемы. То есть, если какой-либо маятник подвешивают вверх тормашками к своему центру колебаний, он имеет тот же период качания, а новый центр колебаний является старой точкой поворота. Расстояние между этими двумя сопряженными точками было равно длине простого маятника с тем же периодом.

В составе комитета, назначенного Королевским обществом в 1816 году для реформирования британских мер, Палата общин наняла Катера на точное определение длины секундного маятника в Лондоне. ^[6] Он понял, что принцип Гюйгенса можно использовать для определения центра колебаний и, следовательно, длины L жесткого (составного) маятника. Если маятник подвешивался вверх тормашками за вторую точку поворота, которую можно было регулировать вверх и вниз на стержне маятника, а вторую ось маятника регулировали до тех пор, пока маятник не имел тот же период, что и при качании правой стороной вверх от первой оси, вторая точка поворота будет находиться в центре колебаний, а расстояние между двумя точками поворота будет равно L .

Катер был не первым, кому пришла в голову эта идея. ^{[7] [8]} Французский математик Гаспар де Прони впервые предложил обратимый маятник в 1800 году, но его работа не была опубликована до 1889 года. В 1811 году Фридрих Боненбергер снова открыл его, но Катер самостоятельно изобрел его и первым применил его на практике.

Чертеж маятника Катера
(a) шарниры противоположной ножевой кромки, на которых подвешивается маятник
(b) груз точной регулировки, перемещаемый регулировочным винтом
(c) груз грубой регулировки, прикрепленный к стержню с помощью установочного винта
(d) бобышка
(e) указатели для считывания показаний

Маятник

Катер построил маятник, состоящий из латунного стержня длиной около 2 метров, 1+Ширина 1 ⁄ дюйма и толщина одна восьмая дюйма, с грузом (d) на одном конце. ^{[1] [9]} Для шарнира с низким коэффициентом трения он использовал пару коротких треугольных лезвий-ножей, прикрепленных к стержню. При использовании маятник подвешивался на настенном кронштейне, опираясь краями лезвий ножей на плоские агатовые пластины. Маятник имел два таких шарнира ножевого лезвия (а) , обращенных друг к другу, на расстоянии около метра (40 дюймов) друг от друга, так что поворот маятника, когда он подвешивался на каждом шарнире, занимал примерно одну секунду.

Катер обнаружил, что регулировка одного из шарниров приводила к неточностям, из-за чего было трудно поддерживать точно параллельную ось обоих шарниров. Вместо этого он прикрепил лезвия ножа к стержню и отрегулировал периоды маятника с помощью небольшого подвижного груза (b,c) на валу маятника. Поскольку гравитация на Земле меняется не более чем на 0,5%, а в большинстве мест гораздо меньше, вес пришлось лишь слегка отрегулировать. Перемещение веса к одному из шарниров уменьшило период подвешивания на этом шарнире и увеличило период подвешивания на другом шарнире. Это также имело то преимущество, что точное измерение расстояния между шарнирами нужно было выполнить только один раз.

Экспериментальная процедура

Для использования маятник подвешивался к кронштейну на стене, при этом шарниры лезвия ножа опирались на две небольшие горизонтальные агатовые пластины, перед точными маятниковыми часами для отсчета времени. Сначала его раскачивали на одной оси, и колебания замеряли, затем переворачивали и качали на другой оси, и колебания снова засчитывали. Небольшой грузик (b) регулировали с помощью регулировочного винта, и процесс повторялся до тех пор, пока маятник не имел одинаковый период при качании на каждой оси. Поместив измеренный период T и измеренное расстояние между поворотными лопастями L в уравнение периода (1), g можно рассчитать очень точно.

Катер выполнил 12 испытаний. ^[1] Он очень точно измерил период своего маятника, используя часовой маятник методом совпадений ; определить интервал между совпадениями , когда два маятника качались синхронно. Он измерил расстояние между поворотными лопастями с помощью микроскопа-компаратора с точностью 10 ^-4 дюйма (2,5 мкм). Как и в случае с другими гравитационными измерениями маятника, ему пришлось внести небольшие поправки в результат с учетом ряда переменных факторов:

• конечная ширина качания маятника, что увеличивало период
• температура, из-за которой длина стержня менялась из-за теплового расширения.
• атмосферное давление, что уменьшило эффективную массу маятника за счет плавучести вытесненного воздуха, увеличив период
• высоте, что уменьшало силу гравитации по мере удаления от центра Земли. Измерения силы тяжести всегда привязаны к уровню моря .

Он представил свой результат как длину секундного маятника . После исправлений он обнаружил, что средняя длина маятника солнечных секунд в Лондоне, на уровне моря, при температуре 62 ° F (17 ° C), качающегося в вакууме, составила 39,1386 дюйма. Это эквивалентно ускорению свободного падения 9,81158 м/с ² . Наибольшее отклонение его результатов от среднего составило 0,00028 дюйма (7,1 мкм). Это представляло собой точность измерения силы тяжести 0,7×10 ^-5 (7 миллигал ).

В 1824 году британский парламент сделал измерение Катера секундным маятником официальным резервным стандартом длины для определения ярда на случай, если прототип ярда будет разрушен. ^{[10] [11] [12] [13]}

Использовать

Гравиметр с вариантом маятника Репсольда

Значительное увеличение точности измерения силы тяжести, ставшее возможным благодаря маятнику Катера, сделало гравиметрию неотъемлемой частью геодезии . Чтобы быть полезным, необходимо было найти точное местоположение (широту и долготу) «станции», где проводились измерения силы тяжести, поэтому маятниковые измерения стали частью съемки . Маятники Катера использовались при великих исторических геодезических исследованиях большей части мира, проводившихся в XIX веке. В частности, маятники Катера использовались в Великой тригонометрической съемке Индии.

Реверсивные маятники оставались стандартным методом измерения абсолютной силы тяжести, пока в 1950-х годах их не вытеснили гравиметры свободного падения. ^[14]

Маятник Репсольда – Бесселя

Маятник Репсольда.

Многократное определение времени каждого периода маятника Катера и корректировка весов до тех пор, пока они не станут равными, отнимали много времени и были подвержены ошибкам. Фридрих Бессель в 1826 году показал, что в этом нет необходимости. Поскольку периоды, измеренные от каждого шарнира, T ₁ и T ₂ , близки по значению, период T эквивалентного простого маятника можно вычислить по ним: ^[15]

${\displaystyle T^{2}={\frac {T_{1}^{2}+T_{2}^{2}}{2}}+{\frac {T_{1}^{2}-T_{2}^{2}}{2}}\left({\frac {h_{1}+h_{2}}{h_{1}-h_{2}}}\right)\,\qquad \qquad \qquad (2)}$

Здесь и – расстояния двух шарниров от центра тяжести маятника. Расстояние между шарнирами можно измерить с большой точностью. и , а значит, и их разность не могут быть измерены с сопоставимой точностью. Их можно найти, балансируя маятник на острие ножа, чтобы найти его центр тяжести, и измеряя расстояния каждой оси от центра тяжести. Однако, поскольку оно намного меньше , второй член справа в приведенном выше уравнении мал по сравнению с первым, поэтому его не нужно определять с высокой точностью, а описанная выше процедура балансировки достаточна для получения точных результатов. . ${\displaystyle h_{1}\,}$ ${\displaystyle h_{2}\,}$ ${\displaystyle h_{1}+h_{2}\,}$ ${\displaystyle h_{1}\,}$ ${\displaystyle h_{2}\,}$ ${\displaystyle h_{1}-h_{2}\,}$ ${\displaystyle T_{1}^{2}-T_{2}^{2}\,}$ ${\displaystyle T_{1}^{2}+T_{2}^{2}\,}$ ${\displaystyle h_{1}-h_{2}\,}$

Поэтому маятник вообще не обязательно должен быть регулируемым, это может быть просто стержень с двумя шарнирами. Пока каждый шарнир расположен близко к центру колебаний другого, поэтому два периода близки, период T эквивалентного простого маятника можно рассчитать с помощью уравнения (2), а силу тяжести можно рассчитать по T и L. с (1).

Кроме того, Бессель показал, что если маятник будет иметь симметричную форму, но иметь внутренний вес на одном конце, ошибка, вызванная эффектом сопротивления воздуха, будет компенсироваться. Кроме того, другую ошибку, вызванную конечным диаметром кромок поворотного ножа, можно устранить путем замены кромок ножей местами.

Бессель не сконструировал такой маятник, но в 1864 году Адольф Репсольд по контракту со Швейцарской геодезической комиссией разработал симметричный маятник длиной 56 см со сменными поворотными лопастями, с периодом вращения около 3/4 секунды . Маятник Репсольда широко использовался швейцарскими и российскими геодезическими агентствами, а также в Службе Индии . Другие широко используемые маятники этой конструкции были созданы Чарльзом Пирсом и К. Дефоржем.

Международная ассоциация геодезии

Конференция по измерению европейской дуги 1875 года рассмотрела вопрос о лучшем приборе для определения гравитации. Ассоциация приняла решение в пользу реверсивного маятника, и было решено повторить в Берлине, на станции, где Фридрих Вильгельм Бессель провел свои знаменитые измерения, определение силы тяжести с помощью приборов различного типа, применяемых в разных странах, чтобы сравнить их и, таким образом, получить уравнение их шкал после углубленного обсуждения, в котором принял участие американский ученый Чарльз Сандерс Пирс . ^[16] Действительно, поскольку фигура Земли могла быть выведена из изменений длины секундного маятника , руководство Береговой службы Соединенных Штатов проинструктировало Чарльза Сандерса Пирса весной 1875 года отправиться в Европу с целью проведения экспериментов с маятником, чтобы главный начальные станции для операций такого рода, чтобы привести определения сил гравитации в Америке в связь с таковыми в других частях мира; а также с целью тщательного изучения методов проведения этих исследований в разных странах Европы. ^[17]

Определение силы тяжести обратимым маятником допускало ошибки двух типов. С одной стороны, сопротивление воздуха, а с другой — движения, которые колебания маятника сообщали плоскости его подвеса. Эти движения были особенно важны для аппарата, сконструированного братьями Репсольдом по указаниям Бесселя, поскольку маятник имел большую массу, чтобы противодействовать действию вязкости воздуха. Пока Эмиль Плантамур проводил серию экспериментов с этим устройством, Адольф Хирш нашел способ продемонстрировать движение плоскости подвеса маятника с помощью хитроумного процесса оптического усиления. Исаак-Шарль Элизе Селлерье, математик из Женевы, и Чарльз Сандерс Пирс независимо разработали поправочную формулу, которая позволила использовать наблюдения, сделанные с помощью гравиметра этого типа. ^{[18] [19]}

Президент Постоянной комиссии по измерению европейской дуги с 1874 по 1886 год, Карлос Ибаньес Ибаньес де Иберо стал первым президентом Международной геодезической ассоциации (1887–1891) после смерти Иоганна Якоба Байера . Под председательством Ибаньеса Международная геодезическая ассоциация приобрела глобальное измерение с присоединением США , Мексики , Чили , Аргентины и Японии . В результате работ Международной геодезической ассоциации в 1901 году Фридрих Роберт Гельмерт обнаружил, главным образом гравиметрически, параметры эллипсоида, удивительно близкие к реальности. ^{[20] [21] [22] [23]}

Рекомендации

1. Катер, Генри (1818). «Отчет об экспериментах по определению продолжительности секунд колебаний маятника на широте Лондона». Фил. Пер. Р. Сок . 104 (33). Лондон: 109 . Проверено 25 ноября 2008 г.
2. Нейв, Чехия (2005). «Простой маятник». Гиперфизика . Кафедра физики и астрономии, Университет штата Джорджия . Проверено 20 февраля 2009 г.
3. "Маятник Катера". Виртуальные лаборатории Амриты . Амрита Вишва Видьяпитам. 2011 . Проверено 26 января 2019 г.
4. Пойнтинг, Джон Генри; Джозеф Джон Томпсон (1907). Учебник физики, 4-е изд. Лондон: Charles Griffin & Co., с. 20.
5. Виктор Ф., Ленцен; Роберт П. Мультауф (1964). «Документ 44: Развитие гравитационных маятников в 19 веке». Бюллетень 240 Национального музея США: Материалы Музея истории и технологий перепечатаны в Бюллетене Смитсоновского института . Вашингтон: Издательство Смитсоновского института. п. 307 . Проверено 28 января 2009 г.
6. Зупко, Рональд Эдвард (1990). Революция в измерениях: западноевропейские меры и веса со времен науки. Нью-Йорк: Издательство Диана. стр. 107–110. ISBN 0-87169-186-8.
7. Ленцен и Мультауф 1964, с. 315
8. Пойнтинг и Томпсон 1907, с. 12
9. Элиас Лумис (1864). Элементы натуральной философии, 4-е изд. Нью-Йорк: Харпер и братья. п. 109.
10. Закон об установлении и установлении единообразия мер и весов , британский парламент, 17 июня 1824 г., перепечатано в Raithby, John (1824 г.). Устав Соединенного Королевства Великобритании и Ирландии, том 27. Лондон: Эндрю Страхан. п. 759. В формулировке Закона указано, что для восстановления двора в случае разрушения прототипа будет использоваться определение маятника.
11. Траутвайн, Джон Крессон (1907). Карманный справочник инженера-строителя, 18-е изд. Уайли. п. 216.
12. Раттер, Генри (1866). Метрическая система мер и весов в сравнении с британскими стандартными мерами и весами в полном наборе сравнительных таблиц. Эффингем Уилсон. стр. XVIII. маятник.
13. Зупко, Рональд Эдвард (1990). Революция в измерениях: западноевропейские меры и веса со времен науки. Американское философское общество. стр. 179. ISBN. 9780871691866.
14. Торге, Вольфганг (2001). Геодезия: Введение. Вальтер де Грюйтер. п. 177. ИСБН 3-11-017072-8.
15. Пойнтинг и Томпсон 1907, с. 15
16. Цюрих, ETH-Библиотека. «Бюллетень Общества естественных наук Невшателя». Электронная периодика (на французском языке). п. 256 . Проверено 25 октября 2021 г.
17. "Отчет Чарльза С. Пирса о его второй поездке по Европе для Ежегодного отчета суперинтенданта Береговой службы США, Нью-Йорк, 18 мая 1877 года" . www.unav.es. ​Проверено 25 октября 2021 г.
18. текст, Académie des Sciences (Франция) Auteur du (январь 1880 г.). «Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences / publiés... par MM. les secrétaires perpétuels». Галлика (на французском языке). стр. 1463–1466 . Проверено 25 октября 2021 г.
19. Ибаньес и Ибаньес де Иберо, Карлос (1881). Discursos leidos ante la Real Academia de Ciencias Exactas Fisicas y Naturales en la recepcion de Don Joaquin Barraquer y Rovira (на испанском языке). Мадрид: Imprenta de la Viuda e Hijo de DE Aguado. стр. 70–73.
20. Геодезия в Универсальной энциклопедии (на французском языке). Энциклопедия Универсальная. 1996. стр. Том 10, с. 302. ИСБН 978-2-85229-290-1. ОСЛК  36747385.
21. Торге, Вольфганг (2016). Ризос, Крис; Уиллис, Паскаль (ред.). «От регионального проекта к международной организации: «Эра Байера-Гельмерта» Международной ассоциации геодезии 1862–1916». IAG 150 лет . Симпозиумы Международной ассоциации геодезии. 143 . Чам: Springer International Publishing: 3–18. дои : 10.1007/1345_2015_42. ISBN 978-3-319-30895-1.
22. Торге, В. (1 апреля 2005 г.). «Международная ассоциация геодезии с 1862 по 1922 год: от регионального проекта к международной организации». Журнал геодезии . 78 (9): 558–568. Бибкод : 2005JGeod..78..558T. дои : 10.1007/s00190-004-0423-0. ISSN  1432-1394. S2CID  120943411.
23. Солер, Т. (1 февраля 1997 г.). «Профиль генерала Карлоса Ибаньеса и Ибаньеса де Иберо: первого президента Международной геодезической ассоциации». Журнал геодезии . 71 (3): 176–188. Бибкод : 1997JGeod..71..176S. дои : 10.1007/s001900050086. ISSN  1432-1394. S2CID  119447198.

Внешние ссылки

• Точное измерение g с помощью маятника Катера, Университет Шеффилда. Выведены уравнения.
• Катер, Генри (июнь 1818 г.) Отчет об экспериментах по определению продолжительности секунд колебаний маятника на широте Лондона, The Edinburgh Review, Vol. 30, стр.407 Содержит подробное описание эксперимента, описание маятника, определение значения, интерес французских учёных.