Машиноподобная формула

Формулы для числа Пи

В математике формулы типа Machin являются популярным методом вычисления π (отношения длины окружности к диаметру круга ) с большим количеством цифр . Они являются обобщениями формулы Джона Мачина 1706 года:

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}}$

который он использовал для вычисления числа π с точностью до 100 знаков после запятой. ^{[1] [2]}

Машиноподобные формулы имеют вид

где — положительное целое число, — ненулевые целые числа со знаком , а и — положительные целые числа, такие что . ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle c_{n}}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle b_{n}}$ ${\displaystyle a_{n}<b_{n}}$

Эти формулы используются совместно с рядом Грегори , разложением арктангенса в ряд Тейлора :

Вывод

Формула сложения углов для арктангенса утверждает, что

если Все формулы типа Мачина могут быть получены повторным применением уравнения 3. В качестве примера мы покажем вывод исходной формулы Мачина: и, следовательно, Следовательно, также и, наконец, $${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<\arctan {\frac {a_{1}}{b_{1}}}+\arctan {\frac {a_{2}}{b_{2}}}<{\frac {\pi }{2}}.}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}2\arctan {\frac {1}{5}}&=\arctan {\frac {1}{5}}+\arctan {\frac {1}{5}}\\&=\arctan {\frac {1\cdot 5+1\cdot 5}{5\cdot 5-1\cdot 1}}\\&=\arctan {\frac {10}{24}}\\&=\arctan {\frac {5}{12}},\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}4\arctan {\frac {1}{5}}&=2\arctan {\frac {1}{5}}+2\arctan {\frac {1}{5}}\\&=\arctan {\frac {5}{12}}+\arctan {\frac {5}{12}}\\&=\arctan {\frac {5\cdot 12+5\cdot 12}{12\cdot 12-5\cdot 5}}\\&=\arctan {\frac {120}{119}}.\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}4\arctan {\frac {1}{5}}-{\frac {\pi }{4}}&=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{1}}\\&=4\arctan {\frac {1}{5}}+\arctan {\frac {-1}{1}}\\&=\arctan {\frac {120}{119}}+\arctan {\frac {-1}{1}}\\&=\arctan {\frac {120\cdot 1+(-1)\cdot 119}{119\cdot 1-120\cdot (-1)}}\\&=\arctan {\frac {1}{239}},\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}.}$$

Проницательный способ наглядно представить уравнение 3 — это представить, что происходит при умножении двух комплексных чисел:

${\displaystyle (b_{1}+a_{1}\mathrm {i} )\cdot (b_{2}+a_{2}\mathrm {i} )}$

${\displaystyle =b_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}\mathrm {i} +a_{1}b_{2}\mathrm {i} -a_{1}a_{2}}$

Угол, связанный с комплексным числом, определяется по формуле: ${\displaystyle (b_{n}+a_{n}\mathrm {i} )}$

${\displaystyle \arctan {\frac {a_{n}}{b_{n}}}}$

Таким образом, в уравнении 4 угол, связанный с произведением, равен:

${\displaystyle \arctan {\frac {a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}}{b_{1}b_{2}-a_{1}a_{2}}}}$

Обратите внимание, что это то же самое выражение, что встречается в уравнении 3. Таким образом, уравнение 3 можно интерпретировать так, что умножение двух комплексных чисел означает сложение их соответствующих углов (см. умножение комплексных чисел ).

Выражение:

${\displaystyle c_{n}\arctan {\frac {a_{n}}{b_{n}}}}$

это угол, связанный с:

${\displaystyle (b_{n}+a_{n}\mathrm {i} )^{c_{n}}}$

Уравнение 1 можно переписать как:

${\displaystyle k\cdot (1+\mathrm {i} )^{c_{0}}=\prod _{n=1}^{N}(b_{n}+a_{n}\mathrm {i} )^{c_{n}}}$

Вот произвольная константа, которая учитывает разницу в величине между векторами по обе стороны уравнения. Величины можно игнорировать, важны только углы. ${\displaystyle k}$

Использование комплексных чисел

Другие формулы могут быть получены с использованием комплексных чисел. ^[3] Например, угол комплексного числа определяется как и, когда умножаются комплексные числа, их углы складываются. Если то равно 45 градусам или радианам. Это означает, что если действительная часть и комплексная часть равны, то арктангенс будет равен . Поскольку арктангенс единицы имеет очень медленную скорость сходимости, если мы найдем два комплексных числа, которые при умножении дадут одинаковые действительную и мнимую части, мы получим формулу, похожую на формулу Мачина. Примером является и . Если мы их умножим, то получим . Следовательно, . ${\textstyle (a+b\mathrm {i} )}$ ${\textstyle \arctan {\frac {b}{a}}}$ ${\textstyle a=b}$ ${\textstyle \arctan {\frac {b}{a}}}$ ${\textstyle {\frac {\pi }{4}}}$ ${\textstyle {\frac {\pi }{4}}}$ ${\textstyle (2+\mathrm {i} )}$ ${\textstyle (3+\mathrm {i} )}$ ${\textstyle (5+5\mathrm {i} )}$ ${\textstyle \arctan {\frac {1}{2}}+\arctan {\frac {1}{3}}={\frac {\pi }{4}}}$

Если вы хотите использовать комплексные числа, чтобы показать, что , вы сначала должны знать, что возведение комплексного числа в действительную степень подразумевает умножение его аномалии (угла) на , и что аномалия произведения двух комплексных чисел равна сумме их аномалий. Поскольку можно показать, выполнив вычисления, что , т. е. что действительная и мнимая части обеих сторон равны, и поскольку это равенство эквивалентно: , последнее равенство также демонстрируется. ${\textstyle {\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\textstyle (5+\mathrm {i} )^{4}(239-\mathrm {i} )=(1+\mathrm {i} )\cdot 2^{2}\cdot 13^{4}}$ ${\textstyle 4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}={\frac {\pi }{4}}}$

Мера Лемера

Одним из важнейших параметров, характеризующих вычислительную эффективность формулы типа Мачина, является мера Лемера, определяемая как ^{[4] [5]}

${\displaystyle {\it {\lambda }}=\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{\log _{10}(b_{n}/a_{n})}}}$.

Чтобы получить как можно меньшую меру Лемера, необходимо уменьшить отношение положительных целых чисел в аргументах арктангенса и минимизировать количество членов в формуле типа Мачина. В настоящее время наименьшая известная мера Лемера принадлежит Х. Чиен-Лиху (1997), ^[6], чья формула типа Мачина приведена ниже. Очень часто в формулах типа Мачина все числители ${\displaystyle a_{n}/b_{n}}$ ${\displaystyle a_{n}=1}$ ${\displaystyle \lambda \approx 1.51244}$ ${\displaystyle a_{n}=1~.}$

Двухчленные формулы

В частном случае, когда числитель , существует ровно четыре решения, имеющих только два члена. ^{[7] [8]} Все четыре были найдены Джоном Мачином в 1705–1706 годах, но только одно из них стало широко известно, когда было опубликовано в книге Уильяма Джонса Synopsis Palmariorum Matheseos , поэтому остальные три часто приписываются другим математикам. Это ${\displaystyle a_{n}=1}$

Эйлер 1737 (известен Мачину 1706): ^{[9] [10]}

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\arctan {\frac {1}{2}}+\arctan {\frac {1}{3}}}$

Германн 1706 (известен Мачину 1706): ^{[11] [10]}

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=2\arctan {\frac {1}{2}}-\arctan {\frac {1}{7}}}$

Хаттона или Веги (известно Мачину 1706): ^{[8] [10]}

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=2\arctan {\frac {1}{3}}+\arctan {\frac {1}{7}}}$

и Мачина 1706: ^{[1] [10]}

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}}$.

В общем случае, когда значение числителя не ограничено, существует бесконечно много других решений. Например: ${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=22\arctan {\frac {1}{28}}+\arctan {\frac {1744507482180328366854565127}{98646395734210062276153190241239}}}$

или

Пример

Прилегающая диаграмма демонстрирует связь между арктангенсами и их площадями. Из диаграммы следует следующее:

${\displaystyle {\begin{array}{ll}{\rm {area}}(PON)&={\rm {area}}(MOF)=\pi \times {\frac {\angle MOF}{2\pi }}=\angle MEF=\arctan {1 \over 2}\\{\rm {area}}(POM)&={\rm {area}}(NOF)=\arctan {1 \over 3}\\{\rm {area}}(POF)&={\pi \over 4}={\rm {area}}(PON)+{\rm {area}}(NOF)=\arctan {1 \over 2}+\arctan {1 \over 3}\\{\rm {area}}(MON)&=\arctan {1 \over 7}\\{\rm {area}}(PON)=\arctan {1 \over 2}&={\rm {area}}(POM)+{\rm {area}}(MON)=\arctan {1 \over 3}+\arctan {1 \over 7},\end{array}}}$

соотношение, которое также можно найти с помощью
следующего вычисления в комплексных числах

${\displaystyle (3+\mathrm {i} )(7+\mathrm {i} )=21-1+(3+7)\mathrm {i} =10\cdot (2+\mathrm {i} ).}$

Больше терминов

Рекорд 2002 года для цифр числа π , 1,241,100,000,000, был получен Ясумасой Канадой из Токийского университета . Расчет был выполнен на 64-узловом суперкомпьютере Hitachi с 1 терабайтом основной памяти, выполняющем 2 триллиона операций в секунду. Были использованы следующие два уравнения:

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=12\arctan {\frac {1}{49}}+32\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}+12\arctan {\frac {1}{110443}}}$

Кикуо Такано (1982).

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=44\arctan {\frac {1}{57}}+7\arctan {\frac {1}{239}}-12\arctan {\frac {1}{682}}+24\arctan {\frac {1}{12943}}}$

Ф. К. М. Стёрмер (1896).

Два уравнения используются для того, чтобы можно было проверить, дают ли они один и тот же результат; полезно, если уравнения, используемые для перекрестной проверки результата, повторно используют некоторые аргументы арктангенса (обратите внимание на повторное использование 57 и 239 выше), так что процесс можно упростить, вычислив их только один раз, а не все, чтобы сохранить их независимость.

Формулы типа «машина» для π можно построить, найдя набор целых чисел , где все простые факторизации ⁠ ⁠ , взятые вместе, используют ряд различных простых чисел , а затем используя либо линейную алгебру, либо алгоритм редукции базиса LLL для построения линейных комбинаций арктангенсов . Например, в формуле Штёрмера выше мы имеем ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle b_{n},n=1..m}$ ${\displaystyle b_{n}^{2}+1}$ ${\displaystyle \leq m}$ ${\displaystyle {\frac {1}{b_{n}}}}$

${\displaystyle 57^{2}+1=2\cdot 5^{3}\cdot 13}$

${\displaystyle 239^{2}+1=2\cdot 13^{4}}$

${\displaystyle 682^{2}+1=5^{3}\cdot 61^{2}}$

${\displaystyle 12943^{2}+1=2\cdot 5^{4}\cdot 13^{3}\cdot 61}$

Итак, четыре выражения, множители которых являются степенями только четырех простых чисел 2, 5, 13 и 61.

В 1993 году Йорг Уве Арндт ^[12] нашел 11-членную формулу:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{4}}=&\;36462\arctan {\frac {1}{390112}}+135908\arctan {\frac {1}{485298}}+274509\arctan {\frac {1}{683982}}\\&-39581\arctan {\frac {1}{1984933}}+178477\arctan {\frac {1}{2478328}}-114569\arctan {\frac {1}{3449051}}\\&-146571\arctan {\frac {1}{18975991}}+61914\arctan {\frac {1}{22709274}}-69044\arctan {\frac {1}{24208144}}\\&-89431\arctan {\frac {1}{201229582}}-43938\arctan {\frac {1}{2189376182}}\\\end{aligned}}}$

используя набор из 11 простых чисел ${\displaystyle \{2,5,13,17,29,37,53,61,89,97,101\}.}$

Другая формула, в которой 10 -аргументов совпадают с приведенными выше, была открыта Хваном Цзянь-Ли (黃見利) (2004), поэтому легче проверить, что они обе дают одинаковый результат: ${\displaystyle \arctan }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{4}}=&\;36462\arctan {\frac {1}{51387}}+26522\arctan {\frac {1}{485298}}+19275\arctan {\frac {1}{683982}}\\&-3119\arctan {\frac {1}{1984933}}-3833\arctan {\frac {1}{2478328}}-5183\arctan {\frac {1}{3449051}}\\&-37185\arctan {\frac {1}{18975991}}-11010\arctan {\frac {1}{22709274}}+3880\arctan {\frac {1}{24208144}}\\&-16507\arctan {\frac {1}{201229582}}-7476\arctan {\frac {1}{2189376182}}\\\end{aligned}}}$

Вы заметите, что эти формулы повторно используют все те же арктангенсы после первой. Они построены путем поиска чисел, где ⁠ ⁠ ${\displaystyle b^{2}+1}$ делится только на простые числа, меньшие 102.

Наиболее эффективная известная в настоящее время формула типа Машина для вычисления числа π выглядит следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{4}}=&\;183\arctan {\frac {1}{239}}+32\arctan {\frac {1}{1023}}-68\arctan {\frac {1}{5832}}\\&+12\arctan {\frac {1}{110443}}-12\arctan {\frac {1}{4841182}}-100\arctan {\frac {1}{6826318}}\\\end{aligned}}}$

(Хванг Чиен-Ли, 1997)

где множество простых чисел равно ${\displaystyle \{2,5,13,229,457,1201\}.}$

Дальнейшее усовершенствование заключается в использовании «процесса Тодда», как описано в ^[5] , что приводит к таким результатам, как

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{4}}=&\;183\arctan {\frac {1}{239}}+32\arctan {\frac {1}{1023}}-68\arctan {\frac {1}{5832}}\\&+12\arctan {\frac {1}{113021}}-100\arctan {\frac {1}{6826318}}\\&-12\arctan {\frac {1}{33366019650}}+12\arctan {\frac {1}{43599522992503626068}}\\\end{aligned}}}$

(Хванг Чиен-Ли, 2003)

где большое простое число 834312889110521 делит ⁠ ⁠ ${\displaystyle b_{n}^{2}+1}$ последних двух индексов.
М. Уэзерфилд нашел 2004

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{4}}=&\;83\arctan {\frac {1}{107}}+17\arctan {\frac {1}{1710}}-22\arctan {\frac {1}{103697}}\\&-24\arctan {\frac {1}{2513489}}-44\arctan {\frac {1}{18280007883}}\\&+12\arctan {\frac {1}{7939642926390344818}}\\&+22\arctan {\frac {1}{3054211727257704725384731479018}}.\\\end{aligned}}}$

В День числа Пи 2024 года Мэтт Паркер вместе с 400 добровольцами использовал следующую формулу для ручного расчета : ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{4}}=&\;1587\arctan {\frac {1}{2852}}+295\arctan {\frac {1}{4193}}+593\arctan {\frac {1}{4246}}\\&+359\arctan {\frac {1}{39307}}+481\arctan {\frac {1}{55603}}+625\arctan {\frac {1}{211050}}\\&-708\arctan {\frac {1}{390112}}\end{aligned}}}$

Это был самый большой ручной расчет за столетие. ^[13] ${\displaystyle \pi }$

Больше методов

Существуют и другие методы вывода формул типа Machin для с обратными целыми числами. Один из них дается следующей формулой: ^[14] ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=2^{k-1}\cdot \arctan {\frac {1}{A_{k}}}+\sum \limits _{m=1}^{M}\arctan {\frac {1}{\left\lfloor B_{k,m}\right\rfloor }}+\arctan {\frac {1}{B_{k,M+1}}},}$

где

${\displaystyle a_{0}:=0}$

и рекурсивно

${\displaystyle a_{k}:={\sqrt {2+a_{k-1}}},\;A_{k}:=\left\lfloor {\frac {a_{k}}{\sqrt {2-a_{k-1}}}}\right\rfloor }$

и

${\displaystyle B_{k,1}:={\frac {2}{\left({\dfrac {A_{k}+\mathrm {i} }{A_{k}-\mathrm {i} }}\right)^{2^{k-1}}-\mathrm {i} }}-\mathrm {i} }$

и рекурсивно

${\displaystyle B_{k,m}:={\frac {1+\left\lfloor B_{k,m-1}\right\rfloor B_{k,m-1}}{\left\lfloor B_{k,m-1}\right\rfloor -B_{k,m-1}}}~.}$

Например, для и получаем: ${\displaystyle k=4}$ ${\displaystyle M=5}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{4}}=&\;8\arctan {\frac {1}{10}}-\arctan {\frac {1}{84}}-\arctan {\frac {1}{21342}}\\&-\arctan {\frac {1}{991268848}}-\arctan {\frac {1}{193018008592515208050}}\\&-\arctan {\frac {1}{197967899896401851763240424238758988350338}}\\&-\arctan {\frac {1}{117573868168175352930277752844194126767991915008537018836932014293678271636885792397}}\end{aligned}}}$

Это подтверждается следующим кодом MuPAD:

z := ( 10 + I ) ^ 8 * ( 84 - I ) * ( 21342 - I ) * ( 991268848 - I ) * ( 193018008592515208050 - I ) \ * ( 197967899896401851763240424238758988350338 - I ) \ * ( 117573868168175352930277752844194126767991915008537018836932014293678271636885792397 - I ) : Re ( z ) - Im ( z ) 0  

значение

${\displaystyle {\begin{aligned}z:=&\,(10+\mathrm {i} )^{8}\cdot (84-\mathrm {i} )\cdot (21342-\mathrm {i} )\cdot (991268848-\mathrm {i} )\cdot (193018008592515208050-\mathrm {i} )\\&\cdot (197967899896401851763240424238758988350338-\mathrm {i} )\\&\cdot (117573868168175352930277752844194126767991915008537018836932014293678271636885792397-\mathrm {i} )\\\;=&\,(1+\mathrm {i} )\cdot \Re (z)~.\end{aligned}}}$

Эффективность

Для больших вычислений алгоритм бинарного разбиения может быть использован для вычисления арктангенсов гораздо, гораздо быстрее, чем путем наивного добавления членов ряда Тейлора по одному за раз. В практических реализациях, таких как y-cruncher, существуют относительно большие постоянные накладные расходы на член плюс время, пропорциональное , и точка убывающей доходности появляется за пределами трех или четырех членов арктангенса в сумме; вот почему в приведенном выше вычислении на суперкомпьютере использовалась только версия с четырьмя членами. ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle 1/\log b_{n}}$

Целью этого раздела не является оценка фактического времени выполнения любого заданного алгоритма. Вместо этого, намерение состоит лишь в том, чтобы разработать относительную метрику, с помощью которой два алгоритма можно будет сравнивать друг с другом.

Пусть — количество цифр, до которого требуется произвести расчет. ${\displaystyle N_{d}}$ ${\displaystyle \pi }$

Пусть — число членов ряда Тейлора (см. уравнение 2 ). ${\displaystyle N_{t}}$

Пусть — количество времени, затраченное на каждую цифру (для каждого члена ряда Тейлора). ${\displaystyle u_{n}}$

Ряд Тейлора будет сходиться, когда:

${\displaystyle \left(\left({\frac {b_{n}}{a_{n}}}\right)^{2}\right)^{N_{t}}=10^{N_{d}}}$

Таким образом:

${\displaystyle N_{t}=N_{d}\quad {\frac {\ln 10}{2\ln {\frac {b_{n}}{a_{n}}}}}}$

Для первого члена ряда Тейлора все цифры должны быть обработаны. Однако в последнем члене ряда Тейлора осталось обработать только одну цифру. Во всех промежуточных членах количество цифр, которые должны быть обработаны, можно приблизительно вычислить с помощью линейной интерполяции. Таким образом, общее число определяется как: ${\displaystyle N_{d}}$

${\displaystyle {\frac {N_{d}N_{t}}{2}}}$

Время выполнения определяется по формуле:

${\displaystyle {\mathit {time}}={\frac {u_{n}N_{d}N_{t}}{2}}}$

Объединяя уравнения, время выполнения определяется по формуле:

${\displaystyle {\mathit {time}}={\frac {u_{n}{N_{d}}^{2}\ln 10}{4\ln {\frac {b_{n}}{a_{n}}}}}={\frac {k\,u_{n}}{\ln {\frac {b_{n}}{a_{n}}}}}}$

Где — константа, объединяющая все остальные константы. Поскольку это относительная метрика, значение можно игнорировать. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

Общее время по всем членам уравнения 1 определяется по формуле:

${\displaystyle {\mathit {time}}=\sum _{n=1}^{N}{\frac {u_{n}}{\ln {\frac {b_{n}}{a_{n}}}}}}$

${\displaystyle u_{n}}$невозможно точно смоделировать без детального знания конкретного программного обеспечения. Независимо от этого, мы представляем одну возможную модель.

Программное обеспечение тратит большую часть времени на оценку ряда Тейлора из уравнения 2. Основной цикл можно обобщить в следующем псевдокоде:

${\displaystyle 1:\quad {\mathit {term}}\quad *=\quad {a_{n}}^{2}}$

${\displaystyle 2:\quad {\mathit {term}}\quad /=\quad -{b_{n}}^{2}}$

${\displaystyle 3:\quad {\mathit {tmp}}\quad =\quad {\mathit {term}}\quad /\quad (2*n+1)}$

${\displaystyle 4:\quad {\mathit {sum}}\quad +=\quad {\mathit {tmp}}}$

В этой конкретной модели предполагается, что каждый из этих шагов занимает примерно одинаковое количество времени. В зависимости от используемого программного обеспечения это может быть как очень хорошим приближением, так и плохим.

Единица времени определяется таким образом, что один шаг псевдокода соответствует одной единице. Для выполнения цикла в целом требуется четыре единицы времени. определяется как четыре. ${\displaystyle u_{n}}$

Однако следует отметить, что если равно единице, то шаг один можно пропустить. Цикл занимает всего три единицы времени. определяется как три. ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle u_{n}}$

В качестве примера рассмотрим уравнение:

В следующей таблице показано расчетное время для каждого из терминов:

Общее время равно 0,75467 + 0,54780 + 0,60274 = 1,9052

Сравните это с уравнением 5. В следующей таблице показано расчетное время для каждого из терминов:

Общее время 1,1191 + 0,8672 = 1,9863

Вывод, основанный на этой конкретной модели, заключается в том, что уравнение 6 немного быстрее, чем уравнение 5 , несмотря на то, что уравнение 6 имеет больше членов. Этот результат типичен для общей тенденции. Доминирующим фактором является соотношение между и . Для достижения высокого соотношения необходимо добавить дополнительные члены. Часто имеет место чистая экономия времени. ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle b_{n}}$

Ссылки

1. Jones, William (1706). Synopsis Palmariorum Matheseos. London: J. Wale. pp. 243, 263. Существуют различные другие способы нахождения длин или площадей отдельных кривых линий или плоскостей , которые могут значительно облегчить практику; например, в круге диаметр относится к окружности как 1 к 3,14159, и т. д. = π . Этот ряд (среди других для той же цели и выведенных из того же принципа) я получил от превосходного аналитика и моего весьма уважаемого друга г-на Джона Мачина ; и с его помощью число Ван Кейлена или то, что в статье 64.38, может быть исследовано со всей желаемой легкостью и быстротой.
   ${\displaystyle {\overline {{\tfrac {16}{5}}-{\tfrac {4}{239}}}}-{\tfrac {1}{3}}{\overline {{\tfrac {16}{5^{3}}}-{\tfrac {4}{239^{3}}}}}+{\tfrac {1}{5}}{\overline {{\tfrac {16}{5^{5}}}-{\tfrac {4}{239^{5}}}}}-,\,\&c.=}$
   

   Перепечатано в Smith, David Eugene (1929). «William Jones: The First Use of π for the Circle Ratio». A Source Book in Mathematics . McGraw–Hill. pp. 346–347.

2. Бекманн, Петр (1971). История числа Пи . США: The Golem Press. стр. 102. ISBN 0-88029-418-3.
3. Штёрмер, Карл (1897). «Sur l'application de la theorie des nombres entiers a la Solution en nombres rationnels x 1 x 2 … x n {\textstyle x_{1}\ x_{2}\ldots x_{n}} c 1 c 2 … c n {\textstyle c_{1}\ c_{2}\ldots c_ {n}} k {\textstyle k} de l'équation: c 1 a r c t грамм ⁡ Икс 1 + {\textstyle c_{1}\operatorname {arc\ tg} x_{1}+{}} c 2 a r c t грамм ⁡ Икс 2 + ⋯ + {\textstyle c_{2}\operatorname {arc\ tg} x_{2}+\cdots +} c n a r c t g ⁡ x n = {\textstyle c_ {n} \operatorname {arc\ tg} x_ {n} = {}} k π 4 {\ textstyle k {\ tfrac {\ pi }{4}}} ". Архив для Mathematik og Naturvidenskab . 19 (3): 1–95.
4. Лемер, Деррик Генри (1938). «О соотношениях арккотангенса для π». American Mathematical Monthly . 45 (10): 657–664. doi :10.2307/2302434. JSTOR  2302434.
5. Wetherfield, Michael (2016). «Улучшение формулы Мачина с помощью процесса Тодда». The Mathematical Gazette . 80 (488): 333–344. doi :10.2307/3619567. JSTOR  3619567. S2CID  126173230.
6. Цзянь-Ли, Хван. «Больше тождеств машинного типа». The Mathematical Gazette . 81 (490). JSTOR  3618793.
7. Стормер, Карл (1896). «Решение полное в целых числах m, n, x, y et k de l'équation m а р c т г ⁡ 1 Икс + п а р c т г ⁡ 1 y знак равно k π 4 . {\ textstyle m \operatorname {arc \ tg} {\ tfrac {1} {x}}+n\operatorname {arc\ tg} {\tfrac {1}{y}}=k{\tfrac {\pi }{4}}.} ". Mathematisk-naturvidenskabelig Klasse. Skrifter udgivne af Videnskabsselskabet i Christiania . 1895 (11): 1–21.
8. Стермер, Карл (1899). «Полное решение в именах уравнений м а р c т а п г ⁡ 1 Икс + п а р c т а п г ⁡ 1 y знак равно k π 4 {\ textstyle m \operatorname {arc\,tang} {\frac {1}{x}}+n\operatorname { arc\,tang} {\frac {1}{y}}=k{\frac {\pi }{4}}} " [Полное решение в целых числах уравнения ...]. Бюллетень математического общества Франции (на французском языке). 27 : 160–170. дои : 10.24033/bsmf.603 .
9. Эйлер, Леонард (1744) [написано в 1737 году]. «De variis modis Circuli Quadaturam Numeris Proxime Exprimendi». Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae . 9 : 222–236. Е 74.
10. Tweddle, Ian (1991). "Джон Мачин и Роберт Симсон о рядах обратных касательных для π ". Архив для History of Exact Sciences . 42 (1): 1–14. doi :10.1007/BF00384331. JSTOR  41133896.
11. Письмо Якоба Германа Готфриду Лейбницу , 21 августа 1706 г. Опубликовано в Gerhardt, CI, изд. (1859). «XXII. Герман Лейбниц». Лейбниценс Математические Шрифты . Том. 4. Х.В. Шмидт. стр. 302–304.
12. Йорг Уве Арндт: «Matters Computational» раздел 32.5.2, стр. 637.
13. Самый большой ручной расчет за столетие! [День числа Пи 2024] . Получено 2024-04-02 – через www.youtube.com.
14. https://arxiv.org/pdf/2108.07718.pdf (2021 г.)

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Машинноподобные формулы». MathWorld .
• Константа π
• Заслуга Мачина в MathPages