В математике метод Ранкина –Сельберга , введенный ( Ранкин 1939) и Сельбергом (1940), также известный как теория интегральных представлений L -функций , является методом прямого построения и аналитического продолжения нескольких важных примеров автоморфных L -функций . Некоторые авторы резервируют этот термин для специального типа интегрального представления, а именно тех, которые включают ряд Эйзенштейна . Он стал одним из самых мощных методов изучения программы Ленглендса .
Теория в некотором смысле восходит к Бернхарду Риману , который построил свою дзета-функцию как преобразование Меллина тета -функции Якоби . Риман использовал асимптотику тета -функции , чтобы получить аналитическое продолжение, и автоморфизм тета-функции, чтобы доказать функциональное уравнение . Эрих Гекке , а позднее Ганс Маас , применили тот же метод преобразования Меллина к модулярным формам на верхней полуплоскости , после чего пример Римана можно рассматривать как частный случай.
Роберт Александр Ранкин и Атле Сельберг независимо друг от друга построили свои сверточные L -функции, которые теперь считаются L -функцией Ленглендса, связанной с тензорным произведением стандартного представления GL (2) с самим собой. Подобно Риману, они использовали интеграл модулярных форм, но другого типа: они интегрировали произведение двух весовых k- модулярных форм f , g с вещественным аналитическим рядом Эйзенштейна E (τ, s ) по фундаментальной области D модулярной группы SL 2 ( Z ), действующей на верхней полуплоскости
Интеграл сходится абсолютно, если одна из двух форм является каспидальной ; в противном случае асимптотика должна использоваться для получения мероморфного продолжения, как это сделал Риман. Аналитическое продолжение и функциональное уравнение затем сводятся к ряду Эйзенштейна. Интеграл был идентифицирован с помощью сверточной L-функции с помощью техники, называемой «разверткой», в которой определение ряда Эйзенштейна и область интегрирования преобразуются в более простое выражение, которое более легко представляет L -функцию как ряд Дирихле . Одновременное сочетание развертки вместе с глобальным контролем над аналитическими свойствами является особенным и делает технику успешной.
Эрве Жаке и Роберт Ленглендс позже дали адельные интегральные представления для стандартных и тензорных произведений L -функций, которые ранее были получены Риманом, Гекке, Маассом, Ранкиным и Сельбергом. Они дали очень полную теорию, в которой они прояснили формулы для всех локальных факторов, сформулировали функциональное уравнение в точной форме и дали точные аналитические продолжения.
В настоящее время имеются интегральные представления для большого созвездия автоморфных L -функций, однако с двумя досадными оговорками. Во-первых, совершенно не ясно, какие L -функции могут иметь интегральные представления или как их можно найти; есть опасения, что метод близок к исчерпанию, хотя время от времени находятся новые примеры с помощью умных аргументов. Во-вторых, в общем случае трудно или, возможно, даже невозможно вычислить локальные интегралы после этапа развертывания. Это означает, что интегралы могут иметь желаемые аналитические свойства, только они могут не представлять L -функцию (а что-то близкое к ней).
Таким образом, наличие интегрального представления для L -функции никоим образом не означает, что ее аналитические свойства решены: могут оставаться серьезные аналитические проблемы. Как минимум, однако, это гарантирует, что L -функция имеет алгебраическую конструкцию посредством формальных манипуляций интегралом автоморфных форм, и что во всех, кроме конечного числа мест, она имеет предполагаемое произведение Эйлера конкретной L -функции. Во многих ситуациях метод Ленглендса–Шахиди дает дополнительную информацию.
