Метод Мильштейна

Численный метод решения стохастических дифференциальных уравнений

В математике метод Мильштейна — это метод приближенного численного решения стохастического дифференциального уравнения . Он назван в честь Григория Н. Мильштейна, который впервые опубликовал его в 1974 году. ^{[1] [2]}

Описание

Рассмотрим автономное стохастическое дифференциальное уравнение Ито : с начальным условием , где обозначает процесс Винера , и предположим, что мы хотим решить это СДУ на некотором интервале времени  . Тогда приближение Мильштейна к истинному решению представляет собой цепь Маркова, определяемую следующим образом: $${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=a(X_{t})\,\mathrm {d} t+b(X_{t})\,\mathrm {d} W_{t}}$$ ${\displaystyle X_{0}=x_{0}}$ ${\displaystyle W_{t}}$ ${\displaystyle [0,T]}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

• Разобьем интервал на равные подынтервалы шириной : ${\displaystyle [0,T]}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \Delta t>0}$ $${\displaystyle 0=\tau _{0}<\tau _{1}<\dots <\tau _{N}=T{\text{ with }}\tau _{n}:=n\Delta t{\text{ and }}\Delta t={\frac {T}{N}}}$$
• Набор ${\displaystyle Y_{0}=x_{0};}$
• Рекурсивно определяем для по: где обозначает производную по и : — независимые и одинаково распределенные нормальные случайные величины с ожидаемым значением нулевым и дисперсией . Тогда будет приближаться к , а увеличение даст лучшее приближение. ${\displaystyle Y_{n}}$ ${\displaystyle 1\leq n\leq N}$ $${\displaystyle Y_{n+1}=Y_{n}+a(Y_{n})\Delta t+b(Y_{n})\Delta W_{n}+{\frac {1}{2}}b(Y_{n})b'(Y_{n})\left((\Delta W_{n})^{2}-\Delta t\right)}$$ ${\displaystyle b'}$ ${\displaystyle b(x)}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle \Delta W_{n}=W_{\tau _{n+1}}-W_{\tau _{n}}}$$ ${\displaystyle \Delta t}$ ${\displaystyle Y_{n}}$ ${\displaystyle X_{\tau _{n}}}$ ${\displaystyle 0\leq n\leq N}$ ${\displaystyle N}$

Обратите внимание, что когда (т.е. диффузионный член не зависит от ), этот метод эквивалентен методу Эйлера–Маруямы . ${\displaystyle b'(Y_{n})=0}$ ${\displaystyle X_{t}}$

Схема Мильштейна имеет как слабый, так и сильный порядок сходимости , что превосходит метод Эйлера–Маруямы , который в свою очередь имеет тот же слабый порядок сходимости , но худший сильный порядок сходимости . ^[3] ${\displaystyle \Delta t}$ ${\displaystyle \Delta t}$ ${\displaystyle {\sqrt {\Delta t}}}$

Интуитивный вывод

Для этого вывода мы рассмотрим только геометрическое броуновское движение (ГБД), стохастическое дифференциальное уравнение которого имеет вид: с действительными константами и . Используя лемму Ито, получаем: $${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=\mu X\mathrm {d} t+\sigma XdW_{t}}$$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma }$ $${\displaystyle \mathrm {d} \ln X_{t}=\left(\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)\mathrm {d} t+\sigma \mathrm {d} W_{t}}$$

Таким образом, решение GBM SDE имеет вид: где $${\displaystyle {\begin{aligned}X_{t+\Delta t}&=X_{t}\exp \left\{\int _{t}^{t+\Delta t}\left(\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)\mathrm {d} t+\int _{t}^{t+\Delta t}\sigma \mathrm {d} W_{u}\right\}\\&\approx X_{t}\left(1+\mu \Delta t-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\Delta t+\sigma \Delta W_{t}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}(\Delta W_{t})^{2}\right)\\&=X_{t}+a(X_{t})\Delta t+b(X_{t})\Delta W_{t}+{\frac {1}{2}}b(X_{t})b'(X_{t})((\Delta W_{t})^{2}-\Delta t)\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle a(x)=\mu x,~b(x)=\sigma x}$$

Численное решение представлено на графике для трех различных траекторий. ^[4]

Численное решение стохастического дифференциального уравнения, где дрейф в два раза больше коэффициента диффузии.

Компьютерная реализация

Следующий код Python реализует метод Мильштейна и использует его для решения СДУ, описывающего геометрическое броуновское движение, определяемое формулой $${\displaystyle {\begin{cases}dY_{t}=\mu Y\,{\mathrm {d} }t+\sigma Y\,{\mathrm {d} }W_{t}\\Y_{0}=Y_{\text{init}}\end{cases}}}$$

# -*- кодировка: utf-8 -*-# Метод Мильштейнаимпортировать  numpy  как  npимпортировать  matplotlib.pyplot  как  plt Модель класса : """Константы стохастической модели.""" мю  =  3 сигма  =  1def  dW ( dt ): """Случайная выборка нормального распределения.""" вернуть  np.random.normal ( loc = 0.0 , scale = np.sqrt ( dt ) )​​​​​ определение  run_simulation (): """ Верните результат одной полной симуляции.""" # Одна секунда и тысяча точек сетки Т_ИНИТ  =  0 Т_КОНЕЦ  =  1 N  =  1000  # Вычислить 1000 точек сетки DT  =  float ( T_END  -  T_INIT )  /  N TS  =  np.arange ( T_INIT , T_END + DT , DT )​​     Y_INIT  =  1 # Векторы для заполнения ys  =  np . нули ( N  +  1 ) ys [ 0 ]  =  Y_INIT для  i  в  диапазоне ( 1 ,  TS . size ): т  =  ( я  -  1 )  *  ДТ у  =  ys [ i  -  1 ] dw  =  dW ( DT ) # Суммируем члены, как в методе Мильштейна ys [ я ]  =  у  + \ Модель . мю  *  у  *  DT  + \ Модель . сигма  *  у  *  dw  + \ ( Модель . сигма ** 2  /  2 )  *  y  *  ( dw ** 2  -  DT ) возврат  TS ,  ггdef  plot_simulations ( num_sims :  int ): """Постройте несколько симуляций на одном изображении.""" для  _  в  диапазоне ( num_sims ): plt . plot ( * run_simulation ()) plt . xlabel ( "время (с)" ) plt.ylabel ( " y " ) plt.сетка ( )​ plt . показать ()если  __name__  ==  "__main__" : NUM_SIMS  =  2 plot_simulations ( NUM_SIMS )

Смотрите также

• Метод Эйлера–Маруямы

Ссылки

1. Мильштейн, Г.Н. (1974). «Приближенное интегрирование стохастических дифференциальных уравнений». Теория вероятностей и ее применения . 19 (3): 583–588.
2. Мильштейн, ГН (1975). «Приближенное интегрирование стохастических дифференциальных уравнений». Теория вероятностей и ее приложения . 19 (3): 557–000. doi :10.1137/1119062.
3. В. Мацкявичюс, Введение в стохастический анализ , Wiley 2011
4. Умберто Пиккини, SDE Toolbox: моделирование и оценка стохастических дифференциальных уравнений с помощью Matlab. http://sdetoolbox.sourceforge.net/

Дальнейшее чтение

• Клоден, П.Е. и Платен, Э. (1999). Численное решение стохастических дифференциальных уравнений . Springer, Берлин. ISBN 3-540-54062-8.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)