Моделирование больших вихрей

Математическая модель турбулентности

Моделирование крупных вихрей турбулентного поля скорости газа.

Моделирование больших вихрей ( LES ) — это математическая модель турбулентности , используемая в вычислительной гидродинамике . Первоначально она была предложена в 1963 году Джозефом Смагоринским для моделирования атмосферных воздушных течений ^[1] и впервые исследована Дирдорфом (1970). ^[2] В настоящее время LES применяется в самых разных инженерных приложениях, включая горение ^[3] , акустику ^[4] и моделирование пограничного слоя атмосферы ^{[5] .}

Моделирование турбулентных потоков путем численного решения уравнений Навье–Стокса требует разрешения очень широкого диапазона масштабов времени и длины, каждый из которых влияет на поле потока. Такое разрешение может быть достигнуто с помощью прямого численного моделирования (DNS), но DNS является вычислительно дорогим, и его стоимость не позволяет моделировать практические инженерные системы со сложной геометрией или конфигурациями потока, такие как турбулентные струи, насосы, транспортные средства и шасси.

Основная идея LES заключается в снижении вычислительных затрат путем игнорирования наименьших масштабов длины, которые являются наиболее вычислительно дорогими для решения, посредством низкочастотной фильтрации уравнений Навье–Стокса. Такая низкочастотная фильтрация, которую можно рассматривать как временное и пространственное усреднение, эффективно удаляет мелкомасштабную информацию из численного решения. Однако эта информация не является несущественной, и ее влияние на поле потока должно быть смоделировано, задача, которая является активной областью исследований для проблем, в которых мелкомасштабные факторы могут играть важную роль, таких как пристеночные потоки, ^{[6] [7]} реагирующие потоки, ^[3] и многофазные потоки. ^[8]

Определение и свойства фильтра

Поле скорости, полученное прямым численным моделированием (DNS) однородной затухающей турбулентности . Размер домена составляет . ${\displaystyle L^{3}}$

То же самое поле скорости DNS, отфильтрованное с помощью блочного фильтра и . ${\displaystyle \Delta =L/32}$

То же самое поле скорости DNS, отфильтрованное с помощью блочного фильтра и . ${\displaystyle \Delta =L/16}$

Фильтр LES может быть применен к пространственному и временному полю и выполнять операцию пространственной фильтрации, операцию временной фильтрации или обе. Фильтрованное поле, обозначенное чертой, определяется как: ^{[9] [10]} ${\displaystyle \phi ({\boldsymbol {x}},t)}$

${\displaystyle {\overline {\phi ({\boldsymbol {x}},t)}}=\displaystyle {\int _{-\infty }^{\infty }}\int _{-\infty }^{\infty }\phi ({\boldsymbol {r}},\tau )G({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {r}},t-\tau )d\tau d{\boldsymbol {r}}}$

где — ядро ​​свертки фильтра. Это также можно записать как: ${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\overline {\phi }}=G\star \phi .}$

Ядро фильтра имеет связанную шкалу длины отсечки и шкалу времени отсечки . Масштабы, меньшие этих, исключаются из . Используя приведенное выше определение фильтра, любое поле может быть разделено на отфильтрованную и подотфильтрованную (обозначенную штрихом) часть, как ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \tau _{c}}$ ${\displaystyle {\overline {\phi }}}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \phi ={\bar {\phi }}+\phi ^{\prime }.}$

Важно отметить, что операция фильтрации с помощью моделирования крупных вихрей не удовлетворяет свойствам оператора Рейнольдса .

Фильтрованные основные уравнения

Управляющие уравнения LES получаются путем фильтрации дифференциальных уравнений в частных производных , управляющих полем потока . Существуют различия между несжимаемыми и сжимаемыми управляющими уравнениями LES, которые приводят к определению новой операции фильтрации. ${\displaystyle \rho {\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}},t)}$

Несжимаемый поток

Для несжимаемого потока уравнение неразрывности и уравнения Навье-Стокса фильтруются, что дает отфильтрованное уравнение неразрывности несжимаемого потока:

${\displaystyle {\frac {\partial {\bar {u_{i}}}}{\partial x_{i}}}=0}$

и отфильтрованные уравнения Навье–Стокса,

${\displaystyle {\frac {\partial {\bar {u_{i}}}}{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\overline {u_{i}u_{j}}}\right)=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial {\overline {p}}}{\partial x_{i}}}+\nu {\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial {\bar {u_{i}}}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial {\bar {u_{j}}}}{\partial x_{i}}}\right)=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial {\overline {p}}}{\partial x_{i}}}+2\nu {\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\bar {S}}_{ij},}$

где — отфильтрованное поле давления, а — тензор скорости деформации, оцененный с использованием отфильтрованной скорости. Нелинейный отфильтрованный член адвекции является главной причиной трудностей в моделировании LES. Он требует знания неотфильтрованного поля скорости, которое неизвестно, поэтому его необходимо смоделировать. Следующий анализ иллюстрирует трудности, вызванные нелинейностью, а именно то, что она вызывает взаимодействие между большими и малыми масштабами, предотвращая разделение масштабов. ${\displaystyle {\bar {p}}}$ ${\displaystyle {\bar {S}}_{ij}}$ ${\displaystyle {\overline {u_{i}u_{j}}}}$

Фильтрованный адвективный член можно разделить, следуя Леонарду (1975), ^[11] следующим образом:

${\displaystyle {\overline {u_{i}u_{j}}}=\tau _{ij}+{\overline {u}}_{i}{\overline {u}}_{j}}$

где — тензор остаточных напряжений, так что отфильтрованные уравнения Навье-Стокса становятся ${\displaystyle \tau _{ij}}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\bar {u_{i}}}}{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\overline {u}}_{i}{\overline {u}}_{j}\right)=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial {\overline {p}}}{\partial x_{i}}}+2\nu {\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\bar {S}}_{ij}-{\frac {\partial \tau _{ij}}{\partial x_{j}}}}$

с тензором остаточного напряжения, группирующим все незамкнутые члены. Леонард разложил этот тензор напряжения как и предоставил физические интерпретации для каждого члена. , тензор Леонарда, представляет взаимодействия между большими масштабами, , член, подобный напряжению Рейнольдса, представляет взаимодействия между масштабами подфильтра (SFS), и , тензор Кларка, ^[12] представляет кросс-масштабные взаимодействия между большими и малыми масштабами. ^[11] Моделирование незамкнутого члена является задачей моделей подсеточного масштаба (SGS). Это осложняется тем фактом, что тензор подсеточного напряжения должен учитывать взаимодействия между всеми масштабами, включая отфильтрованные масштабы с неотфильтрованными масштабами. ${\displaystyle \tau _{ij}}$ ${\displaystyle \tau _{ij}=L_{ij}+C_{ij}+R_{ij}}$ ${\displaystyle L_{ij}={\overline {{\bar {u}}_{i}{\bar {u}}_{j}}}-{\bar {u}}_{i}{\bar {u}}_{j}}$ ${\displaystyle R_{ij}={\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}}$ ${\displaystyle C_{ij}={\overline {{\bar {u}}_{i}u_{j}^{\prime }}}+{\overline {{\bar {u}}_{j}u_{i}^{\prime }}}}$ ${\displaystyle \tau _{ij}}$ ${\displaystyle \tau _{ij}}$

Отфильтрованное основное уравнение для пассивного скаляра , такого как фракция смеси или температура, можно записать как ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle {\frac {\partial {\overline {\phi }}}{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\overline {u}}_{j}{\overline {\phi }}\right)={\frac {\partial {\overline {J_{\phi }}}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial q_{j}}{\partial x_{j}}}}$

где — диффузионный поток , а — поток подфильтра для скаляра . Отфильтрованный диффузионный поток является незамкнутым, если для него не предполагается определенная форма, например, модель градиентной диффузии . определяется аналогично , ${\displaystyle J_{\phi }}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle q_{j}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\overline {J_{\phi }}}}$ ${\displaystyle J_{\phi }=D_{\phi }{\frac {\partial \phi }{\partial x_{i}}}}$ ${\displaystyle q_{j}}$ ${\displaystyle \tau _{ij}}$

${\displaystyle q_{j}={\bar {\phi }}{\overline {u}}_{j}-{\overline {\phi u_{j}}}}$

и может быть аналогично разделен на вклады от взаимодействий между различными масштабами. Этот поток подфильтра также требует модели подфильтра.

Вывод

Используя обозначения Эйнштейна , уравнения Навье–Стокса для несжимаемой жидкости в декартовых координатах имеют вид

${\displaystyle {\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{i}}}=0}$

${\displaystyle {\frac {\partial u_{i}}{\partial t}}+{\frac {\partial u_{i}u_{j}}{\partial x_{j}}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}.}$

Фильтрация уравнения импульса приводит к

${\displaystyle {\overline {\frac {\partial u_{i}}{\partial t}}}+{\overline {\frac {\partial u_{i}u_{j}}{\partial x_{j}}}}=-{\overline {{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}}}+{\overline {\nu {\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}}}.}$

Если предположить, что фильтрация и дифференциация коммутируют, то

${\displaystyle {\frac {\partial {\bar {u_{i}}}}{\partial t}}+{\overline {\frac {\partial u_{i}u_{j}}{\partial x_{j}}}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial {\bar {p}}}{\partial x_{i}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}{\bar {u_{i}}}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}.}$

Это уравнение моделирует изменения во времени отфильтрованных переменных . Поскольку неотфильтрованные переменные неизвестны, невозможно напрямую вычислить . Однако величина известна. Делается замена: ${\displaystyle {\bar {u_{i}}}}$ ${\displaystyle u_{i}}$ ${\displaystyle {\overline {\frac {\partial u_{i}u_{j}}{\partial x_{j}}}}}$ ${\displaystyle {\frac {\partial {\bar {u_{i}}}{\bar {u_{j}}}}{\partial x_{j}}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\bar {u_{i}}}}{\partial t}}+{\frac {\partial {\bar {u_{i}}}{\bar {u_{j}}}}{\partial x_{j}}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial {\bar {p}}}{\partial x_{i}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}{\bar {u_{i}}}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}-\left({\overline {\frac {\partial u_{i}u_{j}}{\partial x_{j}}}}-{\frac {\partial {\bar {u_{i}}}{\bar {u_{j}}}}{\partial x_{j}}}\right).}$

Пусть . Полученный набор уравнений — это уравнения LES: ${\displaystyle \tau _{ij}={\overline {u_{i}u_{j}}}-{\bar {u}}_{i}{\bar {u}}_{j}}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\bar {u_{i}}}}{\partial t}}+{\bar {u_{j}}}{\frac {\partial {\bar {u_{i}}}}{\partial x_{j}}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial {\bar {p}}}{\partial x_{i}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}{\bar {u_{i}}}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}-{\frac {\partial \tau _{ij}}{\partial x_{j}}}.}$

Сжимаемые основные уравнения

Для основных уравнений сжимаемого потока каждое уравнение, начиная с сохранения массы, фильтруется. Это дает:

${\displaystyle {\frac {\partial {\overline {\rho }}}{\partial t}}+{\frac {\partial {\overline {u_{i}\rho }}}{\partial x_{i}}}=0}$

что приводит к дополнительному члену подфильтра. Однако желательно избегать необходимости моделировать масштабы подфильтра уравнения сохранения массы. По этой причине Фавр ^[13] предложил операцию фильтрации с весом по плотности, называемую фильтрацией Фавром, определяемую для произвольной величины как: ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle {\tilde {\phi }}={\frac {\overline {\rho \phi }}{\overline {\rho }}}}$

что в пределе несжимаемости становится нормальной операцией фильтрации. Это делает уравнение сохранения массы:

${\displaystyle {\frac {\partial {\overline {\rho }}}{\partial t}}+{\frac {\partial {\overline {\rho }}{\tilde {u_{i}}}}{\partial x_{i}}}=0.}$

Эту концепцию можно затем расширить, чтобы записать уравнение импульса, отфильтрованное по Фавру, для сжимаемого потока. Следуя Времану: ^[14]

${\displaystyle {\frac {\partial {\overline {\rho }}{\tilde {u_{i}}}}{\partial t}}+{\frac {\partial {\overline {\rho }}{\tilde {u_{i}}}{\tilde {u_{j}}}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial {\overline {p}}}{\partial x_{i}}}-{\frac {\partial {\tilde {\sigma }}_{ij}}{\partial x_{j}}}=-{\frac {\partial {\overline {\rho }}\tau _{ij}^{r}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\overline {\sigma }}_{ij}-{\tilde {\sigma }}_{ij}\right)}$

где — тензор касательных напряжений , определяемый для ньютоновской жидкости выражением: ${\displaystyle \sigma _{ij}}$

${\displaystyle \sigma _{ij}=2\mu (T)S_{ij}-{\frac {2}{3}}\mu (T)\delta _{ij}S_{kk}}$

и этот термин представляет собой вязкий вклад подфильтра из оценки вязкости с использованием отфильтрованной по Фавру температуры . Тензор напряжений подсетки для отфильтрованного по Фавру импульсного поля определяется как ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\overline {\sigma }}_{ij}-{\tilde {\sigma }}_{ij}\right)}$ ${\displaystyle \mu (T)}$ ${\displaystyle {\tilde {T}}}$

${\displaystyle \tau _{ij}^{r}={\widetilde {u_{i}\cdot u_{j}}}-{\tilde {u_{i}}}{\tilde {u_{j}}}}$

По аналогии, разложение Леонарда может быть также записано для тензора остаточного напряжения для отфильтрованного тройного произведения . Тройное произведение может быть переписано с использованием оператора фильтрации Фавра как , что является незамкнутым членом (он требует знания полей и , когда известны только поля и ). Его можно разбить способом, аналогичным вышеизложенному, что приводит к тензору напряжения подфильтра . Этот член подфильтра можно разбить на вклады от трех типов взаимодействий: тензор Леонарда , представляющий взаимодействия между разрешенными масштабами; тензор Кларка , представляющий взаимодействия между разрешенными и неразрешенными масштабами; и тензор Рейнольдса , представляющий взаимодействия между неразрешенными масштабами. ^[15] ${\displaystyle {\overline {\rho \phi \psi }}}$ ${\displaystyle {\overline {\rho }}{\widetilde {\phi \psi }}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {\tilde {\phi }}}$ ${\displaystyle {\tilde {\psi }}}$ ${\displaystyle {\overline {u_{i}u_{j}}}}$ ${\displaystyle {\overline {\rho }}\left({\widetilde {\phi \psi }}-{\tilde {\phi }}{\tilde {\psi }}\right)}$ ${\displaystyle L_{ij}}$ ${\displaystyle C_{ij}}$ ${\displaystyle R_{ij}}$

Фильтрованное уравнение кинетической энергии

В дополнение к отфильтрованным уравнениям массы и импульса, фильтрация уравнения кинетической энергии может дать дополнительное понимание. Поле кинетической энергии может быть отфильтровано для получения общей отфильтрованной кинетической энергии:

${\displaystyle {\overline {E}}={\frac {1}{2}}{\overline {u_{i}u_{i}}}}$

и полную отфильтрованную кинетическую энергию можно разложить на два члена: кинетическую энергию отфильтрованного поля скорости , ${\displaystyle E_{f}}$

${\displaystyle E_{f}={\frac {1}{2}}{\overline {u_{i}}}\,{\overline {u_{i}}}}$

и остаточная кинетическая энергия , ${\displaystyle k_{r}}$

${\displaystyle k_{r}={\frac {1}{2}}{\overline {u_{i}u_{i}}}-{\frac {1}{2}}{\overline {u_{i}}}\,{\overline {u_{i}}}={\frac {1}{2}}\tau _{ii}^{r}}$

таким образом, что . ${\displaystyle {\overline {E}}=E_{f}+k_{r}}$

Уравнение сохранения для можно получить, умножив отфильтрованное уравнение переноса импульса на и получив: ${\displaystyle E_{f}}$ ${\displaystyle {\overline {u_{i}}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial E_{f}}{\partial t}}+{\overline {u_{j}}}{\frac {\partial E_{f}}{\partial x_{j}}}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial {\overline {u_{i}}}{\bar {p}}}{\partial x_{i}}}+{\frac {\partial {\overline {u_{i}}}\tau _{ij}^{r}}{\partial x_{j}}}-2\nu {\frac {\partial {\overline {u_{i}}}{\bar {S_{ij}}}}{\partial x_{j}}}=-\epsilon _{f}-\Pi }$

где — диссипация кинетической энергии отфильтрованного поля скорости вязким напряжением, а — диссипация кинетической энергии в масштабе подфильтра (SFS). ${\displaystyle \epsilon _{f}=2\nu {\bar {S_{ij}}}{\bar {S_{ij}}}}$ ${\displaystyle \Pi =-\tau _{ij}^{r}{\bar {S_{ij}}}}$

Члены в левой части представляют собой транспорт, а члены в правой части — это члены стока, которые рассеивают кинетическую энергию. ^[9]

Термин диссипации SFS представляет особый интерес, поскольку он представляет собой передачу энергии от больших разрешенных масштабов к малым неразрешенным масштабам. В среднем передает энергию от больших к малым масштабам. Однако мгновенно может быть положительным или отрицательным, то есть он также может выступать в качестве исходного термина для , кинетической энергии отфильтрованного поля скорости. Передача энергии от неразрешенных к разрешенным масштабам называется обратным рассеянием (и аналогично передача энергии от разрешенных к неразрешенным масштабам называется прямым рассеянием ). ^[16] ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle E_{f}}$

Численные методы для LES

Моделирование больших вихрей включает решение дискретных отфильтрованных управляющих уравнений с использованием вычислительной гидродинамики . LES разрешает масштабы от размера домена до размера фильтра , и, как таковая, значительная часть турбулентных флуктуаций с высоким волновым числом должна быть разрешена. Это требует либо численных схем высокого порядка , либо мелкого разрешения сетки, если используются численные схемы низкого порядка. Глава 13 Поупа ^[9] рассматривает вопрос о том, насколько мелкое разрешение сетки необходимо для разрешения отфильтрованного поля скорости . Гхосал ^[17] обнаружил, что для схем дискретизации низкого порядка, таких как те, которые используются в методах конечного объема, ошибка усечения может быть того же порядка, что и вклады масштаба подфильтра, если только ширина фильтра не значительно больше шага сетки . Хотя схемы четного порядка имеют ошибку усечения, они недиссипативны, ^[18] и поскольку модели масштаба подфильтра являются диссипативными, схемы четного порядка не будут влиять на вклады модели масштаба подфильтра так сильно, как диссипативные схемы. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle {\overline {u}}({\boldsymbol {x}})}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Delta x}$

Реализация фильтра

Операция фильтрации в моделировании больших вихрей может быть неявной или явной. Неявная фильтрация распознает, что модель масштаба подфильтра будет рассеиваться таким же образом, как и многие численные схемы. Таким образом, сетка или числовая схема дискретизации может считаться фильтром нижних частот LES. Хотя это в полной мере использует разрешение сетки и устраняет вычислительные затраты на расчет члена модели масштаба подфильтра, трудно определить форму фильтра LES, связанную с некоторыми численными проблемами. Кроме того, ошибка усечения также может стать проблемой. ^[19]

При явной фильтрации фильтр LES применяется к дискретизированным уравнениям Навье–Стокса, обеспечивая четко определенную форму фильтра и уменьшая ошибку усечения. Однако явная фильтрация требует более мелкой сетки, чем неявная фильтрация, а вычислительные затраты увеличиваются с . Глава 8 работы Саго (2006) более подробно рассматривает числовые данные LES. ^[10] ${\displaystyle (\Delta x)^{4}}$

Граничные условия моделирования крупных вихрей

Входные граничные условия существенно влияют на точность LES, и обработка входных условий для LES является сложной проблемой. Теоретически, хорошее граничное условие для LES должно содержать следующие особенности: ^[20]

(1) предоставление точной информации о характеристиках потока, т. е. скорости и турбулентности;

(2) удовлетворяющий уравнениям Навье-Стокса и другим физическим законам;

(3) простота внедрения и адаптации к различным случаям.

В настоящее время методы создания входных условий для LES в целом делятся на две категории, классифицированные Табором и др.: ^[21]

Первый метод создания турбулентных входов заключается в их синтезе в соответствии с частными случаями, такими как методы Фурье, принцип ортогонального разложения (POD) и вихревые методы. Методы синтеза пытаются построить турбулентное поле на входах, которые имеют подходящие свойства, подобные турбулентности, и позволяют легко задать параметры турбулентности, такие как турбулентная кинетическая энергия и скорость турбулентной диссипации. Кроме того, условия входа, генерируемые с использованием случайных чисел, являются вычислительно недорогими. Однако в методе существует один серьезный недостаток. Синтезированная турбулентность не удовлетворяет физической структуре потока жидкости, управляемого уравнениями Навье-Стокса. ^[20]

Второй метод включает в себя отдельный и предшествующий расчет для создания турбулентной базы данных, которая может быть введена в основные вычисления на входах. База данных (иногда называемая «библиотекой») может быть создана несколькими способами, такими как циклические домены, предварительно подготовленная библиотека и внутреннее отображение. Однако метод создания турбулентного притока с помощью моделирования предшествующих требует большой вычислительной мощности.

Исследователи, изучающие применение различных типов синтетических и предварительных расчетов, обнаружили, что чем реалистичнее турбулентность на входе, тем точнее LES предсказывает результаты. ^[20]

Моделирование неразрешенных масштабов

Чтобы обсудить моделирование неразрешенных шкал, сначала необходимо классифицировать неразрешенные шкалы. Они делятся на две группы: разрешенные шкалы подфильтра (SFS) и шкалы подсетки (SGS).

Масштабы разрешенных подфильтров представляют масштабы с волновыми числами, большими, чем волновое число отсечки , но чьи эффекты подавляются фильтром. Масштабы разрешенных подфильтров существуют только при использовании фильтров, нелокальных в волновом пространстве (таких как ящик или гауссовский фильтр). Эти масштабы разрешенных подфильтров должны быть смоделированы с использованием реконструкции фильтра. ${\displaystyle k_{c}}$

Масштабы подсетки — это любые масштабы, которые меньше ширины фильтра отсечки . Форма модели SGS зависит от реализации фильтра. Как упоминалось в разделе Численные методы для LES, если рассматривается неявный LES, модель SGS не реализуется, и предполагается, что численные эффекты дискретизации имитируют физику неразрешенных турбулентных движений. ${\displaystyle \Delta }$

Модели масштаба подсетки

Без универсального описания турбулентности при построении и применении моделей SGS необходимо использовать эмпирическую информацию, дополненную фундаментальными физическими ограничениями, такими как галилеевская инвариантность ^[9] . ^[22] Существует два класса моделей SGS: первый класс — функциональные модели , а второй класс — структурные модели . Некоторые модели можно отнести к обеим категориям.

Функциональные (вихревовязкостные) модели

Функциональные модели проще структурных моделей, фокусируясь только на рассеивании энергии с физически корректной скоростью. Они основаны на подходе искусственной вихревой вязкости, где эффекты турбулентности объединяются в турбулентную вязкость. Подход рассматривает рассеивание кинетической энергии в масштабах подсетки как аналог молекулярной диффузии. В этом случае девиаторная часть моделируется как: ${\displaystyle \tau _{ij}}$

${\displaystyle \tau _{ij}^{r}-{\frac {1}{3}}\tau _{kk}\delta _{ij}=-2\nu _{\mathrm {t} }{\bar {S}}_{ij}}$

где — турбулентная турбулентная вязкость, — тензор скорости деформации. ${\displaystyle \nu _{\mathrm {t} }}$ ${\displaystyle {\bar {S}}_{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial {\bar {u}}_{j}}{\partial x_{i}}}\right)}$

На основе размерного анализа вихревая вязкость должна иметь единицы измерения . Большинство моделей вихревой вязкости SGS моделируют вихревую вязкость как произведение характерного масштаба длины и характерного масштаба скорости. ${\displaystyle \left[\nu _{\mathrm {t} }\right]={\frac {\mathrm {m^{2}} }{\mathrm {s} }}}$

Модель Смагоринского–Лилли

Первой разработанной моделью SGS была модель SGS Смагорински–Лилли, разработанная Смагорински ^[1] и использованная в первом моделировании LES Дирдорфом. ^[2] Она моделирует вихревую вязкость следующим образом:

${\displaystyle \nu _{\mathrm {t} }=C\Delta ^{2}{\sqrt {2{\bar {S}}_{ij}{\bar {S}}_{ij}}}=C\Delta ^{2}\left|{\bar {S}}\right|}$

где — размер сетки, — константа. ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle C}$

Этот метод предполагает, что производство и рассеивание энергии в малых масштабах находятся в равновесии, то есть . ${\displaystyle \epsilon =\Pi }$

Динамическая модель (Джермано и др. и далее)

Germano et al. ^[23] выявили ряд исследований с использованием модели Смагоринского, каждое из которых нашло различные значения для константы Смагоринского для различных конфигураций потока. В попытке сформулировать более универсальный подход к моделям SGS Germano et al. предложили динамическую модель Смагоринского, которая использовала два фильтра: фильтр сетки LES, обозначенный , и тестовый фильтр LES, обозначенный для любого турбулентного поля . Тестовый фильтр больше по размеру, чем фильтр сетки, и добавляет дополнительное сглаживание поля турбулентности по уже сглаженным полям, представленным LES. Применение тестового фильтра к уравнениям LES (которые получаются путем применения фильтра «сетки» к уравнениям Навье-Стокса) приводит к новому набору уравнений, которые идентичны по форме, но с напряжением SGS, замененным на . Germano {\it et} al. отметили, что, хотя ни ни не могут быть вычислены точно из-за наличия неразрешенных масштабов, существует точное соотношение, связывающее эти два тензора. Это отношение, известное как тождество Германо, здесь может быть явно оценено, поскольку оно включает только отфильтрованные скорости и операцию тестовой фильтрации. Значение тождества заключается в том, что если предположить, что турбулентность самоподобна, так что напряжение SGS на уровнях сетки и теста имеет одинаковую форму и , то тождество Германо дает уравнение, из которого потенциально может быть определен коэффициент Смагоринского (который больше не является «константой»). [Процедуре присуще предположение, что коэффициент инвариантен относительно масштаба (см. обзор ^[24] )]. Для этого в исходную формулировку были введены два дополнительных шага. Во-первых, предполагалось, что, хотя в принципе является переменным, изменение было достаточно медленным, чтобы его можно было вывести из операции фильтрации . Во-вторых, поскольку было скаляром, тождество Германо было сжато с тензором второго ранга (был выбран тензор скорости деформации), чтобы преобразовать его в скалярное уравнение, из которого можно было бы определить . Лилли ^[25] нашел менее произвольный и, следовательно, более удовлетворительный подход для получения C из тензорного тождества. Он отметил, что тождество Германо требует удовлетворения девяти уравнений в каждой точке пространства (из которых только пять являются независимыми) для одной величины . Поэтому проблема получения была переопределена. Поэтому он предложил, чтобы быть определена с использованием наименьших квадратов путем минимизации остатков. Это приводит к ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\overline {f}}}$ ${\displaystyle {\hat {f}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \tau _{ij}={\overline {u_{i}u_{j}}}-{\bar {u}}_{i}{\bar {u}}_{j}}$ ${\displaystyle T_{ij}={\widehat {\overline {u_{i}u_{j}}}}-{\hat {\bar {u}}}_{i}{\hat {\bar {u}}}_{j}}$ ${\displaystyle \tau _{ij}}$ ${\displaystyle T_{ij}}$ ${\displaystyle L_{ij}=T_{ij}-{\hat {\tau }}_{ij}.}$ ${\displaystyle L_{ij}={\widehat {{\bar {u}}_{i}{\bar {u}}_{j}}}-{\widehat {{\bar {u}}_{i}}}{\widehat {{\bar {u}}_{j}}}}$ ${\displaystyle \tau _{ij}-(\tau _{kk}/3)\delta _{ij}=-2C\Delta ^{2}|{\bar {S}}_{ij}|{\bar {S}}_{ij}}$ ${\displaystyle T_{ij}-(T_{kk}/3)\delta _{ij}=-2C{\hat {\Delta }}^{2}|{\hat {\bar {S}}}_{ij}|{\hat {\bar {S}}}_{ij}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\widehat {C(.)}}=C{\widehat {(.)}}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle C={\frac {L_{ij}m_{ij}}{m_{kl}m_{kl}}}.}$

Здесь

${\displaystyle m_{ij}=\alpha _{ij}-{\widehat {\beta }}_{ij}}$

и для краткости , Первоначальные попытки реализовать модель в LES-моделировании оказались безуспешными. Во-первых, вычисленный коэффициент был совсем не "медленно меняющимся", как предполагалось, и менялся так же сильно, как и любое другое турбулентное поле. Во-вторых, вычисленный мог быть как положительным, так и отрицательным. Последний факт сам по себе не следует рассматривать как недостаток, поскольку априорные тесты с использованием отфильтрованных полей DNS показали, что локальная скорость подсеточной диссипации в турбулентном поле почти так же вероятно будет отрицательной, как и положительной, хотя интеграл по области жидкости всегда положителен, представляя чистую диссипацию энергии в больших масштабах. Небольшое преобладание положительных значений в отличие от строгой положительности вихревой вязкости приводит к наблюдаемой чистой диссипации. Это так называемое "обратное рассеяние" энергии от малых к большим масштабам действительно соответствует отрицательным значениям C в модели Смагоринского. Тем не менее, было обнаружено, что формулировка Джермано-Лилли не приводит к стабильным расчетам. Была принята специальная мера путем усреднения числителя и знаменателя по однородным направлениям (там, где такие направления существуют в потоке) ${\displaystyle \alpha _{ij}=-2{\hat {\Delta }}^{2}|{\hat {\bar {S}}}|{\hat {\bar {S}}}_{ij}}$ ${\displaystyle \beta _{ij}=-2\Delta ^{2}|{\bar {S}}|{\bar {S}}_{ij}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle -\tau _{ij}{\bar {S}}_{ij}}$

${\displaystyle C={\frac {\left\langle L_{ij}m_{ij}\right\rangle }{\left\langle m_{kl}m_{kl}\right\rangle }}.}$

Когда усреднение включало достаточно большую статистическую выборку, так что вычисляемое было положительным (или, по крайней мере, только изредка отрицательным), были возможны стабильные вычисления. Простая установка отрицательных значений в ноль (процедура, называемая «отсечением») с усреднением или без него также приводила к стабильным вычислениям. Менево предложил ^[26] усреднение по лагранжевым траекториям жидкости с экспоненциально затухающей «памятью». Это может быть применено к проблемам, не имеющим однородных направлений, и может быть стабильным, если эффективное время, в течение которого выполняется усреднение, достаточно велико, но не настолько велико, чтобы сгладить интересующие пространственные неоднородности. ${\displaystyle C}$

Модификация Лилли метода Германо, за которой следует статистическое усреднение или синтетическое удаление областей отрицательной вязкости, кажется ad hoc, даже если ее можно заставить «работать». Альтернативная формулировка процедуры минимизации наименьших квадратов, известная как «Модель динамической локализации» (DLM), была предложена Госалом и др. ^[27] В этом подходе сначала определяется величина

${\displaystyle E_{ij}=L_{ij}-T_{ij}+{\hat {\tau }}_{ij}}$

с тензорами и заменены соответствующей моделью SGS. Затем этот тензор представляет собой величину, на которую модель подсетки не соблюдает тождество Германо в каждом пространственном месте. В подходе Лилли затем вытаскивается из шляпы оператор ${\displaystyle \tau _{ij}}$ ${\displaystyle T_{ij}}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle {\widehat {C(.)}}=C{\widehat {(.)}}}$

создание алгебраической функции от которой затем определяется требованием, чтобы рассматриваемая как функция от C имела наименьшее возможное значение. Однако, поскольку полученная таким образом оказывается столь же переменной, как и любая другая флуктуирующая величина в турбулентности, исходное предположение о постоянстве не может быть оправдано апостериори. В подходе DLM избегают этого противоречия, не вызывая шаг удаления C из операции тестовой фильтрации. Вместо этого определяют глобальную ошибку по всей области течения величиной ${\displaystyle E_{ij}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle E_{ij}E_{ij}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle E[C]=\int E_{ij}E_{ij}dV}$

где интеграл пробегает весь объем жидкости. Эта глобальная ошибка является тогда функционалом пространственно изменяющейся функции (здесь момент времени, , фиксирован и, следовательно, появляется просто как параметр), который определяется так, чтобы минимизировать этот функционал. Решение этой вариационной задачи заключается в том, что должно удовлетворять интегральному уравнению Фредгольма второго рода ${\displaystyle E[C(x,y,z,t)]}$ ${\displaystyle C(x,y,z,t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle C({\boldsymbol {x}})=f({\boldsymbol {x}})+\int K({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}})C({\boldsymbol {y}})d{\boldsymbol {y}}}$

где функции и определяются в терминах разрешенных полей и, следовательно, известны на каждом временном шаге, а интеграл распространяется по всей области жидкости. Интегральное уравнение решается численно с помощью итерационной процедуры, и было обнаружено, что сходимость в целом быстрая, если используется со схемой предварительной подготовки. Несмотря на то, что этот вариационный подход устраняет присущую подходу Лилли непоследовательность, полученный из интегрального уравнения все еще демонстрирует нестабильность, связанную с отрицательными вязкостями. Это можно решить, настаивая на том, чтобы быть минимизированным при условии ограничения . Это приводит к уравнению для , которое является нелинейным ${\displaystyle K({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}})}$ ${\displaystyle f({\boldsymbol {x}})}$ ${\displaystyle L_{ij},\alpha _{ij},\beta _{ij}}$ ${\displaystyle C(x,y,z,t)}$ ${\displaystyle E[C]}$ ${\displaystyle C(x,y,z,t)\geq 0}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle C({\boldsymbol {x}})=\left[f({\boldsymbol {x}})+\int K({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}})C({\boldsymbol {y}})d{\boldsymbol {y}}\right]_{+}}$

Здесь суффикс + указывает на «положительную часть», то есть . Хотя это поверхностно выглядит как «отсечение», это не специальная схема, а добросовестное решение ограниченной вариационной проблемы. Эта модель DLM(+) оказалась стабильной и дала превосходные результаты для вынужденной и затухающей изотропной турбулентности, русловых потоков и множества других более сложных геометрий. Если поток имеет однородные направления (скажем, направления x и z), то можно ввести анзац . Вариационный подход тогда немедленно дает результат Лилли с усреднением по однородным направлениям без какой-либо необходимости в специальных модификациях предыдущего результата. ${\displaystyle x_{+}=(x+|x|)/2}$ ${\displaystyle C=C(y,t)}$

Одним из недостатков модели DLM(+) было то, что она не описывала обратное рассеяние, которое, как известно, является реальной «вещью» из анализа данных DNS. Для решения этой проблемы были разработаны два подхода. В одном подходе, предложенном Карати и др. ^[28], флуктуирующая сила с амплитудой, определяемой теоремой о флуктуации-диссипации, добавляется по аналогии с теорией Ландау о флуктуирующей гидродинамике. Во втором подходе отмечается, что любая «обратно рассеянная» энергия появляется в разрешенных масштабах только за счет энергии в масштабах подсетки. DLM можно модифицировать простым способом, чтобы учесть этот физический факт, чтобы допустить обратное рассеяние, оставаясь при этом по своей сути стабильным. Эта версия DLM с k-уравнением, DLM(k), заменяет в модели вихревой вязкости Смагоринского на как подходящую шкалу скорости. Процедура определения остается идентичной «неограниченной» версии, за исключением того, что тензоры , где кинетическая энергия подтестового масштаба K связана с кинетической энергией подсеточного масштаба k соотношением (следует, взяв след тождества Германо). Для определения k мы теперь используем уравнение переноса ${\displaystyle \Delta |{\bar {S}}|}$ ${\displaystyle {\sqrt {k}}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \alpha _{ij}=-2{\hat {\Delta }}{\sqrt {K}}{\hat {\bar {S}}}_{ij}}$ ${\displaystyle \beta _{ij}=-2{\hat {\Delta }}{\sqrt {k}}{\bar {S}}_{ij}}$ ${\displaystyle K=k+L_{ii}/2}$

${\displaystyle {\frac {\partial k}{\partial t}}+u_{j}{\frac {\partial k}{\partial x_{j}}}=-\tau _{ij}{\bar {S}}_{ij}-{\frac {C_{*}}{\Delta }}k^{3/2}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left(D\Delta {\sqrt {k}}{\frac {\partial k}{\partial x_{j}}}\right)+\nu {\frac {\partial ^{2}k}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}}$

где — кинематическая вязкость, а — положительные коэффициенты, представляющие диссипацию и диффузию кинетической энергии соответственно. Их можно определить, следуя динамической процедуре с ограниченной минимизацией, как в DLM(+). Этот подход, хотя и более затратный в реализации, чем DLM(+), оказался стабильным и дал хорошее согласие с экспериментальными данными для различных протестированных потоков. Более того, математически невозможно, чтобы DLM(k) привел к нестабильным вычислениям, поскольку сумма крупномасштабной и SGS-энергий не увеличивается по построению. Оба этих подхода, включающие обратное рассеяние, работают хорошо. Они дают модели, которые немного менее диссипативны с несколько улучшенной производительностью по сравнению с DLM(+). Модель DLM(k) дополнительно дает подсеточную кинетическую энергию, которая может быть физической величиной, представляющей интерес. Эти улучшения достигаются при несколько увеличенных затратах на реализацию модели. ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle C_{*},D}$

Динамическая модель возникла в летней программе 1990 года Центра исследований турбулентности (CTR) в Стэнфордском университете . Серия семинаров "CTR-Tea" отметила 30-ю годовщину Архивировано 2022-10-30 в Wayback Machine этой важной вехи в моделировании турбулентности.

Структурные модели

Смотрите также

• Прямое численное моделирование
• Механика жидкости
• Галилеевская инвариантность – важное свойство некоторых типов фильтров.
• Уравнения Навье–Стокса, усредненные по Рейнольдсу
• Турбулентность

Дальнейшее чтение

• Хеус, Т.; ван Хеерваарден, К.К.; Йонкер, Х.Й.Й.; Пьер Сибесма, А.; Аксельсен, С. «Формулировка голландской модели атмосферных крупных вихрей (DALES) и обзор ее приложений»  Geoscientific Model Development , 3, 2, 30-09-2010, стр. 415–444. DOI: 10.5194/gmd-3-415-2010. ISSN: 1991-9603.

Ссылки

1. Smagorinsky, Joseph (март 1963 г.). "Эксперименты по общей циркуляции с примитивными уравнениями". Monthly Weather Review . 91 (3): 99–164. Bibcode :1963MWRv...91...99S. doi : 10.1175/1520-0493(1963)091<0099:GCEWTP>2.3.CO;2 .
2. Deardorff, James (1970). "Численное исследование трехмерного турбулентного течения в канале при больших числах Рейнольдса". Journal of Fluid Mechanics . 41 (2): 453–480. Bibcode : 1970JFM....41..453D. doi : 10.1017/S0022112070000691. S2CID  121884175.
3. Pitsch, Heinz (2006). "Моделирование турбулентного горения с большими вихрями" (PDF) . Annual Review of Fluid Mechanics . 38 (1): 453–482. Bibcode : 2006AnRFM..38..453P. doi : 10.1146/annurev.fluid.38.050304.092133. S2CID  5487815.
4. Вагнер, Клаус; Хюттл, Томас; Саго, Пьер (2007). Моделирование больших вихрей в акустике . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-87144-0.
5. Салливан, Питер П.; Мак-Вильямс, Джеймс К.; Моенг, Чин-Хох (1994). «Подсеточная модель для моделирования крупных вихрей в планетарных пограничных потоках». Boundary-Layer Meteorology . 71 (3): 247–276. Bibcode :1994BoLMe..71..247S. CiteSeerX 10.1.1.463.6006 . doi :10.1007/BF00713741. ISSN  0006-8314. S2CID  53051046. 
6. Piomelli, Ugo; Elias Balaras (2002). «Модели пристеночного слоя для моделирования крупных вихрей». Annual Review of Fluid Mechanics . 34 (34): 349–374. Bibcode : 2002AnRFM..34..349P. doi : 10.1146/annurev.fluid.34.082901.144919.
7. Spalart, Philippe R. (2009). «Моделирование отрывных вихрей». Annual Review of Fluid Mechanics . 41 (1): 181–202. Bibcode : 2009AnRFM..41..181S. doi : 10.1146/annurev.fluid.010908.165130.
8. Фокс, РО (2012). «Инструменты моделирования крупных вихрей для многофазных потоков». Annual Review of Fluid Mechanics . 44 (1): 47–76. Bibcode : 2012AnRFM..44...47F. doi : 10.1146/annurev-fluid-120710-101118.
9. Поуп, СБ (2000). Турбулентные потоки . Издательство Кембриджского университета.
10. Sagaut, Pierre (2006). Моделирование больших вихрей для несжимаемых потоков (третье изд.). Springer. ISBN 978-3-540-26344-9.
11. Leonard, A. (1975). "Энергетический каскад в моделировании крупных вихрей турбулентных потоков жидкости". Турбулентная диффузия в загрязнении окружающей среды, Труды симпозиума, проведенного в Шарлоттсвилле . Advances in Geophysics A. Vol. 18. pp. 237–248. Bibcode :1975AdGeo..18..237L. doi :10.1016/S0065-2687(08)60464-1. ISBN 9780120188185.
12. Кларк, Р.; Ферцигер, Дж.; Рейнольдс, В. (1979). «Оценка моделей подсеточного масштаба с использованием точно смоделированного турбулентного потока». Журнал механики жидкости . 91 : 1–16. Bibcode : 1979JFM....91....1C. doi : 10.1017/S002211207900001X. S2CID  120228458.
13. Фавр, Александр (1983). «Турбулентность: пространственно-временные статистические свойства и поведение в сверхзвуковых потоках». Физика жидкостей A. 23 ( 10): 2851–2863. Bibcode :1983PhFl...26.2851F. doi :10.1063/1.864049.
14. Времан, Берт; Гертс, Бернард; Куэртен, Ханс (1995). «Подсеточное моделирование в LES сжимаемого потока». Прикладные научные исследования . 45 (3): 191–203. doi :10.1007/BF00849116.
15. Гарнье, Э.; Адамс, Н.; Саго, П. (2009). Моделирование больших вихрей для сжимаемых потоков. Springer. doi :10.1007/978-90-481-2819-8. ISBN 978-90-481-2818-1.
16. Piomelli, U.; Cabot, W.; Moin, P .; Lee, S. (1991). «Обратное рассеяние в масштабе подсетки в турбулентных и переходных потоках». Physics of Fluids A. 3 ( 7): 1766–1771. Bibcode :1991PhFlA...3.1766P. doi :10.1063/1.857956. S2CID  54904570.
17. Ghosal, S. (апрель 1996 г.). «Анализ численных ошибок в моделировании турбулентности с помощью крупных вихрей». Журнал вычислительной физики . 125 (1): 187–206. Bibcode : 1996JCoPh.125..187G. doi : 10.1006/jcph.1996.0088 .
18. Рэндалл Дж. Левек (1992). Численные методы для законов сохранения (2-е изд.). Birkhäuser Basel. ISBN 978-3-7643-2723-1.
19. Гринштейн, Фернандо; Марголин, Лен; Райдер, Уильям (2007). Неявное моделирование больших вихрей . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86982-9.
20. Li, P.; Eckels, S.; Mann, G.; Zhang, N. (2018). «Метод измерения структур турбулентного потока с помощью измерения скорости изображения частиц и включение в граничные условия моделирования крупных вихрей». Журнал по гидродинамике . 140 (7). ASME International. 071401-071401-11. doi :10.1115/1.4039256.
21. Табор, GR; Баба-Ахмади, MH (2010). «Условия входа для моделирования больших вихрей: обзор». Компьютеры и жидкости . 39 (4): 553–567. doi :10.1016/j.compfluid.2009.10.007.
22. Менево, К. (2010). «Турбулентность: моделирование в масштабе подсетки». Scholarpedia . 5 (1): 9489. Bibcode :2010SchpJ...5.9489M. doi : 10.4249/scholarpedia.9489 .
23. Germano, M.; Piomelli, U.; Moin, P .; Cabot, W. (1991). «Динамическая модель вихревой вязкости в масштабе подсетки». Physics of Fluids A. 3 ( 7): 1760–1765. Bibcode :1991PhFlA...3.1760G. doi :10.1063/1.857955. S2CID  55719851.
24. Meneveau, C.; Katz, J. (2000). «Масштабная инвариантность и модели турбулентности для моделирования крупных вихрей». Annu. Rev. Fluid Mech . 32 (1): 1–32. Bibcode : 2000AnRFM..32....1M. doi : 10.1146/annurev.fluid.32.1.1.
25. Лилли, ДК (1992). «Предлагаемая модификация метода замыкания подсетки Германо». Физика жидкостей A. 4 ( 3): 633–636. Bibcode : 1992PhFlA...4..633L. doi : 10.1063/1.858280.
26. Meneveau, C.; Lund, TS; Cabot, WH (1996). «Лагранжева динамическая подсеточная модель турбулентности». J. Fluid Mech . 319 (1): 353–385. Bibcode :1996JFM...319..353M. doi :10.1017/S0022112096007379. hdl : 2060/19950014634 . S2CID  122183534.
27. Ghosal, S.; Lund, TS; Moin, P.; Akselvoll, K. (1995). "Модель динамической локализации для моделирования крупных вихрей турбулентных потоков". Journal of Fluid Mechanics . 286 : 229–255. Bibcode : 1995JFM...286..229G. doi : 10.1017/S0022112095000711. S2CID  124586994.
28. Carati, D.; Ghosal, S.; Moin, P. (1995). «О представлении обратного рассеяния в моделях динамической локализации». Physics of Fluids . 7 (3): 606–616. Bibcode :1995PhFl....7..606C. doi : 10.1063/1.868585 .