Неравенство тора Лёвнера

В дифференциальной геометрии неравенство тора Лёвнера — это неравенство Чарльза Лёвнера . Оно связывает систолу и площадь произвольной римановой метрики на 2-торе .

Заявление

Кратчайшая петля на торе

В 1949 году Чарльз Лёвнер доказал, что каждая метрика на 2- торе удовлетворяет оптимальному неравенству ${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}$

${\displaystyle \operatorname {sys} ^{2}\leq {\frac {2}{\sqrt {3}}}\operatorname {area} (\mathbb {T} ^{2}),}$

где "sys" - это его систола , т.е. наименьшая длина несократимой петли. Константа, стоящая справа, - это константа Эрмита в размерности 2, так что неравенство тора Левнера можно переписать как ${\displaystyle \gamma _{2}}$

${\displaystyle \operatorname {sys} ^{2}\leq \gamma _{2}\;\operatorname {area} (\mathbb {T} ^{2}).}$

Впервые это неравенство было упомянуто в литературе в работе Пу (1952).

Случай равенства

Граничный случай равенства достигается тогда и только тогда, когда метрика плоская и гомотетична так называемому равностороннему тору , т.е. тору, группа преобразований палубы которого представляет собой в точности шестиугольную решетку, натянутую на кубические корни из единицы в . ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Альтернативная формулировка

Для заданной дважды периодической метрики на (например, вложения в которое инвариантно относительно изометрического действия) существуют ненулевой элемент и точка такие, что , где — фундаментальная область для действия, а — риманово расстояние, а именно, наименьшая длина пути, соединяющего и . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$ ${\displaystyle g\in \mathbb {Z} ^{2}}$ ${\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{2}}$ ${\textstyle \operatorname {dist} (p,g.p)^{2}\leq {\frac {2}{\sqrt {3}}}\operatorname {area} (F)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \operatorname {dist} }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle g.p}$

Доказательство неравенства тора Лёвнера

Неравенство тора Лёвнера проще всего доказать, используя вычислительную формулу для дисперсии:

${\displaystyle \operatorname {E} (X^{2})-(\operatorname {E} (X))^{2}=\mathrm {var} (X).}$

А именно, формула применяется к вероятностной мере, определяемой мерой единичной площади плоского тора в конформном классе данного тора. Для случайной величины X берется конформный фактор данной метрики относительно плоской. Тогда ожидаемое значение E( X  ² ) от X  ² выражает полную площадь данной метрики. Между тем, ожидаемое значение E( X ) от X может быть связано с систолой с помощью теоремы Фубини . Дисперсию X тогда можно рассматривать как изосистолический дефект, аналогичный изопериметрическому дефекту неравенства Боннесена . Таким образом, этот подход дает следующую версию неравенства тора Левнера с изосистолическим дефектом:

${\displaystyle \mathrm {area} -{\frac {\sqrt {3}}{2}}(\mathrm {sys} )^{2}\geq \mathrm {var} (f),}$

где ƒ — конформный фактор метрики относительно плоской метрики единичной площади в ее конформном классе.

Высший род

Независимо от того, существует ли неравенство

${\displaystyle (\mathrm {sys} )^{2}\leq \gamma _{2}\,\mathrm {area} }$

удовлетворяет всем поверхностям неположительной эйлеровой характеристики неизвестно. Для ориентируемых поверхностей рода 2 и рода 20 и выше ответ утвердительный, см. работу Каца и Сабуро ниже.

Смотрите также

• Неравенство Пу для действительной проективной плоскости
• Систолическое неравенство Громова для существенных многообразий
• Неравенство Громова для комплексного проективного пространства
• Целое число Эйзенштейна (пример гексагональной решетки)
• Систолы поверхностей

Ссылки

• Хоровиц, Чарльз; Кац, Карин Усади; Кац, Михаил Г. (2009). «Неравенство тора Лёвнера с изосистолическим дефектом». Журнал геометрического анализа . 19 (4): 796–808. arXiv : 0803.0690 . doi :10.1007/s12220-009-9090-y. MR  2538936. S2CID  18444111.
• Кац, Михаил Г. (2007). Систолическая геометрия и топология . Математические обзоры и монографии. Т. 137. С приложением Дж. Соломона. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . doi :10.1090/surv/137. ISBN 978-0-8218-4177-8. МР  2292367.
• Katz, Michael G.; Sabourau, Stéphane (2005). «Энтропия систолически экстремальных поверхностей и асимптотические границы». Ergodic Theory Dynam. Systems . 25 (4): 1209–1220. arXiv : math.DG/0410312 . doi :10.1017/S0143385704001014. MR  2158402. S2CID  11631690.
• Katz, Michael G.; Sabourau, Stéphane (2006). «Гиперэллиптические поверхности являются лёвнеровскими». Proc. Amer. Math. Soc. 134 (4): 1189–1195. arXiv : math.DG/0407009 . doi :10.1090/S0002-9939-05-08057-3. MR  2196056. S2CID  15437153.
• Pu, Pao Ming (1952). «Некоторые неравенства в некоторых неориентируемых римановых многообразиях». Pacific J. Math. 2 (1): 55–71. doi : 10.2140/pjm.1952.2.55 . MR  0048886.