Теория Мора-Кулона

Математическая модель в материаловедении

Теория Мора-Кулона — это математическая модель (см. поверхность текучести ), описывающая реакцию хрупких материалов, таких как бетон или щебень, на касательное напряжение , а также на нормальное напряжение. Большинство классических конструкционных материалов следуют этому правилу, по крайней мере, в части их оболочки сдвига. Обычно эта теория применяется к материалам, для которых прочность на сжатие намного превышает прочность на растяжение . ^[1]

В геотехнической инженерии он используется для определения прочности грунтов и горных пород на сдвиг при различных эффективных напряжениях .

В строительной инженерии он используется для определения разрушающей нагрузки, а также угла разрушения при смещении в бетоне и подобных материалах. Гипотеза трения Кулона используется для определения комбинации касательного и нормального напряжения , которая вызовет разрушение материала. Круг Мора используется для определения того, какие главные напряжения вызовут эту комбинацию касательного и нормального напряжения, и угла плоскости, в которой это произойдет. Согласно принципу нормальности, напряжение, введенное при разрушении, будет перпендикулярно линии, описывающей состояние разрушения.

Можно показать, что материал, разрушающийся в соответствии с гипотезой трения Кулона, покажет смещение, введенное при разрушении, образующее угол с линией разрушения, равный углу трения . Это делает прочность материала определяемой путем сравнения внешней механической работы, введенной смещением и внешней нагрузкой, с внутренней механической работой, введенной деформацией и напряжением на линии разрушения. По закону сохранения энергии их сумма должна быть равна нулю, и это позволит вычислить разрушающую нагрузку конструкции.

Распространенным усовершенствованием этой модели является объединение гипотезы трения Кулона с гипотезой главного напряжения Рэнкина для описания разрыва при разделении. ^[2] Альтернативная точка зрения выводит критерий Мора-Кулона как разрушение при растяжении. ^[3]

История развития

Теория Мора–Кулона названа в честь Шарля-Огюстена де Кулона и Кристиана Отто Мора . Вкладом Кулона было эссе 1776 года под названием « Essai sur une application des règles des maximis et minimis à quelques problèmes de statique relatifs à l'architecture » ^{[2] [4]} Мор разработал обобщенную форму теории примерно в конце 19-го века. ^[5] Поскольку обобщенная форма повлияла на интерпретацию критерия, но не на его суть, некоторые тексты продолжают ссылаться на критерий просто как на « критерий Кулона» . ^[6]

Критерий разрушения Мора-Кулона

Рисунок 1: Вид поверхности разрушения Мора-Кулона в трехмерном пространстве главных напряжений для ${\displaystyle c=2,\phi =-20^{\circ }}$

Критерий разрушения Мора-Кулона ^[7] представляет собой линейную огибающую, полученную из графика прочности материала на сдвиг в зависимости от приложенного нормального напряжения. Это отношение выражается как

${\displaystyle \tau =\sigma ~\tan(\phi )+c}$

где — предел прочности на сдвиг, — нормальное напряжение, — пересечение огибающей разрушения с осью, — наклон огибающей разрушения. Величина часто называется сцеплением , а угол — углом внутреннего трения . В следующем обсуждении предполагается, что сжатие положительно. Если предполагается, что сжатие отрицательно, то следует заменить на . ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tan(\phi )}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle -\sigma }$

Если , критерий Мора–Кулона сводится к критерию Треска . С другой стороны, если модель Мора–Кулона эквивалентна модели Ренкина. Более высокие значения не допускаются. ${\displaystyle \phi =0}$ ${\displaystyle \phi =90^{\circ }}$ ${\displaystyle \phi }$

Из круга Мора имеем , где и — максимальное главное напряжение, а — минимальное главное напряжение. $${\displaystyle \sigma =\sigma _{m}-\tau _{m}\sin \phi ~;~~\tau =\tau _{m}\cos \phi }$$ $${\displaystyle \tau _{m}={\cfrac {\sigma _{1}-\sigma _{3}}{2}}~;~~\sigma _{m}={\cfrac {\sigma _{1}+\sigma _{3}}{2}}}$$ ${\displaystyle \sigma _{1}}$ ${\displaystyle \sigma _{3}}$

Поэтому критерий Мора–Кулона можно также выразить как $${\displaystyle \tau _{m}=\sigma _{m}\sin \phi +c\cos \phi ~.}$$

Эта форма критерия Мора–Кулона применима к разрушению в плоскости, параллельной направлению . ${\displaystyle \sigma _{2}}$

Критерий разрушения Мора-Кулона в трех измерениях

Критерий Мора–Кулона в трех измерениях часто выражается как

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}\pm {\cfrac {\sigma _{1}-\sigma _{2}}{2}}&=\left[{\cfrac {\sigma _{1}+\sigma _{2}}{2}}\right]\sin(\phi )+c\cos(\phi )\\\pm {\cfrac {\sigma _{2}-\sigma _{3}}{2}}&=\left[{\cfrac {\sigma _{2}+\sigma _{3}}{2}}\right]\sin(\phi )+c\cos(\phi )\\\pm {\cfrac {\sigma _{3}-\sigma _{1}}{2}}&=\left[{\cfrac {\sigma _{3}+\sigma _{1}}{2}}\right]\sin(\phi )+c\cos(\phi ).\end{aligned}}\right.}$

Поверхность разрушения Мора–Кулона представляет собой конус с шестиугольным поперечным сечением в девиаторном пространстве напряжений.

Выражения для и могут быть обобщены на три измерения путем разработки выражений для нормального напряжения и разрешенного касательного напряжения на плоскости произвольной ориентации относительно осей координат (базисных векторов). Если единица нормали к интересующей плоскости равна ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \mathbf {n} =n_{1}~\mathbf {e} _{1}+n_{2}~\mathbf {e} _{2}+n_{3}~\mathbf {e} _{3}}$

где — три ортонормированных единичных базисных вектора, и если главные напряжения выровнены с базисными векторами , то выражения для имеют вид ${\displaystyle \mathbf {e} _{i},~~i=1,2,3}$ ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}}$ ${\displaystyle \sigma ,\tau }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma &=n_{1}^{2}\sigma _{1}+n_{2}^{2}\sigma _{2}+n_{3}^{2}\sigma _{3}\\\tau &={\sqrt {(n_{1}\sigma _{1})^{2}+(n_{2}\sigma _{2})^{2}+(n_{3}\sigma _{3})^{2}-\sigma ^{2}}}\\&={\sqrt {n_{1}^{2}n_{2}^{2}(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+n_{2}^{2}n_{3}^{2}(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+n_{3}^{2}n_{1}^{2}(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}}}.\end{aligned}}}$

Затем критерий разрушения Мора-Кулона можно оценить, используя обычное выражение для шести плоскостей максимального напряжения сдвига. $${\displaystyle \tau =\sigma ~\tan(\phi )+c}$$

Поверхность разрушения Мора-Кулона в пространстве Хейга-Вестергарда

Поверхность разрушения (текучести) Мора-Кулона часто выражается в координатах Хейга-Вестергаада . Например, функция может быть выражена как $${\displaystyle {\cfrac {\sigma _{1}-\sigma _{3}}{2}}={\cfrac {\sigma _{1}+\sigma _{3}}{2}}~\sin \phi +c\cos \phi }$$

${\displaystyle \left[{\sqrt {3}}~\sin \left(\theta +{\cfrac {\pi }{3}}\right)-\sin \phi \cos \left(\theta +{\cfrac {\pi }{3}}\right)\right]\rho -{\sqrt {2}}\sin(\phi )\xi ={\sqrt {6}}c\cos \phi .}$

Альтернативно, в терминах инвариантов мы можем записать ${\displaystyle p,q,r}$

${\displaystyle \left[{\cfrac {1}{{\sqrt {3}}~\cos \phi }}~\sin \left(\theta +{\cfrac {\pi }{3}}\right)-{\cfrac {1}{3}}\tan \phi ~\cos \left(\theta +{\cfrac {\pi }{3}}\right)\right]q-p~\tan \phi =c}$

где $${\displaystyle \theta ={\cfrac {1}{3}}\arccos \left[\left({\cfrac {r}{q}}\right)^{3}\right]~.}$$

Текучесть и пластичность по Мору-Кулону

Поверхность текучести Мора–Кулона часто используется для моделирования пластического течения геоматериалов (и других когезионно-фрикционных материалов). Многие такие материалы демонстрируют дилатационное поведение при трехосных состояниях напряжения, которые модель Мора–Кулона не включает. Кроме того, поскольку поверхность текучести имеет углы, может быть неудобно использовать исходную модель Мора–Кулона для определения направления пластического течения (в теории пластичности течения ).

Распространенный подход заключается в использовании неассоциированного пластического потенциала течения, который является гладким. Примером такого потенциала является функция ^{[ необходима цитата ]} $${\displaystyle g:={\sqrt {(\alpha c_{\mathrm {y} }\tan \psi )^{2}+G^{2}(\phi ,\theta )~q^{2}}}-p\tan \phi }$$

где — параметр, — значение при нулевой пластической деформации (также называемое начальным пределом текучести сцепления ), — угол, образуемый поверхностью текучести в плоскости Рендули при высоких значениях (этот угол также называется углом расширения ), а — соответствующая функция, которая также является гладкой в ​​плоскости девиаторных напряжений. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle c_{\mathrm {y} }}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle G(\phi ,\theta )}$

Типичные значения сцепления и угла внутреннего трения

Значения сцепления (альтернативно называемого прочностью сцепления ) и угла трения для горных пород и некоторых распространенных почв приведены в таблицах ниже.

Смотрите также

• 3-D эластичность
• Критерий разрушения Хука-Брауна
• Закон Байерли
• Боковое давление грунта
• стресс фон Мизеса
• Выход (инжиниринг)
• Критерий доходности Друкера-Прагера — сглаженная версия критерия доходности М–С
• Координаты Лоде
• Критерий текучести Бигони–Пикколроаза

Ссылки

1. Джувинал, Роберт С. и Маршек, Курт .; Основы проектирования компонентов машин. – 2-е изд., 1991, стр. 217, ISBN  0-471-62281-8
2. Кулон, Калифорния (1776). Эссе о применении правил максимизации и минимизации для устранения статических проблем в стиле архитектуры. Память акад. Рой. Див. Сав., вып. 7, стр. 343–387.
3. Staat, M. (2021) Критерий Мора–Кулона типа деформации растяжения. Rock Mech. Rock Eng., т. 54, стр. 6207–6233. DOI: 10.1007/s00603-021-02608-7.
4. AMIR R. KHOEI; Вычислительная пластичность в процессах формования порошков ; Elsevier, Амстердам; 2005; 449 стр.
5. Юй, Мао-хун (2002-05-01). «Достижения в теории прочности материалов при сложном напряженном состоянии в 20 веке». Applied Mechanics Reviews . 55 (3): 169–218. Bibcode : 2002ApMRv..55..169Y. doi : 10.1115/1.1472455. ISSN  0003-6900.
6. НИЛЬС САБИ ОТТОСЕН и МАТТИ РИСТИНМАА; Механика конститутивного моделирования ; Elsevier Science, Амстердам, Нидерланды; 2005; стр. 165 и далее.
7. Кулон, Калифорния (1776). Эссе о применении правил максимизации и минимизации для устранения статических проблем в стиле архитектуры. Память акад. Рой. Див. Сав., вып. 7, стр. 343–387.

• https://web.archive.org/web/20061008230404/http://fbe.uwe.ac.uk/public/geocal/SoilMech/basic/soilbasi.htm
• http://www.civil.usyd.edu.au/courses/civl2410/earth_pressures_rankine.doc