Теорема Менелая

Geometric relation on line segments formed by a line cutting through a triangle

Теорема Менелая, случай 1: прямая DEF проходит внутри треугольника △ ABC

В евклидовой геометрии теорема Менелая , названная в честь Менелая Александрийского , является утверждением о треугольниках в плоской геометрии . Предположим, что у нас есть треугольник △ ABC и секущая линия, пересекающая BC, AC, AB в точках D, E, F соответственно, причем D, E, F отличны от A, B, C. Слабая версия теоремы гласит, что

$${\displaystyle \left|{\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}\right|\times \left|{\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}\right|\times \left|{\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}\right|=1,}$$

где «| |» обозначает абсолютное значение (т.е. все длины сегментов положительны).

Теорему можно усилить до утверждения о знаковых длинах отрезков , что дает некоторую дополнительную информацию об относительном порядке коллинеарных точек. Здесь длина AB считается положительной или отрицательной в зависимости от того, находится ли A слева или справа от B в некоторой фиксированной ориентации линии; например, определяется как имеющая положительное значение, когда F находится между A и B, и отрицательное в противном случае. Знаковая версия теоремы Менелая гласит: ${\displaystyle {\tfrac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}}$

$${\displaystyle {\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}\times {\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}\times {\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}=-1.}$$

Эквивалентно, ^[1]

$${\displaystyle {\overline {AF}}\times {\overline {BD}}\times {\overline {CE}}=-{\overline {FB}}\times {\overline {DC}}\times {\overline {EA}}.}$$

Некоторые авторы организуют факторы по-разному и получают, казалось бы, иное соотношение ^[2], но поскольку каждый из этих факторов является отрицательным значением соответствующего фактора выше, соотношение оказывается тем же самым. $${\displaystyle {\frac {\overline {FA}}{\overline {FB}}}\times {\frac {\overline {DB}}{\overline {DC}}}\times {\frac {\overline {EC}}{\overline {EA}}}=1,}$$

Обратное утверждение также верно: если точки D, E, F выбраны на BC, AC, AB соответственно так, что D , E, F лежат на одной прямой . Обратное утверждение часто включается в теорему как часть теоремы. (Обратное утверждение более слабого, беззнакового утверждения не обязательно верно.) $${\displaystyle {\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}\times {\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}\times {\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}=-1,}$$

Теорема очень похожа на теорему Чевы в том, что их уравнения отличаются только знаком. Переписывая каждую в терминах перекрестных отношений , две теоремы можно рассматривать как проективные дуальные . ^[3]

Доказательства

Теорема Менелая, случай 2: линия DEF полностью находится вне треугольника △ ABC

Стандартное доказательство[4]

Во-первых, знак левой части будет отрицательным, поскольку либо все три отношения отрицательны, случай, когда линия DEF не попадает в треугольник (нижняя диаграмма), либо одно отношение отрицательно, а два других положительны, случай, когда DEF пересекает две стороны треугольника. (См. аксиому Паша .)

Для проверки величины построим перпендикуляры из точек A, B, C к прямой DEF и пусть их длины будут a, b, c соответственно. Тогда из подобия треугольников следует, что $${\displaystyle \left|{\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}\right|=\left|{\frac {a}{b}}\right|,\quad \left|{\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}\right|=\left|{\frac {b}{c}}\right|,\quad \left|{\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}\right|=\left|{\frac {c}{a}}\right|.}$$

Поэтому, $${\displaystyle \left|{\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}\right|\times \left|{\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}\right|\times \left|{\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}\right|=\left|{\frac {a}{b}}\times {\frac {b}{c}}\times {\frac {c}{a}}\right|=1.}$$

Для более простого, хотя и менее симметричного способа проверки величины ^[5] проведите CK параллельно AB , где DEF пересекает CK в точке K. Затем с помощью подобных треугольников и результата следует исключение CK из этих уравнений. $${\displaystyle \left|{\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}\right|=\left|{\frac {\overline {BF}}{\overline {CK}}}\right|,\quad \left|{\frac {\overline {AE}}{\overline {EC}}}\right|=\left|{\frac {\overline {AF}}{\overline {CK}}}\right|,}$$

Обратное следует как следствие. ^[6] Пусть D, E, F заданы на прямых BC, AC, AB так, что уравнение выполняется. Пусть F' будет точкой, где DE пересекает AB . Тогда по теореме уравнение также выполняется для D, E, F' . Сравнивая два, Но не более одной точки может разделить отрезок в заданном отношении, поэтому F = F'. $${\displaystyle {\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}={\frac {\overline {AF'}}{\overline {F'B}}}\ .}$$

Доказательство с использованием гомотетий

Следующее доказательство ^[7] использует только понятия аффинной геометрии , в частности гомотетии . Независимо от того, коллинеарны D, E, F или нет, существуют три гомотетии с центрами D, E, F , которые соответственно отправляют B в C , C в A и A в B. Тогда композиция этих трех является элементом группы гомотетий-трансляций, которая фиксирует B , поэтому это гомотетия с центром B , возможно, с отношением 1 (в этом случае это тождество). Эта композиция фиксирует прямую DE тогда и только тогда, когда F коллинеарна с D, E (поскольку первые две гомотетии определенно фиксируют DE , а третья делает это только если F лежит на DE ). Следовательно, D, E, F коллинеарны тогда и только тогда, когда эта композиция является тождеством, что означает, что величина произведения трех отношений равна 1: что эквивалентно данному уравнению. $${\displaystyle {\frac {\overrightarrow {DC}}{\overrightarrow {DB}}}\times {\frac {\overrightarrow {EA}}{\overrightarrow {EC}}}\times {\frac {\overrightarrow {FB}}{\overrightarrow {FA}}}=1,}$$

История

Неясно, кто на самом деле открыл теорему; однако старейшее сохранившееся изложение появляется в «Сферике» Менелая. В этой книге плоская версия теоремы используется в качестве леммы для доказательства сферической версии теоремы. ^[8]

В «Альмагесте » Птолемей применяет теорему к ряду проблем сферической астрономии. ^[9] Во время исламского золотого века мусульманские ученые посвятили ряд работ изучению теоремы Менелая, которую они называли «предложением о секущих» ( шакл аль-катта' ). Полный четырехугольник назывался «фигурой секущих» в их терминологии. ^[9] В работе Аль-Бируни «Ключи астрономии » перечислен ряд таких работ, которые можно классифицировать как исследования как часть комментариев к «Альмагесту » Птолемея , как в работах ан-Найризи и аль-Хазина , где каждый демонстрировал частные случаи теоремы Менелая, которые привели к правилу синусов , ^[10] или работы, составленные как независимые трактаты, такие как:

• «Трактат о фигуре секущих» ( Рисала фи шакл аль-катта ) Сабита ибн Курры . ^[9]
• «Снятие завесы с тайн фигуры секущих » (Кашф аль-кина' 'ан асрар аль-шакл аль-катта') Хусама ад-Дина аль-Салара , также известная как «Книга о фигуре секущих» ( Китаб аль-шакл аль-катта' ) или в Европе как «Трактат о полном четырехугольнике» . На утерянный трактат ссылались Шараф ад-Дин аль-Туси и Насир ад-Дин аль-Туси . ^[9]
• Работа аль-Сиджзи . ^[10]
• Тахзиб Абу Насра ибн Ирака . ^[10]
• Рошди Рашед и Атанас Пападопулос, Сферики Менелая: ранний перевод и версия аль-Махани / аль-Харави (Критическое издание Сферик Менелая из арабских рукописей, с историческими и математическими комментариями), Де Грюйтер, Серия: Scientia Graeco-Arabica , 21, 2017, 890 с. ISBN  978-3-11-057142-4

Ссылки

1. Рассел, стр. 6.
2. Джонсон, Роджер А. (2007) [1927], Advanced Euclidean Geometry , Довер, стр. 147, ISBN 978-0-486-46237-0
3. Бенитес, Хулио (2007). «Единое доказательство теорем Чевы и Менелая с использованием проективной геометрии» (PDF) . Журнал геометрии и графики . 11 (1): 39–44.
4. Следит за Расселом
5. Следуя Хопкинсу, Джорджу Ирвингу (1902). "Art. 983". Индуктивная плоская геометрия. DC Heath & Co.
6. Следует за Расселом с некоторым упрощением.
7. См. Мишель Оден, Геометрия, издания BELIN, Париж, 1998: указания к упражнению 1.37, стр. 273
8. Смит, Д. Э. (1958). История математики . Т. II. Courier Dover Publications. стр. 607. ISBN 0-486-20430-8.
9. Рашед, Рошди (1996). Энциклопедия истории арабской науки . Т. 2. Лондон: Routledge. С. 483. ISBN 0-415-02063-8.
10. Мусса, Али (2011). «Математические методы в Альмагесте Абу аль-Вафы и определения Киблы». Арабские науки и философия . 21 (1). Cambridge University Press : 1–56. doi : 10.1017/S095742391000007X. S2CID  171015175.

• Рассел, Джон Уэлсли (1905). "Гл. 1 §6 "Теорема Менелая"". Чистая геометрия. Clarendon Press.

Внешние ссылки

• Альтернативное доказательство теоремы Менелая от PlanetMath
• Менелай из Чевы
• Сева и Менелай встречаются на дороге
• Менелай и Сева в MathPages
• Демонстрация теоремы Менелая Джея Варендорфа. Проект демонстраций Вольфрама .
• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Менелая». MathWorld .