Волновая функция Лафлина

В физике конденсированного состояния волновая функция Лафлина [ ^{1] [2]} представляет собой анзац , предложенный Робертом Лафлином для основного состояния двумерного электронного газа , помещенного в однородное фоновое магнитное поле в присутствии однородного желеобразного фона, когда коэффициент заполнения нижнего уровня Ландау равен где – нечетное целое положительное число. Он был построен для объяснения наблюдения дробного квантового эффекта Холла (ДКЭХ) и предсказал существование дополнительных состояний, а также квазичастичных возбуждений с дробным электрическим зарядом , которые позже были обнаружены экспериментально. За это открытие Лафлин получил треть Нобелевской премии по физике в 1998 году. ${\displaystyle \nu =1/n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \nu =1/3}$ ${\displaystyle \nu =1/n}$ ${\displaystyle e/n}$

Контекст и аналитическое выражение

Если мы игнорируем желе и взаимное кулоновское отталкивание между электронами в качестве приближения нулевого порядка, мы имеем бесконечно вырожденный нижний уровень Ландау (LLL) и с коэффициентом заполнения 1/ n мы ожидаем, что все электроны будут лежать в ЛЛЛ. Включив взаимодействия, мы можем сделать приближение, что все электроны лежат в LLL. Если – одночастичная волновая функция состояния LLL с наименьшим орбитальным угловым моментом , то анзац Лафлина для многочастичной волновой функции равен ${\displaystyle \psi _{0}}$

${\displaystyle \langle z_{1},z_{2},z_{3},\ldots ,z_{N}\mid n,N\rangle =\psi _{n,N}(z_{1},z_{2},z_{3},\ldots ,z_{N})=D\left[\prod _{N\geqslant i>j\geqslant 1}\left(z_{i}-z_{j}\right)^{n}\right]\prod _{k=1}^{N}\exp \left(-\mid z_{k}\mid ^{2}\right)}$

где позиция обозначается

${\displaystyle z={1 \over 2{\mathit {l}}_{B}}\left(x+iy\right)}$

в ( гауссовых единицах )

${\displaystyle {\mathit {l}}_{B}={\sqrt {\hbar c \over eB}}}$

и и – координаты в плоскости xy. Здесь – приведенная постоянная Планка , – заряд электрона , – общее число частиц, – магнитное поле , перпендикулярное плоскости xy. Индексы у z идентифицируют частицу. Чтобы волновая функция описывала фермионы , n должно быть нечетным целым числом. Это заставляет волновую функцию быть антисимметричной при обмене частицами. Угловой момент для этого состояния равен . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle n\hbar }$

Истинное основное состояние в FQHE при ν "=" 1 / 3 {\displaystyle \nu =1/3}

Рассмотрим выше: результирующая является пробной волновой функцией; оно не точное, но качественно воспроизводит многие черты точного решения и количественно имеет очень высокое перекрытие с точным основным состоянием для малых систем. Предполагая кулоновское отталкивание между любыми двумя электронами, это основное состояние можно определить с помощью точной диагонализации ^[3] , а перекрытия, как было рассчитано, близки к единице. Более того , при короткодействующем взаимодействии (псевдопотенциалы Холдейна для m>3 равны нулю) волновая функция Лафлина становится точной, ^[4] т.е. ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle \Psi _{L}(z_{1},z_{2},z_{3},\ldots ,z_{N})\propto \Pi _{i<j}(z_{i}-z_{j})^{3}}$ ${\displaystyle \Psi _{ED}}$ ${\displaystyle \langle \Psi _{ED}|\Psi _{L}\rangle =1}$

Энергия взаимодействия двух частиц

Рисунок 1. Энергия взаимодействия в зависимости от и . Энергия измеряется в единицах . Обратите внимание, что минимумы наблюдаются при и . Обычно минимумы наблюдаются при . ${\displaystyle {\mathit {l}}}$ ${\displaystyle n=7}$ ${\displaystyle k_{B}r_{B}=20}$ ${\displaystyle {e^{2} \over L_{B}}}$ ${\displaystyle {\mathit {l}}=3}$ ${\displaystyle {\mathit {l}}=4}$ ${\displaystyle {{\mathit {l}} \over n}={1 \over 2}\pm {1 \over 2n}}$

Волновая функция Лафлина — это многочастичная волновая функция для квазичастиц . Среднее значение энергии взаимодействия пары квазичастиц равно

${\displaystyle \langle V\rangle =\langle n,N\mid V\mid n,N\rangle ,\;\;\;N=2}$

где экранированный потенциал (см. Кулоновский потенциал между двумя токовыми петлями, заключенными в магнитное поле )

${\displaystyle V\left(r_{12}\right)=\left({2e^{2} \over L_{B}}\right)\int _{0}^{\infty }{{k\;dk\;} \over k^{2}+k_{B}^{2}r_{B}^{2}}\;M\left({\mathit {l}}+1,1,-{k^{2} \over 4}\right)\;M\left({\mathit {l}}^{\prime }+1,1,-{k^{2} \over 4}\right)\;{\mathcal {J}}_{0}\left(k{r_{12} \over r_{B}}\right)}$

где – конфлюэнтная гипергеометрическая функция , – функция Бесселя первого рода. Здесь – расстояние между центрами двух токовых петель, – величина заряда электрона , – квантовая версия ларморовского радиуса , – толщина электронного газа в направлении магнитного поля. Угловые моменты двух отдельных токовых петель равны и где . Длина обратного экранирования определяется выражением ( гауссовы единицы ) ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}_{0}}$ ${\displaystyle r_{12}}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle r_{B}={\sqrt {2}}{\mathit {l}}_{B}}$ ${\displaystyle L_{B}}$ ${\displaystyle {\mathit {l}}\hbar }$ ${\displaystyle {\mathit {l}}^{\prime }\hbar }$ ${\displaystyle {\mathit {l}}+{\mathit {l}}^{\prime }=n}$

${\displaystyle k_{B}^{2}={4\pi e^{2} \over \hbar \omega _{c}AL_{B}}}$

где – циклотронная частота , – площадь электронного газа в плоскости xy. ${\displaystyle \omega _{c}}$ ${\displaystyle A}$

Энергия взаимодействия оценивается как:

Рисунок 2. Энергия взаимодействия в зависимости от и . Энергия измеряется в единицах . ${\displaystyle {n}}$ ${\displaystyle {{\mathit {l}} \over n}={1 \over 2}\pm {1 \over 2n}}$ ${\displaystyle k_{B}r_{B}=0.1,1.0,10}$ ${\displaystyle {e^{2} \over L_{B}}}$

Для получения этого результата мы сделали замену переменных интегрирования

${\displaystyle u_{12}={z_{1}-z_{2} \over {\sqrt {2}}}}$

и

${\displaystyle v_{12}={z_{1}+z_{2} \over {\sqrt {2}}}}$

и отметил (см. Общие интегралы в квантовой теории поля )

${\displaystyle {1 \over \left(2\pi \right)^{2}\;2^{2n}\;n!}\int d^{2}z_{1}\;d^{2}z_{2}\;\mid z_{1}-z_{2}\mid ^{2n}\;\exp \left[-2\left(\mid z_{1}\mid ^{2}+\mid z_{2}\mid ^{2}\right)\right]\;{\mathcal {J}}_{0}\left({\sqrt {2}}\;{k\mid z_{1}-z_{2}\mid }\right)=}$

${\displaystyle {1 \over \left(2\pi \right)^{2}\;2^{n}\;n!}\int d^{2}u_{12}\;d^{2}v_{12}\;\mid u_{12}\mid ^{2n}\;\exp \left[-2\left(\mid u_{12}\mid ^{2}+\mid v_{12}\mid ^{2}\right)\right]\;{\mathcal {J}}_{0}\left({2}k\mid u_{12}\mid \right)=}$

${\displaystyle M\left(n+1,1,-{k^{2} \over 2}\right).}$

Энергия взаимодействия имеет минимумы при (рис. 1)

${\displaystyle {{\mathit {l}} \over n}={1 \over 3},{2 \over 5},{3 \over 7},{\mbox{etc.,}}}$

и

${\displaystyle {{\mathit {l}} \over n}={2 \over 3},{3 \over 5},{4 \over 7},{\mbox{etc.}}}$

Для этих значений отношения угловых моментов энергия представлена ​​на рис. 2 в зависимости от . ${\displaystyle n}$

Рекомендации

1. Лафлин, РБ (2 мая 1983 г.). «Аномальный квантовый эффект Холла: несжимаемая квантовая жидкость с дробно заряженными возбуждениями». Письма о физических отзывах . 50 (18). Американское физическое общество (APS): 1395–1398. Бибкод : 1983PhRvL..50.1395L. doi : 10.1103/physrevlett.50.1395. ISSN  0031-9007.
2. З.Ф. Эзева (2008). Квантовые эффекты Холла, второе издание . Всемирная научная. ISBN 978-981-270-032-2.стр. 210-213
3. Ёсиока, Д. (2 мая 1983 г.). «Основное состояние двумерных электронов в сильных магнитных полях». Письма о физических отзывах . 50 (18). Американское физическое общество (APS): 1219. doi :10.1103/physrevlett.50.1219. ISSN  0031-9007.
4. Холдейн, FDM; Э. Х. Резайи. «Конечные исследования несжимаемого состояния дробно-квантованного эффекта Холла и его возбуждений». Письма о физических отзывах . 54 : 237. doi : 10.1103/PhysRevLett.54.237.

Смотрите также

• уровень Ландау
• Дробный квантовый эффект Холла
• Кулоновский потенциал между двумя токовыми петлями, помещенными в магнитное поле