Полином Лорана

Polynomial with finitely many terms of the form axⁿ where n ∈ ℕ

В математике полином Лорана (названный в честь Пьера Альфонса Лорана ) от одной переменной над полем представляет собой линейную комбинацию положительных и отрицательных степеней переменной с коэффициентами в . Полиномы Лорана в виде кольца , обозначаемого . ^[1] Они отличаются от обычных многочленов тем, что могут иметь члены отрицательной степени. Построение полиномов Лорана можно повторять, что приводит к кольцу полиномов Лорана от нескольких переменных. Полиномы Лорана имеют особое значение при изучении комплексных переменных . ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {F} [X,X^{-1}]}$

Определение

Полином Лорана с коэффициентами в поле представляет собой выражение вида ${\displaystyle \mathbb {F} }$

${\displaystyle p=\sum _{k}p_{k}X^{k},\quad p_{k}\in \mathbb {F} }$

где – формальная переменная, индекс суммирования – целое число (не обязательно положительное), и только конечное число коэффициентов не равно нулю. Два полинома Лорана равны, если их коэффициенты равны. Такие выражения можно складывать, умножать и приводить к прежней форме за счет сокращения похожих членов. Формулы сложения и умножения точно такие же, как и для обычных многочленов, с той лишь разницей, что могут присутствовать как положительные, так и отрицательные степени: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle p_{k}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\bigg (}\sum _{i}a_{i}X^{i}{\bigg )}+{\bigg (}\sum _{i}b_{i}X^{i}{\bigg )}=\sum _{i}(a_{i}+b_{i})X^{i}}$

и

${\displaystyle {\bigg (}\sum _{i}a_{i}X^{i}{\bigg )}\cdot {\bigg (}\sum _{j}b_{j}X^{j}{\bigg )}=\sum _{k}{\Bigg (}\sum _{i,j \atop i+j=k}a_{i}b_{j}{\Bigg )}X^{k}.}$

Поскольку только конечное число коэффициентов и ненулевые, все суммы фактически имеют только конечное число членов и, следовательно, представляют собой полиномы Лорана. ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle b_{j}}$

Характеристики

• Полином Лорана можно рассматривать как ряд Лорана , в котором только конечное число коэффициентов не равно нулю. ${\displaystyle \mathbb {C} }$
• Кольцо многочленов Лорана является расширением кольца многочленов, полученного «обращением ». Более строго, это локализация кольца полиномов в мультипликативном множестве , состоящем из неотрицательных степеней . Многие свойства кольца полиномов Лорана следуют из общих свойств локализации. ${\displaystyle R\left[X,X^{-1}\right]}$ ${\displaystyle R[X]}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• Кольцо полиномов Лорана является подкольцом рациональных функций .
• Кольцо полиномов Лорана над полем нётерово (но не артиново ).
• Если – область целостности , то единицы кольца полиномов Лорана имеют вид , где – единица и – целое число. В частности, если поле, то единицы имеют вид , где – ненулевой элемент . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R\left[X,X^{-1}\right]}$ ${\displaystyle uX^{k}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K[X,X^{-1}]}$ ${\displaystyle aX^{k}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle K}$
• Кольцо полиномов Лорана изоморфно групповому кольцу группы целых чисел над . В более общем смысле кольцо полиномов Лорана от переменных изоморфно групповому кольцу свободной абелевой группы ранга . Отсюда следует, что кольцо полиномов Лорана можно наделить структурой коммутативной кокоммутативной алгебры Хопфа . ${\displaystyle R[X,X^{-1}]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Смотрите также

• Полином Джонса

Рекомендации

• Ланг, Серж (2002), Алгебра, Тексты для выпускников по математике, 211 (пересмотренное третье изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-95385-4 , MR 1878556

1. Вайсштейн, Эрик В. «Полином Лорана». Математический мир .