Теорема Лиувилля (Гамильтониан)

Ключевой результат в гамильтоновой механике и статистической механике

В физике теорема Лиувилля , названная в честь французского математика Жозефа Лиувилля , является ключевой теоремой классической статистической и гамильтоновой механики . Она утверждает, что функция распределения в фазовом пространстве постоянна вдоль траекторий системы — то есть, что плотность точек системы в окрестности заданной точки системы, движущейся через фазовое пространство, постоянна со временем. Эта независимая от времени плотность в статистической механике известна как классическая априорная вероятность . ^[1]

Теорема Лиувилля применяется к консервативным системам , то есть к системам, в которых эффекты трения отсутствуют или могут быть проигнорированы. Общей математической формулировкой для таких систем является динамическая система, сохраняющая меру . Теорема Лиувилля применяется, когда есть степени свободы, которые можно интерпретировать как положения и импульсы; не все динамические системы, сохраняющие меру, имеют их, но гамильтоновы системы имеют. Общая настройка для сопряженных координат положения и импульса доступна в математической настройке симплектической геометрии . Теорема Лиувилля игнорирует возможность химических реакций , где общее число частиц может изменяться со временем или где энергия может передаваться внутренним степеням свободы . Существуют расширения теоремы Лиувилля, чтобы охватить эти различные обобщенные настройки, включая стохастические системы. ^[2]

Уравнение Лиувилля

Эволюция ансамбля классических систем в фазовом пространстве (вверху). Каждая система состоит из одной массивной частицы в одномерной потенциальной яме (красная кривая, нижний рисунок). В то время как движение отдельного члена ансамбля задается уравнениями Гамильтона , уравнение Лиувилля описывает поток всего распределения. Движение аналогично красителю в несжимаемой жидкости.

Уравнение Лиувилля описывает временную эволюцию функции распределения фазового пространства . Хотя уравнение обычно называют «уравнением Лиувилля», Джозайя Уиллард Гиббс был первым, кто осознал важность этого уравнения как фундаментального уравнения статистической механики. ^{[3] [4]} Оно называется уравнением Лиувилля, поскольку его вывод для неканонических систем использует тождество, впервые выведенное Лиувиллем в 1838 году. ^{[5] [6]} Рассмотрим гамильтонову динамическую систему с каноническими координатами и сопряженными импульсами , где . Тогда распределение фазового пространства определяет вероятность того, что система будет найдена в бесконечно малом объеме фазового пространства . Уравнение Лиувилля управляет эволюцией во времени : ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$ ${\displaystyle \rho (p,q)}$ ${\displaystyle \rho (p,q)\;\mathrm {d} ^{n}q\,\mathrm {d} ^{n}p}$ ${\displaystyle \mathrm {d} ^{n}q\,\mathrm {d} ^{n}p}$ ${\displaystyle \rho (p,q;t)}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\frac {d\rho }{dt}}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial \rho }{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}+{\frac {\partial \rho }{\partial p_{i}}}{\dot {p}}_{i}\right)=0.}$

Производные по времени обозначены точками и оцениваются в соответствии с уравнениями Гамильтона для системы. Это уравнение демонстрирует сохранение плотности в фазовом пространстве (так Гиббс назвал теорему). Теорема Лиувилля утверждает, что

Функция распределения постоянна вдоль любой траектории в фазовом пространстве.

Доказательство теоремы Лиувилля использует теорему о n -мерной расходимости . Это доказательство основано на том факте, что эволюция подчиняется 2n -мерной версии уравнения непрерывности : ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial (\rho {\dot {q}}_{i})}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial (\rho {\dot {p}}_{i})}{\partial p_{i}}}\right)=0.}$

То есть, тройка — это сохраняющийся ток . Обратите внимание, что разница между этим уравнением и уравнением Лиувилля заключается в членах ${\displaystyle (\rho ,\rho {\dot {q}}_{i},\rho {\dot {p}}_{i})}$

${\displaystyle \rho \sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial {\dot {q}}_{i}}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial {\dot {p}}_{i}}{\partial p_{i}}}\right)=\rho \sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial ^{2}H}{\partial q_{i}\,\partial p_{i}}}-{\frac {\partial ^{2}H}{\partial p_{i}\partial q_{i}}}\right)=0,}$

где — гамильтониан, а производные и были оценены с использованием уравнений движения Гамильтона. То есть, рассматривая движение через фазовое пространство как «поток жидкости» системных точек, теорема о том, что конвективная производная плотности, , равна нулю, следует из уравнения непрерывности, если отметить, что «поле скорости» в фазовом пространстве имеет нулевую дивергенцию (что следует из соотношений Гамильтона). ^[7] ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \partial {\dot {q}}_{i}/\partial q_{i}}$ ${\displaystyle \partial {\dot {p}}_{i}/\partial p_{i}}$ ${\displaystyle d\rho /dt}$ ${\displaystyle ({\dot {p}},{\dot {q}})}$

Другие формулировки

скобка Пуассона

Приведенную выше теорему часто переформулируют в терминах скобки Пуассона следующим образом:

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=\{\,H,\rho \,\}}$

или, в терминах линейного оператора Лиувилля или лиувиллиана ,

${\displaystyle \mathrm {i} {\widehat {\mathbf {L} }}=\sum _{i=1}^{n}\left[{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}-{\frac {\partial H}{\partial q^{i}}}{\frac {\partial }{\partial p_{i}}}\right]=-\{H,\bullet \}}$

как

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\mathrm {i} {\widehat {\mathbf {L} }}}\rho =0.}$

Эргодическая теория

В эргодической теории и динамических системах , мотивированных приведенными до сих пор физическими соображениями, существует соответствующий результат, также называемый теоремой Лиувилля. В гамильтоновой механике фазовое пространство представляет собой гладкое многообразие , которое естественным образом снабжено гладкой мерой (локально эта мера является 6 n -мерной мерой Лебега ). Теорема утверждает, что эта гладкая мера инвариантна относительно гамильтонова потока . В более общем смысле, можно описать необходимое и достаточное условие, при котором гладкая мера инвариантна относительно потока ^{[ требуется ссылка ]} . Гамильтонов случай тогда становится следствием.

Симплектическая геометрия

Мы также можем сформулировать теорему Лиувилля в терминах симплектической геометрии . Для данной системы мы можем рассматривать фазовое пространство конкретного гамильтониана как многообразие , снабженное симплектической 2-формой ${\displaystyle (q^{\mu },p_{\mu })}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle (M,\omega )}$

${\displaystyle \omega =dp_{\mu }\wedge dq^{\mu }.}$

Объемная форма нашего многообразия представляет собой высшую внешнюю степень симплектической 2-формы и является просто еще одним представлением меры на фазовом пространстве, описанном выше.

На нашем фазовом пространстве симплектического многообразия мы можем определить гамильтоново векторное поле, порожденное функцией, как ${\displaystyle f(q,p)}$

${\displaystyle X_{f}={\frac {\partial f}{\partial p_{\mu }}}{\frac {\partial }{\partial q^{\mu }}}-{\frac {\partial f}{\partial q^{\mu }}}{\frac {\partial }{\partial p_{\mu }}}.}$

В частности, когда производящая функция — это сам гамильтониан, мы получаем ${\displaystyle f(q,p)=H}$

${\displaystyle X_{H}={\frac {\partial H}{\partial p_{\mu }}}{\frac {\partial }{\partial q^{\mu }}}-{\frac {\partial H}{\partial q^{\mu }}}{\frac {\partial }{\partial p_{\mu }}}={\frac {dq^{\mu }}{dt}}{\frac {\partial }{\partial q^{\mu }}}+{\frac {dp^{\mu }}{dt}}{\frac {\partial }{\partial p_{\mu }}}={\frac {d}{dt}}}$

где мы использовали уравнения движения Гамильтона и определение цепного правила. ^[8]

В этом формализме теорема Лиувилля утверждает, что производная Ли объёмной формы равна нулю вдоль потока, порожденного . То есть для 2n-мерного симплектического многообразия ${\displaystyle X_{H}}$ ${\displaystyle (M,\omega )}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X_{H}}(\omega ^{n})=0.}$

На самом деле сохраняется сама симплектическая структура , а не только ее верхняя внешняя мощность. То есть теорема Лиувилля также дает ^[9] ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X_{H}}(\omega )=0.}$

Квантовое уравнение Лиувилля

Аналог уравнения Лиувилля в квантовой механике описывает временную эволюцию смешанного состояния . Каноническое квантование дает квантово-механическую версию этой теоремы, уравнение фон Неймана . Эта процедура, часто используемая для разработки квантовых аналогов классических систем, включает описание классической системы с использованием гамильтоновой механики. Классические переменные затем переинтерпретируются как квантовые операторы, в то время как скобки Пуассона заменяются коммутаторами . В этом случае результирующее уравнение имеет вид ^{[10] [11]}

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}={\frac {1}{i\hbar }}[H,\rho ],}$

где ρ — матрица плотности .

Применительно к ожидаемому значению наблюдаемой величины соответствующее уравнение задается теоремой Эренфеста и принимает вид

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle A\rangle =-{\frac {1}{i\hbar }}\langle [H,A]\rangle ,}$

где — наблюдаемая величина. Обратите внимание на разницу знаков, которая следует из предположения, что оператор стационарен, а состояние зависит от времени. ${\displaystyle A}$

В фазово-пространственной формулировке квантовой механики замена скобок Мойала на скобки Пуассона в фазово-пространственном аналоге уравнения фон Неймана приводит к сжимаемости вероятностной жидкости и, таким образом, к нарушению теоремы Лиувилля о несжимаемости. Это, в свою очередь, приводит к сопутствующим трудностям в определении осмысленных квантовых траекторий. ^[12]

Примеры

Объем фазового пространства SHO

Временная эволюция фазового пространства для простого гармонического осциллятора (SHO). Здесь мы взяли и рассматриваем область . ${\displaystyle m=\omega =1}$ ${\displaystyle p,q\in [-1,1]}$

Рассмотрим систему -частиц в трех измерениях и сосредоточимся только на эволюции частиц. В фазовом пространстве эти частицы занимают бесконечно малый объем, заданный ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \mathrm {d} {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle \mathrm {d} {\mathcal {N}}}$

${\displaystyle \mathrm {d} \Gamma =\displaystyle \prod _{i=1}^{N}d^{3}p_{i}d^{3}q_{i}.}$

Мы хотим оставаться теми же во времени, так что это постоянно вдоль траекторий системы. Если мы позволим нашим частицам эволюционировать на бесконечно малый шаг времени , мы увидим, что каждое положение фазового пространства частицы изменяется как ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\mathcal {N}}}{\mathrm {d} \Gamma }}}$ ${\displaystyle \rho (\Gamma ,t)}$ ${\displaystyle \delta t}$

${\displaystyle {\begin{cases}q_{i}'=q_{i}+{\dot {q_{i}}}\delta t,\\p_{i}'=p_{i}+{\dot {p_{i}}}\delta t,\end{cases}}}$

где и обозначают и соответственно, и мы сохранили только линейные по члены . Распространяя это на наш бесконечно малый гиперкуб , длины сторон изменяются как ${\displaystyle {\dot {q_{i}}}}$ ${\displaystyle {\dot {p_{i}}}}$ ${\displaystyle {\frac {dq_{i}}{dt}}}$ ${\displaystyle {\frac {dp_{i}}{dt}}}$ ${\displaystyle \delta t}$ ${\displaystyle \mathrm {d} \Gamma }$

${\displaystyle {\begin{cases}dq_{i}'=dq_{i}+{\frac {\partial {\dot {q_{i}}}}{\partial q_{i}}}dq_{i}\delta t,\\dp_{i}'=dp_{i}+{\frac {\partial {\dot {p_{i}}}}{\partial p_{i}}}dp_{i}\delta t.\end{cases}}}$

Чтобы найти новый бесконечно малый объем фазового пространства , нам нужно произведение вышеуказанных величин. Для первого порядка по получаем следующее: ${\displaystyle \mathrm {d} \Gamma '}$ ${\displaystyle \delta t}$

${\displaystyle dq_{i}'dp_{i}'=dq_{i}dp_{i}\left[1+\left({\frac {\partial {\dot {q_{i}}}}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial {\dot {p_{i}}}}{\partial p_{i}}}\right)\delta t\right].}$

До сих пор нам еще предстоит сделать какие-либо спецификации относительно нашей системы. Давайте теперь сосредоточимся на случае -мерных изотропных гармонических осцилляторов. То есть, каждая частица в нашем ансамбле может рассматриваться как простой гармонический осциллятор . Гамильтониан для этой системы задается как ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 3}$

${\displaystyle H=\displaystyle \sum _{i=1}^{3N}\left({\frac {1}{2m}}p_{i}^{2}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}q_{i}^{2}\right).}$

Используя уравнения Гамильтона с приведенным выше гамильтонианом, мы обнаруживаем, что член в скобках выше тождественно равен нулю, что дает

${\displaystyle dq_{i}'dp_{i}'=dq_{i}dp_{i}.}$

Отсюда можно найти бесконечно малый объем фазового пространства:

${\displaystyle \mathrm {d} \Gamma '=\displaystyle \prod _{i=1}^{N}d^{3}q_{i}'d^{3}p_{i}'=\prod _{i=1}^{N}d^{3}q_{i}d^{3}p_{i}=\mathrm {d} \Gamma .}$

Таким образом, мы в конечном итоге обнаружили, что бесконечно малый объем фазового пространства остается неизменным, что дает

${\displaystyle \rho (\Gamma ',t+\delta t)={\frac {\mathrm {d} {\mathcal {N}}}{\mathrm {d} \Gamma '}}={\frac {\mathrm {d} {\mathcal {N}}}{\mathrm {d} \Gamma }}=\rho (\Gamma ,t),}$

демонстрируя, что теорема Лиувилля верна для этой системы. ^[13]

Остается вопрос о том, как на самом деле изменяется во времени объем фазового пространства. Выше мы показали, что общий объем сохраняется, но ничего не сказали о том, как он выглядит. Для одной частицы мы видим, что ее траектория в фазовом пространстве задается эллипсом константы . Явно, можно решить уравнения Гамильтона для системы и найти ${\displaystyle H}$

${\displaystyle {\begin{aligned}q_{i}(t)&=Q_{i}\cos {\omega t}+{\frac {P_{i}}{m\omega }}\sin {\omega t},\\p_{i}(t)&=P_{i}\cos {\omega t}-m\omega Q_{i}\sin {\omega t},\end{aligned}}}$

где и обозначают начальное положение и импульс -й частицы. Для системы из нескольких частиц каждая из них будет иметь траекторию в фазовом пространстве, которая вычерчивает эллипс, соответствующий энергии частицы. Частота, на которой вычерчивается эллипс, задается в гамильтониане, независимо от каких-либо различий в энергии. В результате область фазового пространства будет просто вращаться вокруг точки с частотой, зависящей от . ^[14] Это можно увидеть на анимации выше. ${\displaystyle Q_{i}}$ ${\displaystyle P_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )=(0,0)}$ ${\displaystyle \omega }$

Затухающий гармонический осциллятор

Эволюция объема фазового пространства для затухающего гармонического осциллятора. Используются те же значения параметров, что и в случае SHO, с . ${\displaystyle \gamma =0.5\ (\alpha =0.25)}$

Чтобы увидеть пример, где теорема Лиувилля неприменима , мы можем изменить уравнения движения для простого гармонического осциллятора, чтобы учесть эффекты трения или затухания. Рассмотрим снова систему частиц, каждая из которых находится в -мерном изотропном гармоническом потенциале, гамильтониан для которого приведен в предыдущем примере. На этот раз мы добавляем условие, что каждая частица испытывает силу трения , где - положительная константа, определяющая величину трения. Поскольку это неконсервативная сила , нам нужно расширить уравнения Гамильтона как ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle -\gamma p_{i}}$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {q_{i}}}&={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}},\\{\dot {p_{i}}}&=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}-\gamma p_{i}.\end{aligned}}}$

В отличие от уравнений движения для простого гармонического осциллятора, эти модифицированные уравнения не принимают форму уравнений Гамильтона, и поэтому мы не ожидаем, что теорема Лиувилля будет верна. Вместо этого, как показано в анимации в этом разделе, общий объем фазового пространства будет сокращаться по мере его эволюции под этими уравнениями движения.

Чтобы увидеть это нарушение теоремы Лиувилля явно, мы можем следовать очень похожей процедуре для случая незатухающего гармонического осциллятора, и мы снова придем к

${\displaystyle dq_{i}'dp_{i}'=dq_{i}dp_{i}\left[1+\left({\frac {\partial {\dot {q_{i}}}}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial {\dot {p_{i}}}}{\partial p_{i}}}\right)\delta t\right].}$

Подставляя наши модифицированные уравнения Гамильтона, мы находим

${\displaystyle {\begin{aligned}dq_{i}'dp_{i}'&=dq_{i}dp_{i}\left[1+\left({\frac {\partial ^{2}H}{\partial q_{i}\partial p_{i}}}-{\frac {\partial ^{2}H}{\partial p_{i}\partial q_{i}}}-\gamma \right)\delta t\right],\\&=dq_{i}dp_{i}\left[1-\gamma \delta t\right].\end{aligned}}}$

Вычисляя наш новый бесконечно малый объем фазового пространства и сохраняя только первый порядок, мы получаем следующий результат: ${\displaystyle \delta t}$

${\displaystyle \mathrm {d} \Gamma '=\displaystyle \prod _{i=1}^{N}d^{3}q_{i}'d^{3}p_{i}'=\left[1-\gamma \delta t\right]^{3N}\prod _{i=1}^{N}d^{3}q_{i}d^{3}p_{i}=\mathrm {d} \Gamma \left[1-3N\gamma \delta t\right].}$

Мы обнаружили, что бесконечно малый объем фазового пространства больше не является постоянным, и, таким образом, плотность фазового пространства не сохраняется. Как видно из уравнения, с течением времени мы ожидаем, что объем фазового пространства уменьшится до нуля, поскольку трение влияет на систему.

Что касается того, как объем фазового пространства эволюционирует во времени, мы все еще будем иметь постоянное вращение, как и в случае без затухания. Однако затухание приведет к постоянному уменьшению радиусов каждого эллипса. Опять же, мы можем решить траектории явно, используя уравнения Гамильтона, позаботившись об использовании модифицированных выше. Полагая для удобства, мы находим ${\displaystyle \alpha \equiv {\frac {\gamma }{2}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}q_{i}(t)&=e^{-\alpha t}\left[Q_{i}\cos {\omega _{1}t}+B_{i}\sin {\omega _{1}t}\right]&&\omega _{1}\equiv {\sqrt {\omega ^{2}-\alpha ^{2}}},\\p_{i}(t)&=e^{-\alpha t}\left[P_{i}\cos {\omega _{1}t}-m(\omega _{1}Q_{i}+2\alpha B_{i})\sin {\omega _{1}t}\right]&&B_{i}\equiv {\frac {1}{\omega _{1}}}\left({\frac {P_{i}}{m}}+2\alpha Q_{i}\right),\end{aligned}}}$

где значения и обозначают начальное положение и импульс -й частицы. По мере развития системы общий объем фазового пространства будет спиралевидно приближаться к началу координат. Это можно увидеть на рисунке выше. ${\displaystyle Q_{i}}$ ${\displaystyle P_{i}}$ ${\displaystyle i}$

Замечания

• Уравнение Лиувилля справедливо как для равновесных, так и для неравновесных систем. Это фундаментальное уравнение неравновесной статистической механики .
• Уравнение Лиувилля является неотъемлемой частью доказательства теоремы флуктуации , из которой может быть выведен второй закон термодинамики . Оно также является ключевым компонентом вывода соотношений Грина–Кубо для линейных коэффициентов переноса, таких как сдвиговая вязкость , теплопроводность или электропроводность .
• Фактически любой учебник по гамильтоновой механике , продвинутой статистической механике или симплектической геометрии выведет теорему Лиувилля. ^{[9] [15] [16] [17] [18]}
• В физике плазмы уравнение Власова можно интерпретировать как теорему Лиувилля, которая сводит задачу решения уравнения Власова к задаче о движении отдельной частицы. ^[19] Используя теорему Лиувилля таким образом с сохранением энергии или магнитного момента, например, можно определить неизвестные поля, используя известные функции распределения частиц, или наоборот. Этот метод известен как отображение Лиувилля. ^[19]

Смотрите также

• Уравнение переноса Больцмана
• Алгоритм распространения обратимой системы отсчета (r-RESPA)

Ссылки

1. Харальд Дж. В. Мюллер-Кирстен, Основы статистической физики, 2-е изд., World Scientific (Сингапур, 2013)
2. Кубо, Рёго (1963-02-01). «Стохастические уравнения Лиувилля». Журнал математической физики . 4 (2): 174–183. Bibcode :1963JMP.....4..174K. doi :10.1063/1.1703941. ISSN  0022-2488.
3. Дж. У. Гиббс, «О фундаментальной формуле статистической механики с приложениями к астрономии и термодинамике». Труды Американской ассоциации содействия развитию науки, 33 , 57–58 (1884). Воспроизведено в The Scientific Papers of J. Willard Gibbs, Vol II (1906), p. 16.
4. Гиббс, Джозайя Уиллард (1902). Элементарные принципы статистической механики . Нью-Йорк: Charles Scribner's Sons .
5. Лиувилл, Джозеф (1838). «Теория вариаций констант арбитража» (PDF) . Журнал чистой и прикладной математики . 3 : 342–349.
6. Эрендорфер, Мартин. «Уравнение Лиувилля: Предыстория — Историческая справка». Уравнение Лиувилля в атмосферной предсказуемости (PDF) . стр. 48–49.
7. Харальд Дж. В. Мюллер-Кирстен, Введение в квантовую механику: уравнение Шредингера и интеграл по траекториям, 2-е изд., World Scientific (Сингапур, 2012).
8. Накахара, Микио (2003). Геометрия, топология и физика (2-е изд.). Группа Тейлор и Фрэнсис. стр. 201–204. ISBN 978-0-7503-0606-5.
9. Nash, Oliver (8 января 2015 г.). «Теорема Лиувилля для педантов» (PDF) .Доказывает теорему Лиувилля, используя язык современной дифференциальной геометрии.
10. Теория открытых квантовых систем , Брейер и Петруччионе, стр. 110.
11. Статистическая механика , Швабл, стр. 16.
12. Олива, Максим; Какофенгитис, Димитрис; Штойернагель, Оле (2018). «Ангармонические квантово-механические системы не имеют траекторий фазового пространства». Physica A: Статистическая механика и ее приложения . 502 : 201–210. arXiv : 1611.03303 . Bibcode : 2018PhyA..502..201O. doi : 10.1016/j.physa.2017.10.047. S2CID  53691877.
13. Кардар, Мехран (2007). Статистическая физика частиц . Издательство Кембриджского университета. С. 59–60. ISBN 978-0-521-87342-0.
14. Истман, Питер (2014–2015). «Эволюция вероятностей фазового пространства».
15. Для особенно ясного вывода см. Tolman, RC (1979). Принципы статистической механики. Довер. стр. 48–51. ISBN 9780486638966.
16. "Фазовое пространство и теорема Лиувилля" . Получено 6 января 2014 г.Почти идентично доказательству в этой статье Википедии. Предполагает (без доказательства) n -мерное уравнение непрерывности.
17. "Сохранение объема фазового пространства и теорема Лиувилля" . Получено 6 января 2014 г.Строгое доказательство, основанное на том, как преобразуется элемент объема Якоби в гамильтоновой механике.
18. "Физика 127a: Заметки для занятий" (PDF) . Получено 6 января 2014 г.Использует теорему о n -мерной расходимости (без доказательства).
19. Schwartz, SJ, Daly, PW, и Fazakerley, AN, 1998, Анализ кинетики плазмы с помощью нескольких космических аппаратов, в Методах анализа данных с помощью нескольких космических аппаратов , под редакцией G. Paschmann и PW Daly, № SR-001 в ISSI Scientific Reports, глава 7, стр. 159–163, ESA Publ. Div., Нордвейк, Нидерланды.

Дальнейшее чтение

• Муругешан, Р. Современная физика . С. Чанд.
• Мизнер; Торн; Уилер (1973). «Кинетическая теория в искривленном пространстве-времени». Гравитация . Фримен. стр. 583–590. ISBN 9781400889099.

Внешние ссылки

• «Функции распределения фазового пространства и теорема Лиувилля».