уравнение Марченко

В математической физике , а точнее в одномерной обратной задаче рассеяния , уравнение Марченко (или уравнение Гельфанда-Левитана-Марченко или уравнение ОЛМ ), названное в честь Израиля Гельфанда , Бориса Левитана и Владимира Марченко , выводится путем вычисления преобразования Фурье уравнения рассеяния:

${\displaystyle K(r,r^{\prime })+g(r,r^{\prime })+\int _{r}^{\infty }K(r,r^{\prime \prime })g(r^{\prime \prime },r^{\prime })\mathrm {d} r^{\prime \prime }=0}$

Где - симметричное ядро ​​, такое, которое вычисляется по данным рассеяния. Решая уравнение Марченко, получаем ядро ​​оператора преобразования, из которого можно считать потенциал. Это уравнение выводится из интегрального уравнения Гельфанда–Левитана с использованием представления Повзнера–Левитана. ${\displaystyle g(r,r^{\prime })\,}$ ${\displaystyle g(r,r^{\prime })=g(r^{\prime },r),\,}$ ${\displaystyle K(r,r^{\prime })}$

Применение к теории рассеяния

Предположим, что для потенциала оператора Шредингера имеются данные рассеяния , где — коэффициенты отражения от непрерывного рассеяния, заданные как функция , а действительные параметры взяты из дискретного связанного спектра. ^[1] ${\displaystyle u(x)}$ ${\displaystyle L=-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+u(x)}$ ${\displaystyle (r(k),\{\chi _{1},\cdots ,\chi _{N}\})}$ ${\displaystyle r(k)}$ ${\displaystyle r:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \chi _{1},\cdots ,\chi _{N}>0}$

Затем, определив, где являются ненулевыми константами, решение уравнения GLM для позволяет восстановить потенциал с помощью формулы $${\displaystyle F(x)=\sum _{n=1}^{N}\beta _{n}e^{-\chi _{n}x}+{\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {R} }r(k)e^{ikx}dk,}$$ ${\displaystyle \beta _{n}}$ $${\displaystyle K(x,y)+F(x+y)+\int _{x}^{\infty }K(x,z)F(z+y)dz=0}$$ ${\displaystyle K}$ $${\displaystyle u(x)=-2{\frac {d}{dx}}K(x,x).}$$

Смотрите также

• Слабая пара

Примечания

1. Дунайский 2009, стр. 30–31.

Ссылки

• Дунайский, Мацей (2009). Солитоны, инстантоны и твисторы . Оксфорд; Нью-Йорк: ОУП Оксфорд. ISBN 978-0-19-857063-9. OCLC  320199531.
• Марченко, ВА (2011). Операторы Штурма–Лиувилля и их приложения (2-е изд.). Провиденс: Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-5316-0. МР  2798059.
• Кей, Ирвин В. (1955). Обратная задача рассеяния. Нью-Йорк: Институт математических наук Куранта, Нью-Йоркский университет. OCLC  1046812324.
• Левинсон, Норман (1953). «Определенные явные соотношения между сдвигом фаз и рассеивающим потенциалом». Physical Review . 89 (4): 755–757. Bibcode :1953PhRv...89..755L. doi :10.1103/PhysRev.89.755. ISSN  0031-899X.