Принцип Лапласа (теория больших отклонений)

В математике принцип Лапласа является основной теоремой в теории больших отклонений , которая похожа на лемму Варадхана . Она дает асимптотическое выражение для интеграла Лебега exp(− θφ ( x )) по фиксированному множеству A , когда θ становится большим. Такие выражения могут быть использованы, например, в статистической механике для определения предельного поведения системы при стремлении температуры к абсолютному нулю .

Заявление о результате

Пусть A — измеримое по Лебегу подмножество d - мерного евклидова пространства R d ^, и пусть φ  :  R ^d  →  R — измеримая функция с

${\displaystyle \int _{A}e^{-\varphi (x)}\,dx<\infty .}$

Затем

${\displaystyle \lim _{\theta \to \infty }{\frac {1}{\theta }}\log \int _{A}e^{-\theta \varphi (x)}\,dx=-\mathop {\mathrm {ess\,inf} } _{x\in A}\varphi (x),}$

где ess inf обозначает существенный инфимум . Эвристически это можно интерпретировать так, что для больших θ ,

${\displaystyle \int _{A}e^{-\theta \varphi (x)}\,dx\approx \exp \left(-\theta \mathop {\mathrm {ess\,inf} } _{x\in A}\varphi (x)\right).}$

Приложение

Принцип Лапласа можно применить к семейству вероятностных мер P _θ, заданных формулой

${\displaystyle \mathbf {P} _{\theta }(A)=\left(\int _{A}e^{-\theta \varphi (x)}\,dx\right){\bigg /}\left(\int _{\mathbf {R} ^{d}}e^{-\theta \varphi (y)}\,dy\right)}$

чтобы дать асимптотическое выражение для вероятности некоторого события A, когда θ становится большим. Например, если X — стандартная нормально распределенная случайная величина на R , то

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \downarrow 0}\varepsilon \log \mathbf {P} {\big [}{\sqrt {\varepsilon }}X\in A{\big ]}=-\mathop {\mathrm {ess\,inf} } _{x\in A}{\frac {x^{2}}{2}}}$

для каждого измеримого множества A.

Смотрите также

• Метод Лапласа

Ссылки

• Дембо, Амир; Зейтуни, Офер (1998). Методы больших отклонений и их применение . Applications of Mathematics (Нью-Йорк) 38 (Второе изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. стр. xvi+396. ISBN 0-387-98406-2. МР 1619036