Локально конечная коллекция

Топологическая концепция

Набор подмножеств топологического пространства называется локально конечным, если каждая точка пространства имеет окрестность , пересекающую только конечное число множеств в наборе. ^[1] ${\displaystyle X}$

В математической области топологии локальная конечность — свойство совокупности подмножеств топологического пространства . Это имеет фундаментальное значение для изучения паракомпактности и топологической размерности .

Обратите внимание, что термин « локально конечный» имеет разные значения в других математических областях.

Примеры и свойства

Конечный набор подмножеств топологического пространства локально конечен . ^[2] Бесконечные коллекции также могут быть локально конечными: например, коллекция всех подмножеств вида для целого числа . [ ^1] Счётный набор подмножеств не обязательно должен быть локально конечным, как показывает набор всех подмножеств вида для натурального числа n . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (n,n+2)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (-n,n)}$

Если набор множеств локально конечен, то набор всех замыканий этих множеств также локально конечен. Причина этого в том, что если открытое множество , содержащее точку, пересекает замыкание множества, оно обязательно пересекает само множество, следовательно, окрестность может пересекать не более того же числа замыканий (она может пересекать меньшее количество замыканий, поскольку два различных, действительно непересекающиеся, множества могут иметь одно и то же замыкание). Обратное, однако, может оказаться невозможным, если замыкания множеств не различны. Например, в топологии с конечным дополнением совокупность всех открытых множеств не является локально конечной, но совокупность всех замыканий этих множеств локально конечна (поскольку единственными замыканиями являются пустое множество ). ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Компактные помещения

Всякий локально конечный набор подмножеств компакта должен быть конечным. Действительно, пусть – локально конечное семейство подмножеств компакта . Для каждой точки выберите открытую окрестность , пересекающую конечное число подмножеств в . Очевидно, что семейство множеств: является открытым покрытием , и поэтому имеет конечное подпокрытие : . Поскольку каждый пересекает только конечное число подмножеств в , объединение всех таких пересекает только конечное число подмножеств в . Поскольку это объединение представляет собой все пространство , отсюда следует, что пересекается только конечное число подмножеств коллекции . А поскольку оно состоит из подмножеств каждого члена, которое должно пересекаться , оно конечно. ${\displaystyle G=\{G_{a}|a\in A\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle U_{x}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \{U_{x}|x\in X\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{U_{k_{n}}|n\in 1\dots n\}}$ ${\displaystyle U_{k_{i}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle U_{k_{i}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$

Топологическое пространство, в котором каждое открытое покрытие допускает локально конечное открытое уточнение , называется паракомпактным . Всякий локально конечный набор подмножеств топологического пространства также точечно-конечен . Топологическое пространство, в котором каждое открытое покрытие допускает точечно-конечное открытое уточнение, называется метакомпактным .

Вторые счетные пространства

Никакое несчетное накрытие пространства Линделефа не может быть локально конечным, по существу, по тем же соображениям, что и в случае компактных пространств. В частности, никакое несчетное покрытие второго счетного пространства не является локально конечным.

Закрытые наборы

Конечное объединение замкнутых множеств всегда замкнуто. Легко привести пример бесконечного объединения замкнутых множеств, которое не является замкнутым. Однако если мы рассмотрим локально конечный набор замкнутых множеств, объединение будет замкнутым. Чтобы убедиться в этом, заметим, что если точка находится вне объединения этого локально конечного набора замкнутых множеств, мы просто выбираем окрестность , которая пересекает этот набор только в конечном числе этих множеств. Определите биективное отображение из набора пересекающихся множеств, чтобы таким образом дать индекс каждому из этих наборов. Затем для каждого множества выберите открытое множество, содержащее его, не пересекающееся с ним. Пересечение всех таких для пересеченных с , является окрестностью, которая не пересекает объединение этого набора замкнутых множеств. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {1,\dots ,k}}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq k}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x}$

Счётно локально конечные коллекции

Коллекция в пространстве — это ${\displaystyle X}$счетно локально конечен (илиσ-локально конечно ), если оно является объединением счетного семейства локально конечных наборов подмножеств. Счетная локальная конечность является ключевой гипотезой втеореме о метризации Нагаты-Смирнова, которая утверждает, что топологическое пространство метризуемотогдаи только тогда, когда онорегулярно,Хаусдорфаи имеет счетно локально конечныйбазис. ^[3] ${\displaystyle X}$

Смотрите также

• Коллекция Point-finite  – Обложка набора

Цитаты

1. Мункрес 2000, с. 244.
2. Мункрес 2000, с. 245 Лемма 39.1.
3. Мункрес 2000, с. 250 Теорема 40.3.

Рекомендации

• Манкрес, Джеймс Р. (2000), Топология (2-е изд.), Прентис Холл, ISBN 0-13-181629-2