Геоматематика (также: математические науки о Земле , математическая геология , математическая геофизика ) — это применение математических методов для решения задач в науках о Земле , включая геологию и геофизику , и в частности геодинамику и сейсмологию .
Геофизическая гидродинамика разрабатывает теорию гидродинамики для атмосферы, океана и недр Земли. [1] Приложения включают геодинамику и теорию геодинамо .
Геофизическая обратная теория занимается анализом геофизических данных для получения параметров модели. [2] [3] Она занимается вопросом: что можно узнать о недрах Земли из измерений на поверхности? Обычно существуют пределы того, что можно узнать даже в идеальном пределе точных данных. [4]
Целью обратной теории является определение пространственного распределения некоторой переменной (например, плотности или скорости сейсмической волны). Распределение определяет значения наблюдаемой на поверхности (например, ускорение свободного падения для плотности). Должна быть прямая модель, предсказывающая поверхностные наблюдения с учетом распределения этой переменной.
Области применения включают геомагнетизм , магнитотеллурию и сейсмологию.
Многие геофизические наборы данных имеют спектры, которые следуют степенному закону , что означает, что частота наблюдаемой магнитуды изменяется как некоторая степень магнитуды. Примером является распределение магнитуд землетрясений ; небольшие землетрясения встречаются гораздо чаще, чем крупные землетрясения. Это часто является показателем того, что наборы данных имеют базовую фрактальную геометрию. Фрактальные наборы имеют ряд общих черт, включая структуру во многих масштабах, нерегулярность и самоподобие (их можно разделить на части, которые выглядят очень похожими на целое). Способ, которым эти наборы могут быть разделены, определяет размерность Хаусдорфа набора, которая, как правило, отличается от более знакомой топологической размерности . Фрактальные явления связаны с хаосом , самоорганизованной критичностью и турбулентностью . [5] «Фрактальные модели в науках о Земле» Габора Корвина была одной из ранних книг по применению фракталов в науках о Земле . [6]
Ассимиляция данных объединяет численные модели геофизических систем с наблюдениями, которые могут быть нерегулярными в пространстве и времени. Многие приложения включают геофизическую гидродинамику. Гидродинамические модели управляются набором дифференциальных уравнений в частных производных . Для того чтобы эти уравнения делали хорошие прогнозы, необходимы точные начальные условия. Однако часто начальные условия не очень хорошо известны. Методы ассимиляции данных позволяют моделям включать более поздние наблюдения для улучшения начальных условий. Ассимиляция данных играет все более важную роль в прогнозировании погоды . [7]
Некоторые статистические задачи относятся к математической геофизике, включая проверку моделей и количественную оценку неопределенности.
Важной областью исследований, использующей обратные методы, является сейсмическая томография — метод визуализации недр Земли с использованием сейсмических волн . Традиционно использовались сейсмические волны, создаваемые землетрясениями или антропогенными сейсмическими источниками (например, взрывчатыми веществами, морскими пневматическими пушками).
Кристаллография — одна из традиционных областей геологии , использующих математику . Кристаллографы используют линейную алгебру , используя метрическую матрицу . Метрическая матрица использует базисные векторы размеров элементарной ячейки для нахождения объема элементарной ячейки, d-расстояний, угла между двумя плоскостями, угла между атомами и длины связи. [8] Индекс Миллера также полезен при применении метрической матрицы . Уравнение Брэга также полезно при использовании электронного микроскопа для демонстрации взаимосвязи между углами дифракции света, длиной волны и d-расстояниями в образце. [8]
Геофизика является одной из самых математически тяжелых дисциплин наук о Земле . Существует множество приложений, которые включают гравитацию , магнитное поле , сейсмику , электричество , электромагнитное поле , сопротивление , радиоактивность, вызванную поляризацию и каротаж скважин . [9] Гравитационные и магнитные методы имеют схожие характеристики, поскольку они измеряют небольшие изменения в гравитационном поле на основе плотности горных пород в этой области. [9] В то время как схожие гравитационные поля, как правило, более однородны и гладки по сравнению с магнитными полями . Гравитация часто используется для разведки нефти , и сейсмика также может использоваться, но она часто значительно дороже. [9] Сейсмика используется чаще, чем большинство геофизических методов, из-за ее способности проникать, ее разрешения и ее точности.
Многие приложения математики в геоморфологии связаны с водой. В аспекте почвы используются такие вещи, как закон Дарси , закон Стокса и пористость .
Математика в гляциологии состоит из теоретической, экспериментальной и модельной. Она обычно охватывает ледники , морской лед , водный поток и землю под ледником.
Поликристаллический лед деформируется медленнее, чем монокристаллический лед, из-за напряжения, приложенного к базисным плоскостям, которые уже заблокированы другими кристаллами льда. [13] Его можно математически смоделировать с помощью закона Гука, чтобы показать упругие характеристики, используя при этом константы Ламе . [13] Обычно лед имеет свои линейные константы упругости, усредненные по одному измерению пространства, чтобы упростить уравнения, сохраняя при этом точность. [13]
Вязкоупругий поликристаллический лед считается имеющим низкие уровни напряжения , обычно ниже одного бара . [13] Этот тип ледяной системы — это то, где можно проверить ползучесть или вибрации от натяжения на льду. Одно из наиболее важных уравнений в этой области исследования называется функцией релаксации. [13] Где это отношение напряжения к деформации не зависит от времени. [13] Эта область обычно применяется к транспортировке или строительству на плавающем льду. [13]
Приближение мелкого льда полезно для ледников , которые имеют переменную толщину, с небольшим количеством напряжения и переменной скоростью. [13] Одной из главных целей математической работы является возможность предсказать напряжение и скорость. На которые могут влиять изменения свойств льда и температуры. Это область, в которой может использоваться формула базального напряжения сдвига. [13]