Число Лиувилля

Класс иррациональных чисел

В теории чисел число Лиувилля — это действительное число, обладающее тем свойством, что для каждого положительного целого числа существует пара целых чисел с такой, что ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle q>1}$

${\displaystyle 0<\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{n}}}.}$

Неравенство подразумевает, что числа Лиувилля обладают превосходной последовательностью рациональных числовых аппроксимаций. В 1844 году Жозеф Лиувилль доказал границу, показывающую, что существует предел того, насколько хорошо алгебраические числа могут быть аппроксимированы рациональными числами, и он определил числа Лиувилля специально так, чтобы они имели рациональные аппроксимации лучше, чем те, которые допускаются этой границей. Лиувилль также продемонстрировал примеры чисел Лиувилля ^[1], тем самым впервые установив существование трансцендентных чисел . ^[2] Одним из таких примеров является константа Лиувилля

${\displaystyle L=0.110001000000000000000001\ldots ,}$

в котором n- я цифра после десятичной точки равна 1, если является факториалом положительного целого числа, и 0 в противном случае. Известно, что π и e , хотя и являются трансцендентными, не являются числами Лиувилля. ^[3] ${\displaystyle n}$

Существование чисел Лиувилля (постоянная Лиувилля)

Существование чисел Лиувилля можно показать с помощью явного построения.

Для любого целого числа и любой последовательности целых чисел, такой что для всех и для бесконечного множества , определите число ${\displaystyle b\geq 2}$ ${\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots )}$ ${\displaystyle a_{k}\in \{0,1,2,\ldots ,b-1\}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle a_{k}\neq 0}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle x=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}}$

В частном случае , когда и для всех , полученное число называется постоянной Лиувилля: ${\displaystyle b=10}$ ${\displaystyle a_{k}=1}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle L=0.{\color {red}11}000{\color {red}1}00000000000000000{\color {red}1}\ldots }$

Из определения следует, что его основанием является представление ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle x=(0.a_{1}a_{2}000a_{3}00000000000000000a_{4}\ldots )_{b}}$

где -й член находится на -м месте. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n!}$

Поскольку это базовое представление неповторяющееся, то следует, что не является рациональным числом. Следовательно, для любого рационального числа , . ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p/q}$ ${\displaystyle |x-p/q|>0}$

Теперь для любого целого числа и можно определить следующим образом: ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle p_{n}}$ ${\displaystyle q_{n}}$

${\displaystyle q_{n}=b^{n!}\,;\quad p_{n}=q_{n}\sum _{k=1}^{n}{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}b^{n!-k!}}$

Затем,

$${\displaystyle {\begin{aligned}0<\left|x-{\frac {p_{n}}{q_{n}}}\right|&=\left|x-\sum _{k=1}^{n}{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}\right|=\left|\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}-\sum _{k=1}^{n}{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}\right|=\left|\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}+\sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}\right)-\sum _{k=1}^{n}{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}\right|=\sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}\\[6pt]&\leq \sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {b-1}{b^{k!}}}<\sum _{k=(n+1)!}^{\infty }{\frac {b-1}{b^{k}}}={\frac {b-1}{b^{(n+1)!}}}+{\frac {b-1}{b^{(n+1)!+1}}}+{\frac {b-1}{b^{(n+1)!+2}}}+\cdots \\[6pt]&={\frac {b-1}{b^{(n+1)!}b^{0}}}+{\frac {b-1}{b^{(n+1)!}b^{1}}}+{\frac {b-1}{b^{(n+1)!}b^{2}}}+\cdots ={\frac {b-1}{b^{(n+1)!}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{b^{k}}}\\[6pt]&={\frac {b-1}{b^{(n+1)!}}}\cdot {\frac {b}{b-1}}={\frac {b}{b^{(n+1)!}}}\leq {\frac {b^{n!}}{b^{(n+1)!}}}={\frac {1}{b^{(n+1)!-n!}}}={\frac {1}{b^{(n+1)n!-n!}}}={\frac {1}{b^{n(n!)+n!-n!}}}={\frac {1}{b^{(n!)n}}}={\frac {1}{q_{n}^{n}}}\end{aligned}}}$$

Следовательно, любое такое число является числом Лиувилля. ${\displaystyle x}$

Заметки о доказательстве

1. Неравенство следует из того, что a _k  ∈ {0, 1, 2, ..., b −1} для всех k , поэтому не более a _k  = b −1. Наибольшая возможная сумма имела бы место, если бы последовательность целых чисел ( a ₁ , a ₂ , ...) была ( b −1, b −1, ...), т. е. a _k  = b −1, для всех k . Таким образом, будет меньше или равна этой наибольшей возможной сумме. ${\displaystyle \sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}\leq \sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {b-1}{b^{k!}}}}$ ${\displaystyle \sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}}$
2. Сильное неравенство следует из мотивации исключить ряд путем сведения его к ряду, для которого известна формула. В доказательстве до сих пор цель введения неравенства в #1 исходит из интуиции, что ( формула геометрической прогрессии ); поэтому, если неравенство может быть найдено из , которое вводит ряд с ( b −1) в числителе, и если член знаменателя может быть дополнительно сокращен от до , а также смещен ряд индексов от 0 до , то и ряд, и ( b −1) члены будут исключены, приближаясь к дроби вида , что является конечной целью доказательства. Эта мотивация здесь усиливается выбором теперь из суммы частичной суммы. Заметим, что для любого члена в , поскольку b ≥ 2, то , для всех k (за исключением случая, когда n = 1). Следовательно, (так как, даже если n = 1, все последующие члены меньше). Чтобы манипулировать индексами так, чтобы k начиналось с 0, частичная сумма будет выбрана изнутри (также меньше общего значения, поскольку это частичная сумма из ряда, все члены которого положительны). Выберите частичную сумму, образованную началом с k = ( n +1)!, что следует из мотивации написать новый ряд с k = 0, а именно, заметив, что . ${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {b-1}{b^{k!}}}<\sum _{k=(n+1)!}^{\infty }{\frac {b-1}{b^{k}}}\end{aligned}}}$ ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{b^{k}}}={\frac {b}{b-1}}}$ ${\displaystyle \sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}}$ ${\displaystyle b^{k!}}$ ${\displaystyle b^{k}}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle {\frac {1}{b^{{\text{exponent}}\times n}}}}$ ${\displaystyle \sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {b-1}{b^{k!}}}}$ ${\displaystyle \sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {b-1}{b^{k!}}}}$ ${\displaystyle {\frac {b-1}{b^{k!}}}<{\frac {b-1}{b^{k}}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {b-1}{b^{k!}}}<\sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {b-1}{b^{k}}}\end{aligned}}}$ ${\displaystyle \sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {b-1}{b^{k}}}}$ ${\displaystyle b^{(n+1)!}=b^{(n+1)!}b^{0}}$
3. Для окончательного неравенства было выбрано это конкретное неравенство (истинное, поскольку b ≥ 2, где равенство следует тогда и только тогда, когда n = 1) из-за желания преобразовать его в нечто вроде . Это конкретное неравенство позволяет исключить ( n +1)! и числитель, используя свойство, что ( n +1)! – n ! = ( n !) n , тем самым придавая знаменателю идеальную форму для подстановки . ${\displaystyle {\frac {b}{b^{(n+1)!}}}\leq {\frac {b^{n!}}{b^{(n+1)!}}}}$ ${\displaystyle {\frac {b}{b^{(n+1)!}}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{b^{{\text{exponent}}\times n}}}}$ ${\displaystyle q_{n}=b^{n!}}$

Иррациональность

Здесь доказательство покажет, что число, где c и d являются целыми числами, не может удовлетворять неравенствам, которые определяют число Лиувилля. Поскольку каждое рациональное число может быть представлено как таковое, доказательство покажет, что никакое число Лиувилля не может быть рациональным . ${\displaystyle ~x=c/d~,}$ ${\displaystyle ~d>0~,}$ ${\displaystyle ~c/d~,}$

Более конкретно, это доказательство показывает, что для любого положительного целого числа n, достаточно большого, что [эквивалентно, для любого положительного целого числа )], не существует пары целых чисел , которая одновременно удовлетворяет паре скобочных неравенств ${\displaystyle ~2^{n-1}>d>0~}$ ${\displaystyle ~n>1+\log _{2}(d)~}$ ${\displaystyle ~(\,p,\,q\,)~}$

${\displaystyle 0<\left|x-{\frac {\,p\,}{q}}\right|<{\frac {1}{\;q^{n}\,}}~.}$

Если утверждение верно, то следует желаемый вывод.

Пусть p и q — любые целые числа, причем Тогда, ${\displaystyle ~q>1~.}$

${\displaystyle \left|x-{\frac {\,p\,}{q}}\right|=\left|{\frac {\,c\,}{d}}-{\frac {\,p\,}{q}}\right|={\frac {\,|c\,q-d\,p|\,}{d\,q}}}$

Если тогда ${\displaystyle \left|c\,q-d\,p\right|=0~,}$

${\displaystyle \left|x-{\frac {\,p\,}{q}}\right|={\frac {\,|c\,q-d\,p|\,}{d\,q}}=0~,}$

это означает, что такая пара целых чисел нарушит первое неравенство в определении числа Лиувилля, независимо от выбора n  . ${\displaystyle ~(\,p,\,q\,)~}$

Если же, с другой стороны, то, поскольку , то, поскольку - целое число, можно утверждать более точное неравенство Из этого следует, что ${\displaystyle ~\left|c\,q-d\,p\right|>0~,}$ ${\displaystyle c\,q-d\,p}$ ${\displaystyle \left|c\,q-d\,p\right|\geq 1~.}$

${\displaystyle \left|x-{\frac {\,p\,}{q}}\right|={\frac {\,|c\,q-d\,p|\,}{d\,q}}\geq {\frac {1}{\,d\,q\,}}}$

Теперь для любого целого числа последнее неравенство выше подразумевает ${\displaystyle ~n>1+\log _{2}(d)~,}$

${\displaystyle \left|x-{\frac {\,p\,}{q}}\right|\geq {\frac {1}{\,d\,q\,}}>{\frac {1}{\,2^{n-1}q\,}}\geq {\frac {1}{\;q^{n}\,}}~.}$

Следовательно, в случае такой пары целых чисел будет нарушено второе неравенство в определении числа Лиувилля для некоторого положительного целого числа n . ${\displaystyle ~\left|c\,q-d\,p\right|>0~}$ ${\displaystyle ~(\,p,\,q\,)~}$

Таким образом, можно сделать вывод, что не существует пары целых чисел , которая могла бы квалифицироваться как число Лиувилля. ${\displaystyle ~(\,p,\,q\,)~,}$ ${\displaystyle ~q>1~,}$ ${\displaystyle ~x=c/d~,}$

Следовательно, число Лиувилля не может быть рациональным.

Числа Лиувилля и трансцендентность

Ни одно число Лиувилля не является алгебраическим. Доказательство этого утверждения осуществляется путем установления сначала свойства иррациональных алгебраических чисел . Это свойство по сути говорит о том, что иррациональные алгебраические числа не могут быть хорошо приближены рациональными числами, где условие «хорошо приближено» становится более строгим для больших знаменателей. Число Лиувилля иррационально, но не обладает этим свойством, поэтому оно не может быть алгебраическим и должно быть трансцендентным. Следующая лемма обычно известна как теорема Лиувилля (о диофантовых приближениях) , существует несколько результатов, известных как теорема Лиувилля .

Лемма: Если — иррациональный корень неприводимого многочлена степени с целыми коэффициентами, то существует действительное число такое, что для всех целых чисел с , ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle n>1}$ ${\displaystyle A>0}$ ${\displaystyle p,q}$ ${\displaystyle q>0}$

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {A}{q^{n}}}}$

Доказательство леммы: Пусть — минимальный многочлен с целыми коэффициентами, такой что . ${\displaystyle f(x)=\sum _{k\,=\,0}^{n}a_{k}x^{k}}$ ${\displaystyle f(\alpha )=0}$

По основной теореме алгебры имеет не более различных корней. Следовательно, существует такое, что для всех получаем . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n}$
${\displaystyle \delta _{1}>0}$ ${\displaystyle 0<|x-\alpha |<\delta _{1}}$ ${\displaystyle f(x)\neq 0}$

Так как является минимальным многочленом от получаем , а также является непрерывным . Следовательно, по теореме об экстремальном значении существует и такое, что для всех получаем . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle f'\!(\alpha )\neq 0}$ ${\displaystyle f'}$
${\displaystyle \delta _{2}>0}$ ${\displaystyle M>0}$ ${\displaystyle |x-\alpha |<\delta _{2}}$ ${\displaystyle 0<|f'\!(x)|\leq M}$

Оба условия выполняются для . ${\displaystyle \delta =\min\{\delta _{1},\delta _{2}\}}$

Теперь пусть будет рациональным числом. Без потери общности можно предположить, что . По теореме о среднем значении существует такое, что ${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}\in (\alpha -\delta ,\alpha +\delta )}$ ${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}<\alpha }$ ${\displaystyle x_{0}\in \left({\tfrac {p}{q}},\alpha \right)}$

${\displaystyle f'\!(x_{0})={\frac {f(\alpha )-f{\bigl (}{\frac {p}{q}}{\bigr )}}{\alpha -{\frac {p}{q}}}}}$

Поскольку и , обе стороны этого равенства ненулевые. В частности и мы можем переставить: ${\displaystyle f(\alpha )=0}$ ${\displaystyle f{\bigl (}{\tfrac {p}{q}}{\bigr )}\neq 0}$ ${\displaystyle |f'\!(x_{0})|>0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|&={\frac {\left|f(\alpha )-f{\bigl (}{\frac {p}{q}}{\bigr )}\right|}{|f'\!(x_{0})|}}={\frac {\left|f{\bigl (}{\frac {p}{q}}{\bigr )}\right|}{|f'\!(x_{0})|}}\\[5pt]&={\frac {1}{|f'\!(x_{0})|}}\left|\,\sum _{k\,=\,0}^{n}a_{k}p^{k}q^{-k}\,\right|\\[5pt]&={\frac {1}{|f'\!(x_{0})|\,q^{n}}}\,\underbrace {\left|\,\sum _{k\,=\,0}^{n}a_{k}p^{k}q^{n-k}\,\right|} _{\geq \,1}\\&\geq {\frac {1}{Mq^{n}}}>{\frac {A}{q^{n}}}\quad :\!0<A<\min \!\left\{\delta \,,{\frac {1}{M}}\right\}\end{aligned}}}$

Доказательство утверждения: Как следствие этой леммы, пусть x будет числом Лиувилля; как отмечено в тексте статьи, тогда x иррационально. Если x алгебраическое, то по лемме существует некоторое целое число n и некоторое положительное действительное число A, такие, что для всех p , q

${\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {A}{q^{n}}}}$

Пусть r — положительное целое число, такое что 1/(2 ^r ) ≤ A , и определим m = r + n . Поскольку x — число Лиувилля, существуют целые числа a , b с b > 1, такие, что

${\displaystyle \left|x-{\frac {a}{b}}\right|<{\frac {1}{b^{m}}}={\frac {1}{b^{r+n}}}={\frac {1}{b^{r}b^{n}}}\leq {\frac {1}{2^{r}}}{\frac {1}{b^{n}}}\leq {\frac {A}{b^{n}}},}$

что противоречит лемме. Следовательно, число Лиувилля не может быть алгебраическим, а значит, должно быть трансцендентным.

Установление того, что заданное число является числом Лиувилля, доказывает, что оно трансцендентно. Однако не каждое трансцендентное число является числом Лиувилля. Члены в разложении в непрерывную дробь каждого числа Лиувилля неограниченны; используя подсчетный аргумент, можно показать, что должно быть несчетное количество трансцендентных чисел, которые не являются числами Лиувилля. Используя явное разложение в непрерывную дробь числа e , можно показать, что e является примером трансцендентного числа, которое не является числом Лиувилля. Малер доказал в 1953 году, что π является еще одним таким примером. ^[4]

Неисчислимость

Рассмотрим число

3.1400010000000000000000050000....

3.14(3 нуля)1(17 нулей)5(95 нулей)9(599 нулей)2(4319 нулей)6...

где цифры равны нулю, за исключением позиций n !, где цифра равна n- й цифре после десятичной точки в десятичном представлении числа  π .

Как показано в разделе о существовании чисел Лиувилля, это число, как и любая другая бесконечная десятичная дробь с ее ненулевыми цифрами, расположенными аналогичным образом, удовлетворяет определению числа Лиувилля. Поскольку множество всех последовательностей ненулевых цифр имеет мощность континуума , то же самое верно и для множества всех чисел Лиувилля.

Более того, числа Лиувилля образуют плотное подмножество множества действительных чисел.

Числа Лиувилля и мера

С точки зрения теории меры множество всех чисел Лиувилля мало. Точнее, его мера Лебега , , равна нулю. Приведенное доказательство следует некоторым идеям Джона К. Окстоби . ^{[5] : 8} ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \lambda (L)}$

Для положительных целых чисел и набора: ${\displaystyle n>2}$ ${\displaystyle q\geq 2}$

${\displaystyle V_{n,q}=\bigcup \limits _{p=-\infty }^{\infty }\left({\frac {p}{q}}-{\frac {1}{q^{n}}},{\frac {p}{q}}+{\frac {1}{q^{n}}}\right)}$

затем

${\displaystyle L\subseteq \bigcup _{q=2}^{\infty }V_{n,q}.}$

Заметьте, что для каждого положительного целого числа и , тогда ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle m\geq 1}$

${\displaystyle L\cap (-m,m)\subseteq \bigcup \limits _{q=2}^{\infty }V_{n,q}\cap (-m,m)\subseteq \bigcup \limits _{q=2}^{\infty }\bigcup \limits _{p=-mq}^{mq}\left({\frac {p}{q}}-{\frac {1}{q^{n}}},{\frac {p}{q}}+{\frac {1}{q^{n}}}\right).}$

С

${\displaystyle \left|\left({\frac {p}{q}}+{\frac {1}{q^{n}}}\right)-\left({\frac {p}{q}}-{\frac {1}{q^{n}}}\right)\right|={\frac {2}{q^{n}}}}$

а потом ${\displaystyle n>2}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu (L\cap (-m,\,m))&\leq \sum _{q=2}^{\infty }\sum _{p=-mq}^{mq}{\frac {2}{q^{n}}}=\sum _{q=2}^{\infty }{\frac {2(2mq+1)}{q^{n}}}\\[6pt]&\leq (4m+1)\sum _{q=2}^{\infty }{\frac {1}{q^{n-1}}}\leq (4m+1)\int _{1}^{\infty }{\frac {dq}{q^{n-1}}}\leq {\frac {4m+1}{n-2}}.\end{aligned}}}$

Сейчас

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {4m+1}{n-2}}=0}$

и отсюда следует, что для каждого положительного целого числа , имеет меру Лебега нулевую. Следовательно, имеет и . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle L\cap (-m,m)}$ ${\displaystyle L}$

Напротив, мера Лебега множества всех действительных трансцендентных чисел бесконечна (поскольку множество алгебраических чисел является нулевым множеством ).

Можно показать даже больше — множество чисел Лиувилля имеет размерность Хаусдорфа 0 (свойство строго более сильное, чем наличие меры Лебега 0).

Структура множества чисел Лиувилля

Для каждого положительного целого числа n установите

${\displaystyle ~U_{n}=\bigcup \limits _{q=2}^{\infty }~\bigcup \limits _{p=-\infty }^{\infty }~\left\{x\in \mathbb {R} :0<\left|x-{\frac {p}{\,q\,}}\right|<{\frac {1}{\;q^{n}\,}}\right\}=\bigcup \limits _{q=2}^{\infty }~\bigcup \limits _{p=-\infty }^{\infty }~\left({\frac {p}{q}}-{\frac {1}{q^{n}}}~,~{\frac {p}{\,q\,}}+{\frac {1}{\;q^{n}\,}}\right)\setminus \left\{{\frac {p}{\,q\,}}\right\}~}$

Таким образом, множество всех чисел Лиувилля можно записать как

${\displaystyle ~L~=~\bigcap \limits _{n=1}^{\infty }U_{n}~=~\bigcap \limits _{n\in \mathbb {N} _{1}}~\bigcup \limits _{q\geqslant 2}~\bigcup \limits _{p\in \mathbb {Z} }\,\left(\,\left(\,{\frac {\,p\,}{q}}-{\frac {1}{\;q^{n}\,}}~,~{\frac {\,p\,}{q}}+{\frac {1}{\;q^{n}\,}}\,\right)\setminus \left\{\,{\frac {\,p\,}{q}}\,\right\}\,\right)~.}$

Каждое из них является открытым множеством ; поскольку его замыкание содержит все рациональные числа ( из каждого проколотого интервала), оно также является плотным подмножеством действительной прямой. Поскольку оно является пересечением счетного числа таких открытых плотных множеств, L является комеагре , то есть это плотное множество G δ . ${\displaystyle ~U_{n}~}$ ${\displaystyle ~p/q~}$

Мера иррациональности

Мера иррациональности Лиувилля –Рота ( показатель иррациональности, показатель аппроксимации или константа Лиувилля–Рота ) действительного числа является мерой того, насколько «близко» оно может быть приближено рациональными числами. Она определяется путем адаптации определения чисел Лиувилля: вместо требования существования последовательности пар , которые делают неравенство справедливым для каждой — последовательности, которая обязательно содержит бесконечно много различных пар — показатель иррациональности определяется как супремум множества , для которого существует такая бесконечная последовательность, то есть множества таких , что удовлетворяется бесконечным числом пар целых чисел с . ^{[6] : 246} Для любого значения бесконечное множество всех рациональных чисел , удовлетворяющих вышеуказанному неравенству, дает хорошие приближения . Наоборот, если , то существует не более конечного числа с , которые удовлетворяют неравенству. Если — число Лиувилля, то . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mu (x)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 0<\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{n}}}}$ ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle q>0}$ ${\displaystyle n\leq \mu (x)}$ ${\displaystyle p/q}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n>\mu (x)}$ ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle q>0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mu (x)=\infty }$

Смотрите также

• Число Брюно
• постоянная Маркова
• Диофантово приближение

Ссылки

1. Джозеф Лиувилл (май 1844 г.). «Мемуары и сообщения». Comptes rendus de l'Académie des Sciences (на французском языке). 18 (20, 21): 883–885, 910–911.
2. Бейкер, Алан (1990). Трансцендентальная теория чисел (мягкая обложка). Cambridge University Press. стр. 1. ISBN 978-0-521-39791-9.
3. Бейкер 1990, стр. 86.
4. Курт Малер, «О приближении π», Nederl. Акад. Ветенш. Учеб. Сер. В. ​56 (1953), с. 342–366.
5. Окстоби, Джон К. (1980). Мера и категория . Graduate Texts in Mathematics. Vol. 2 (Второе изд.). Нью-Йорк-Берлин: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4684-9339-9. ISBN 0-387-90508-1. МР  0584443.
6. Бюжо, Ян (2012). Распределение по модулю один и диофантовы приближения . Cambridge Tracts in Mathematics. Т. 193. Кембридж: Cambridge University Press . doi : 10.1017/CBO9781139017732. ISBN 978-0-521-11169-0. MR  2953186. Zbl  1260.11001.

Внешние ссылки

• Начало трансцендентных чисел