Поверхность текучести

Поверхности, на которых инварианты , , постоянны. Построены в пространстве главных напряжений. ${\displaystyle I_{1}}$ ${\displaystyle J_{2}}$ ${\displaystyle J_{3}}$

Поверхность текучести — это пятимерная поверхность в шестимерном пространстве напряжений . Поверхность текучести обычно выпуклая , а напряженное состояние внутри поверхности текучести упругое. Когда напряженное состояние лежит на поверхности, говорят, что материал достиг своего предела текучести , и говорят, что материал стал пластичным . Дальнейшая деформация материала приводит к тому, что напряженное состояние остается на поверхности текучести, даже если форма и размер поверхности могут изменяться по мере развития пластической деформации. Это происходит потому, что напряженные состояния, которые лежат вне поверхности текучести, недопустимы в пластичности, независимой от скорости , хотя и не в некоторых моделях вязкопластичности . ^[1]

Поверхность текучести обычно выражается в терминах (и визуализируется в) трехмерного главного пространства напряжений ( ), двух- или трехмерного пространства, охватываемого инвариантами напряжений ( ) или версии трехмерного пространства напряжений Хейга-Вестергаарда . Таким образом, мы можем записать уравнение поверхности текучести (то есть функцию текучести) в формах: ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}}$ ${\displaystyle I_{1},J_{2},J_{3}}$

• ${\displaystyle f(\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3})=0\,}$где главные напряжения. ${\displaystyle \sigma _{i}}$
• ${\displaystyle f(I_{1},J_{2},J_{3})=0\,}$где — первый главный инвариант напряжения Коши, а — второй и третий главные инварианты девиаторной части напряжения Коши. ${\displaystyle I_{1}}$ ${\displaystyle J_{2},J_{3}}$
• ${\displaystyle f(p,q,r)=0\,}$где — масштабированные версии и , а — функция . ${\displaystyle p,q}$ ${\displaystyle I_{1}}$ ${\displaystyle J_{2}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle J_{2},J_{3}}$
• ${\displaystyle f(\xi ,\rho ,\theta )=0\,}$где — масштабированные версии и , а — угол напряжения ^[2] или угол Лоде ^[3] ${\displaystyle \xi ,\rho }$ ${\displaystyle I_{1}}$ ${\displaystyle J_{2}}$ ${\displaystyle \theta }$

Инварианты, используемые для описания поверхностей текучести

Поверхности, на которых инварианты , , постоянны. Построены в пространстве главных напряжений. ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \theta }$

Первый главный инвариант ( ) напряжения Коши ( ), а также второй и третий главные инварианты ( ) девиаторной части ( ) напряжения Коши определяются как: ${\displaystyle I_{1}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle J_{2},J_{3}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {s}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}&={\text{Tr}}({\boldsymbol {\sigma }})=\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}\\J_{2}&={\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {s}}:{\boldsymbol {s}}={\tfrac {1}{6}}\left[(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}\right]\\J_{3}&=\det({\boldsymbol {s}})={\tfrac {1}{3}}({\boldsymbol {s}}\cdot {\boldsymbol {s}}):{\boldsymbol {s}}=s_{1}s_{2}s_{3}\end{aligned}}}$

где ( ) — главные значения , ( ) — главные значения , и ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle s_{1},s_{2},s_{3}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {s}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {s}}={\boldsymbol {\sigma }}-{\tfrac {I_{1}}{3}}\,{\boldsymbol {I}}}$

где — единичная матрица. ${\displaystyle {\boldsymbol {I}}}$

Связанный набор величин ( ), обычно используется для описания поверхностей текучести для связных фрикционных материалов, таких как камни, почвы и керамика. Они определяются как ${\displaystyle p,q,r\,}$

${\displaystyle p={\tfrac {1}{3}}~I_{1}~:~~q={\sqrt {3~J_{2}}}=\sigma _{\mathrm {eq} }~;~~r=3\left({\tfrac {1}{2}}\,J_{3}\right)^{1/3}}$

где - эквивалентное напряжение . Однако возможность отрицательных значений и результирующей мнимой величины делает использование этих величин на практике проблематичным. ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {eq} }}$ ${\displaystyle J_{3}}$ ${\displaystyle r}$

Другой связанный набор широко используемых инвариантов — ( ), которые описывают цилиндрическую систему координат ( координаты Хейга–Вестергаарда ). Они определяются как: ${\displaystyle \xi ,\rho ,\theta \,}$

${\displaystyle \xi ={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}~I_{1}={\sqrt {3}}~p~;~~\rho ={\sqrt {2J_{2}}}={\sqrt {\tfrac {2}{3}}}~q~;~~\cos(3\theta )=\left({\tfrac {r}{q}}\right)^{3}={\tfrac {3{\sqrt {3}}}{2}}~{\cfrac {J_{3}}{J_{2}^{3/2}}}}$

Плоскость также называется плоскостью Рендули . Угол называется углом напряжения, величина иногда называется параметром Лоде ^{[4] [5] [6]} а соотношение между и было впервые дано Новожиловым В.В. в 1951 г., ^[7] см. также ^[8] ${\displaystyle \xi -\rho \,}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \cos(3\theta )}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle J_{2},J_{3}}$

Главные напряжения и координаты Хейга–Вестергаарда связаны соотношением

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\end{bmatrix}}={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{bmatrix}\xi \\\xi \\\xi \end{bmatrix}}+{\sqrt {\tfrac {2}{3}}}~\rho ~{\begin{bmatrix}\cos \theta \\\cos \left(\theta -{\tfrac {2\pi }{3}}\right)\\\cos \left(\theta +{\tfrac {2\pi }{3}}\right)\end{bmatrix}}={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{bmatrix}\xi \\\xi \\\xi \end{bmatrix}}+{\sqrt {\tfrac {2}{3}}}~\rho ~{\begin{bmatrix}\cos \theta \\-\sin \left({\tfrac {\pi }{6}}-\theta \right)\\-\sin \left({\tfrac {\pi }{6}}+\theta \right)\end{bmatrix}}\,.}$

В литературе можно найти иное определение угла Лоде: ^[9]

${\displaystyle \sin(3\theta )=~{\tfrac {3{\sqrt {3}}}{2}}~{\cfrac {J_{3}}{J_{2}^{3/2}}}}$

в этом случае упорядоченные главные напряжения (где ) связаны соотношением ^[10] ${\displaystyle \sigma _{1}\geq \sigma _{2}\geq \sigma _{3}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\end{bmatrix}}={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{bmatrix}\xi \\\xi \\\xi \end{bmatrix}}+{\tfrac {\rho }{\sqrt {2}}}~{\begin{bmatrix}\cos \theta -{\tfrac {\sin \theta }{\sqrt {3}}}\\{\tfrac {2\sin \theta }{\sqrt {3}}}\\-{\tfrac {\sin \theta }{\sqrt {3}}}-\cos \theta \end{bmatrix}}\,.}$

Примеры поверхностей текучести

В технике известно несколько различных поверхностей текучести, наиболее популярные из которых перечислены ниже.

Поверхность текучести Треска

Критерий текучести Трески считается работой Анри Трески . ^[11] Он также известен как теория максимального напряжения сдвига (MSST) и критерий Трески–Геста ^[12] (TG). В терминах главных напряжений критерий Трески выражается как

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\max(|\sigma _{1}-\sigma _{2}|,|\sigma _{2}-\sigma _{3}|,|\sigma _{3}-\sigma _{1}|)=S_{sy}={\tfrac {1}{2}}S_{y}}\!}$

Где - предел текучести при сдвиге, а - предел текучести при растяжении. ${\displaystyle S_{sy}}$ ${\displaystyle S_{y}}$

На рисунке 1 показана поверхность текучести Трески–Геста в трехмерном пространстве главных напряжений. Это призма с шестью сторонами и бесконечной длиной. Это означает, что материал остается упругим, когда все три главных напряжения примерно равны ( гидростатическое давление ), независимо от того, насколько он сжат или растянут. Однако, когда одно из главных напряжений становится меньше (или больше) других, материал подвергается сдвигу. В таких ситуациях, если касательное напряжение достигает предела текучести, то материал входит в пластическую область. На рисунке 2 показана поверхность текучести Трески–Геста в двумерном пространстве напряжений, это поперечное сечение призмы вдоль плоскости. ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$

Рисунок 1: Вид поверхности текучести Треска–Геста в трехмерном пространстве главных напряжений

Рисунок 2: Поверхность текучести Треска–Гостя в двумерном пространстве ( ) ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$

поверхность текучести фон Мизеса

Критерий текучести фон Мизеса выражается в главных напряжениях как

${\displaystyle {(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}=2{S_{y}}^{2}}\!}$

где - предел текучести при одноосном растяжении. ${\displaystyle S_{y}}$

На рисунке 3 показана поверхность текучести фон Мизеса в трехмерном пространстве главных напряжений. Это круговой цилиндр бесконечной длины с осью, наклоненной под равными углами к трем главным напряжениям. На рисунке 4 показана поверхность текучести фон Мизеса в двумерном пространстве в сравнении с критерием Трески–Геста. Поперечное сечение цилиндра фон Мизеса на плоскости дает эллиптическую форму поверхности текучести. ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$

Рисунок 3: Вид поверхности текучести Хубера–Мизеса–Генки в трехмерном пространстве главных напряжений

Рисунок 4: Сравнение критериев Трески–Геста и Хубера–Мизеса–Хенки в двумерном пространстве ( ) ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$

Критерий Буржинского-Ягна

Этот критерий ^{[13] [14]} переформулирован как функция гидростатических узлов с координатами и ${\displaystyle 1/\gamma _{1}}$ ${\displaystyle 1/\gamma _{2}}$

${\displaystyle 3I_{2}'={\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{1}I_{1}}{1-\gamma _{1}}}{\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{2}I_{1}}{1-\gamma _{2}}}}$

представляет собой общее уравнение поверхности вращения второго порядка вокруг гидростатической оси. Некоторые частные случаи: ^[15]

• цилиндр (Максвелл (1865), Губер (1904), фон Мизес (1913), Генки (1924)), ${\displaystyle \gamma _{1}=\gamma _{2}=0}$
• конус (Боткин (1940), Друкер-Прагер (1952), Миролюбов (1953)), ${\displaystyle \gamma _{1}=\gamma _{2}\in ]0,1[}$
• параболоид (Буржинский (1928), Баландин (1937), Торре (1947)), ${\displaystyle \gamma _{1}\in ]0,1[,\gamma _{2}=0}$
• эллипсоид с центром в плоскости симметрии , (Бельтрами (1885)), ${\displaystyle I_{1}=0}$ ${\displaystyle \gamma _{1}=-\gamma _{2}\in ]0,1[}$
• эллипсоид с центром в плоскости симметрии ( Шлейхер (1926)), ${\displaystyle I_{1}={\frac {1}{2}}\,{\bigg (}{\frac {1}{\gamma _{1}}}+{\frac {1}{\gamma _{2}}}{\bigg )}}$ ${\displaystyle \gamma _{1}\in ]0,1[,\gamma _{2}<0}$
• Двуполостный гиперболоид (Буржинский (1928), Ягн (1931)), ${\displaystyle \gamma _{1}\in ]0,1[,\gamma _{2}\in ]0,\gamma _{1}[}$
• Гиперболоид из одной полосы с центром в плоскости симметрии , (Кун (1980)) ${\displaystyle I_{1}=0}$ ${\displaystyle \gamma _{1}=-\gamma _{2}=a\,i}$ ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$
• Однополостный гиперболоид ( Филоненко-Бородич (1960), Гольденблат-Копнов (1968), Филин (1975)). ${\displaystyle \gamma _{1,2}=b\pm a\,i}$ ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$

Отношения сжатия-растяжения и кручения-растяжения можно вычислить следующим образом:

${\displaystyle {\frac {\sigma _{-}}{\sigma _{+}}}={\frac {1}{1-\gamma _{1}-\gamma _{2}}},\qquad {\bigg (}{\sqrt {3}}\,{\frac {\tau _{*}}{\sigma _{+}}}{\bigg )}^{2}={\frac {1}{(1-\gamma _{1})(1-\gamma _{2})}}}$

Коэффициенты Пуассона при растяжении и сжатии получаются с помощью

${\displaystyle \nu _{+}^{\mathrm {in} }={\frac {-1+2(\gamma _{1}+\gamma _{2})-3\gamma _{1}\gamma _{2}}{-2+\gamma _{1}+\gamma _{2}}}}$

${\displaystyle \nu _{-}^{\mathrm {in} }=-{\frac {-1+\gamma _{1}^{2}+\gamma _{2}^{2}-\gamma _{1}\,\gamma _{2}}{(-2+\gamma _{1}+\gamma _{2})\,(-1+\gamma _{1}+\gamma _{2})}}}$

Для пластичных материалов ограничение

${\displaystyle \nu _{+}^{\mathrm {in} }\in {\bigg [}\,0.48,\,{\frac {1}{2}}\,{\bigg ]}}$

Важно. Применение вращательно-симметричных критериев хрупкого разрушения с

${\displaystyle \nu _{+}^{\mathrm {in} }\in ]-1,~\nu _{+}^{\mathrm {el} }\,]}$

недостаточно изучен. ^[16]

Критерий Буржинского-Ягна хорошо подходит для академических целей. Для практических приложений в уравнение следует ввести третий инвариант девиатора в нечетной и четной степени, например: ^[17]

${\displaystyle 3I_{2}'{\frac {1+c_{3}\cos 3\theta +c_{6}\cos ^{2}3\theta }{1+c_{3}+c_{6}}}={\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{1}I_{1}}{1-\gamma _{1}}}{\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{2}I_{1}}{1-\gamma _{2}}}}$

критерий Хубера

Критерий Хубера состоит из эллипсоида Бельтрами и масштабированного цилиндра фон Мизеса в главном напряженном пространстве, ^{[18] [19] [20] [21]} см. также ^{[22] [23]}

${\displaystyle 3\,I_{2}'=\left\{{\begin{array}{ll}\displaystyle {\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{1}\,I_{1}}{1-\gamma _{1}}}\,{\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }+\gamma _{1}\,I_{1}}{1+\gamma _{1}}},&I_{1}>0\\[1em]\displaystyle {\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }}{1-\gamma _{1}}}\,{\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }}{1+\gamma _{1}}},&I_{1}\leq 0\end{array}}\right.}$

с . Переход между поверхностями в поперечном сечении непрерывно дифференцируем. Критерий представляет собой «классический взгляд» относительно неупругого поведения материала: ${\displaystyle \gamma _{1}\in [0,1[}$ ${\displaystyle I_{1}=0}$

• поведение материала, чувствительного к давлению, для с и ${\displaystyle I_{1}>0}$ ${\displaystyle \nu _{+}^{\mathrm {in} }\in \left]-1,\,1/2\right]}$
• поведение материала, нечувствительного к давлению, для с ${\displaystyle I_{1}<0}$ ${\displaystyle \nu _{-}^{\mathrm {in} }=1/2}$

Критерий Хубера можно использовать в качестве поверхности текучести с эмпирическим ограничением для коэффициента Пуассона при растяжении , что приводит к . ${\displaystyle \nu _{+}^{\mathrm {in} }\in [0.48,1/2]}$ ${\displaystyle \gamma _{1}\in [0,0.1155]}$

Критерий Губера с и модифицированный критерий Губера с и в плоскости Буржинского: настройка в соответствии с гипотезой нормального напряжения ( ). Критерий фон Мизеса ( ) показан для сравнения. C - одноосное сжатие, Cc - двухосное сжатие при соотношении напряжений 1:2, CC - равномерная двухосная компрессия, CCC - гидростатическое сжатие, S или TC - сдвиг, T - одноосное растяжение, Tt - двухосное растяжение при соотношении напряжений 1:2, TT - равномерная двухосная растяжение, TTT - гидростатическое растяжение. ${\displaystyle \gamma _{1}=1/{\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle \gamma _{1}=(1+{\sqrt {5}})/6}$ ${\displaystyle \gamma _{2}=(1-{\sqrt {5}})/6}$ ${\displaystyle \nu _{+}^{\mathrm {in} }=0}$ ${\displaystyle \nu _{-}^{\mathrm {in} }=\nu _{+}^{\mathrm {in} }=1/2}$

Модифицированный критерий Хубера, ^{[24] [23]} см. также ^[25] ср. ^[26]

${\displaystyle 3\,I_{2}'=\left\{{\begin{array}{ll}\displaystyle {\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{1}\,I_{1}}{1-\gamma _{1}}}\,{\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{2}\,I_{1}}{1-\gamma _{2}}},&I_{1}>-d\,\sigma _{\mathrm {+} }\\[1em]\displaystyle {\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }^{2}}{(1-\gamma _{1}-\gamma _{2})^{2}}},&I_{1}\leq -d\,\sigma _{\mathrm {+} }\end{array}}\right.}$

состоит из эллипсоида Шлейхера с ограничением коэффициента Пуассона при сжатии

${\displaystyle \nu _{-}^{\mathrm {in} }=-{\frac {-1+\gamma _{1}^{2}+\gamma _{2}^{2}-\gamma _{1}\,\gamma _{2}}{(-2+\gamma _{1}+\gamma _{2})\,(-1+\gamma _{1}+\gamma _{2})}}={\frac {1}{2}}}$

и цилиндр с -переходом в поперечном сечении . Вторая настройка для параметров и следует с соотношением сжатия/растяжения ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle I_{1}=-d\,\sigma _{\mathrm {+} }}$ ${\displaystyle \gamma _{1}\in [0,1[}$ ${\displaystyle \gamma _{2}<0}$

${\displaystyle d={\frac {\sigma _{-}}{\sigma _{+}}}={\frac {1}{1-\gamma _{1}-\gamma _{2}}}\geq 1}$

Модифицированный критерий Хубера может быть лучше подобран к измеренным данным как критерий Хубера. Для его установки следует и . ${\displaystyle \nu _{+}^{\mathrm {in} }=0.48}$ ${\displaystyle \gamma _{1}=0.0880}$ ${\displaystyle \gamma _{2}=-0.0747}$

Критерий Хубера и модифицированный критерий Хубера следует предпочесть критерию фон Мизеса, поскольку они дают более надежные результаты в области . Для практических приложений в этих критериях следует учитывать третий инвариант девиатора . ^[23] ${\displaystyle I_{1}>\sigma _{\mathrm {+} }}$ ${\displaystyle I_{3}'}$

Поверхность текучести Мора-Кулона

Критерий текучести (разрушения) Мора-Кулона аналогичен критерию Треска с дополнительными условиями для материалов с различным пределом текучести на растяжение и сжатие. Эта модель часто используется для моделирования бетона , грунта или зернистых материалов . Критерий текучести Мора-Кулона может быть выражен как:

${\displaystyle {\frac {m+1}{2}}\max {\Big (}|\sigma _{1}-\sigma _{2}|+K(\sigma _{1}+\sigma _{2})~,~~|\sigma _{1}-\sigma _{3}|+K(\sigma _{1}+\sigma _{3})~,~~|\sigma _{2}-\sigma _{3}|+K(\sigma _{2}+\sigma _{3}){\Big )}=S_{yc}}$

где

${\displaystyle m={\frac {S_{yc}}{S_{yt}}};K={\frac {m-1}{m+1}}}$

а параметры и — напряжения текучести (разрушения) материала при одноосном сжатии и растяжении соответственно. Формула сводится к критерию Треска, если . ${\displaystyle S_{yc}}$ ${\displaystyle S_{yt}}$ ${\displaystyle S_{yc}=S_{yt}}$

На рисунке 5 показана поверхность текучести Мора–Кулона в трехмерном пространстве главных напряжений. Она представляет собой коническую призму и определяет угол наклона конической поверхности. На рисунке 6 показана поверхность текучести Мора–Кулона в двумерном пространстве напряжений. На рисунке 6 и используется для и , соответственно, в формуле. Это поперечное сечение этой конической призмы на плоскости . На рисунке 6 Rr и Rc используются для Syc и Syt, соответственно, в формуле. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle R_{r}}$ ${\displaystyle R_{c}}$ ${\displaystyle S_{yt}}$ ${\displaystyle S_{yc}}$ ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$

Рисунок 5: Вид поверхности текучести Мора–Кулона в трехмерном пространстве главных напряжений

Рисунок 6: Поверхность текучести Мора–Кулона в двумерном пространстве ( ) ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$

Поверхность текучести Друкера–Прагера

Критерий текучести Друкера-Прагера аналогичен критерию текучести фон Мизеса, с положениями для обработки материалов с различными пределами текучести на растяжение и сжатие. Этот критерий чаще всего используется для бетона, где как нормальные, так и касательные напряжения могут определять разрушение. Критерий текучести Друкера-Прагера может быть выражен как

${\displaystyle {\bigg (}{\frac {m-1}{2}}{\bigg )}(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})+{\bigg (}{\frac {m+1}{2}}{\bigg )}{\sqrt {\frac {(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}}{2}}}=S_{yc}}$

где

${\displaystyle m={\frac {S_{yc}}{S_{yt}}}}$

и , — одноосные напряжения текучести при сжатии и растяжении соответственно. Формула сводится к уравнению фон Мизеса, если . ${\displaystyle S_{yc}}$ ${\displaystyle S_{yt}}$ ${\displaystyle S_{yc}=S_{yt}}$

На рисунке 7 показана поверхность текучести Друкера–Прагера в трехмерном пространстве главных напряжений. Это правильный конус . На рисунке 8 показана поверхность текучести Друкера–Прагера в двумерном пространстве. Эллиптическая упругая область представляет собой поперечное сечение конуса на плоскости ; ее можно выбрать для пересечения с поверхностью текучести Мора–Кулона в различном количестве вершин. Один из вариантов — пересечение поверхности текучести Мора–Кулона в трех вершинах по обе стороны от линии, но обычно по соглашению выбираются вершины в режиме сжатия. ^[27] Другой вариант — пересечение поверхности текучести Мора–Кулона в четырех вершинах на обеих осях (одноосная подгонка) или в двух вершинах на диагонали (двухосная подгонка). ^[28] Критерий текучести Друкера–Прагера также обычно выражается в терминах сцепления материала и угла трения . ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$ ${\displaystyle \sigma _{1}=-\sigma _{2}}$ ${\displaystyle \sigma _{1}=\sigma _{2}}$

Рисунок 7: Вид поверхности текучести Друкера–Прагера в трехмерном пространстве главных напряжений

Рисунок 8: Вид поверхности текучести Друкера–Прагера в двумерном пространстве главных напряжений

Поверхность текучести Бреслера–Пистера

Критерий текучести Бреслера–Пистера является расширением критерия текучести Друкера–Прагера , который использует три параметра и имеет дополнительные условия для материалов, которые текут при гидростатическом сжатии. В терминах главных напряжений этот критерий текучести может быть выражен как

${\displaystyle S_{yc}={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left[(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}\right]^{1/2}-c_{0}-c_{1}~(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})-c_{2}~(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})^{2}}$

где — константы материала. Дополнительный параметр придает поверхности текучести эллипсоидальное поперечное сечение, если смотреть с направления, перпендикулярного ее оси. Если — предел текучести при одноосном сжатии, — предел текучести при одноосном растяжении, — предел текучести при двуосном сжатии, то параметры можно выразить как ${\displaystyle c_{0},c_{1},c_{2}}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle \sigma _{c}}$ ${\displaystyle \sigma _{t}}$ ${\displaystyle \sigma _{b}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{1}=&\left({\cfrac {\sigma _{t}-\sigma _{c}}{(\sigma _{t}+\sigma _{c})}}\right)\left({\cfrac {4\sigma _{b}^{2}-\sigma _{b}(\sigma _{c}+\sigma _{t})+\sigma _{c}\sigma _{t}}{4\sigma _{b}^{2}+2\sigma _{b}(\sigma _{t}-\sigma _{c})-\sigma _{c}\sigma _{t}}}\right)\\c_{2}=&\left({\cfrac {1}{(\sigma _{t}+\sigma _{c})}}\right)\left({\cfrac {\sigma _{b}(3\sigma _{t}-\sigma _{c})-2\sigma _{c}\sigma _{t}}{4\sigma _{b}^{2}+2\sigma _{b}(\sigma _{t}-\sigma _{c})-\sigma _{c}\sigma _{t}}}\right)\\c_{0}=&c_{1}\sigma _{c}-c_{2}\sigma _{c}^{2}\end{aligned}}}$

Рисунок 9: Вид поверхности текучести Бреслера–Пистера в трехмерном пространстве главных напряжений

Рисунок 10: Поверхность текучести Бреслера–Пистера в двумерном пространстве ( ) ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$

Поверхность текучести Виллема–Варнке

Критерий доходности Виллама –Варнке представляет собой трехпараметрическую сглаженную версию критерия доходности Мора–Кулона , имеющую сходство по форме с критериями доходности Друкера–Прагера и Бреслера–Пистера .

Критерий текучести имеет функциональную форму

${\displaystyle f(I_{1},J_{2},J_{3})=0~.}$

Однако чаще всего это выражается в координатах Хейга–Вестергаарда как

${\displaystyle f(\xi ,\rho ,\theta )=0~.}$

Поперечное сечение поверхности, если смотреть вдоль ее оси, представляет собой сглаженный треугольник (в отличие от Мора–Кулона). Поверхность текучести Виллама–Варнке является выпуклой и имеет уникальные и хорошо определенные первые и вторые производные в каждой точке ее поверхности. Таким образом, модель Виллама–Варнке является вычислительно надежной и использовалась для различных когезионно-фрикционных материалов.

Рисунок 11: Вид поверхности текучести Виллама–Варнке в трехмерном пространстве главных напряжений

Рисунок 12: Поверхность текучести Виллама–Варнке в -плоскости ${\displaystyle \pi }$

Тригонометрические поверхности текучести Подгурского и Розендаля

Нормализованный по отношению к одноосному растягивающему напряжению критерий Подгурского ^[29] как функция угла напряжения имеет вид ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {eq} }=\sigma _{+}}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {eq} }={\sqrt {3\,I_{2}'}}\,{\frac {\Omega _{3}(\theta ,\beta _{3},\chi _{3})}{\Omega _{3}(0,\beta _{3},\chi _{3})}},}$

с функцией формы тригональной симметрии в -плоскости ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle \Omega _{3}(\theta ,\beta _{3},\chi _{3})=\cos \left[\displaystyle {\frac {1}{3}}\left(\pi \beta _{3}-\arccos[\,\sin(\chi _{3}\,{\frac {\pi }{2}})\,\!\cos 3\,\theta \,]\right)\right],\qquad \beta _{3}\in [0,\,1],\quad \chi _{3}\in [-1,\,1].}$

Он содержит критерии фон Мизеса (круг в плоскости , , ), Трески (правильный шестиугольник, , ), Мариотта (правильный треугольник, , ), Ивлева ^[30] (правильный треугольник, , ), а также кубический критерий Сайира ^[31] (критерий Оттосена ^[32] ) с и изотоксальные (равносторонние) шестиугольники критерия Капурсо ^{[30] [31] [33]} с . Переход фон Мизеса - Трески ^[34] следует с , . Изогональные (равноугольные) шестиугольники критерия Хейторнтвейта ^{[23] [35] [36],} содержащие критерий Шмидта-Ишлинского (правильный шестиугольник), не могут быть описаны с помощью критерия Подгурского. ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \beta _{3}=[0,\,1]}$ ${\displaystyle \chi _{3}=0}$ ${\displaystyle \beta _{3}=1/2}$ ${\displaystyle \chi _{3}=\{1,-1\}}$ ${\displaystyle \beta _{3}=\{0,1\}}$ ${\displaystyle \chi _{3}=\{1,-1\}}$ ${\displaystyle \beta _{3}=\{1,0\}}$ ${\displaystyle \chi _{3}=\{1,-1\}}$ ${\displaystyle \beta _{3}=\{0,1\}}$ ${\displaystyle \chi _{3}=\{1,-1\}}$ ${\displaystyle \beta _{3}=1/2}$ ${\displaystyle \chi _{3}=[0,1]}$

Критерий Розендаля ^{[37] [38] [39]} гласит:

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {eq} }={\sqrt {3\,I_{2}'}}\,{\frac {\Omega _{6}(\theta ,\beta _{6},\chi _{6})}{\Omega _{6}(0,\beta _{6},\chi _{6})}},}$

с функцией формы гексагональной симметрии в -плоскости ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle \Omega _{6}(\theta ,\beta _{6},\chi _{6})=\cos \left[\displaystyle {\frac {1}{6}}\left(\pi \beta _{6}-\arccos[\,\sin(\chi _{6}\,{\frac {\pi }{2}})\,\!\cos 6\,\theta \,]\right)\right],\qquad \beta _{6}\in [0,\,1],\quad \chi _{6}\in [-1,\,1].}$

Он содержит критерии Мизеса (круг, , ), Трески (правильный шестиугольник, , ), Шмидта—Ишлинского (правильный шестиугольник, , ), Соколовского (правильный двенадцатиугольник, , ), а также бикубический критерий ^{[23] [37] [40] [41]} с или в равной степени с и изотоксальные додекагоны единого критерия текучести Ю ^[42] с . Изогональные додекагоны мультипликативного анзатца критерия гексагональной симметрии ^[23] , содержащего критерий Ишлинского-Ивлева (правильный двенадцатиугольник), не могут быть описаны критерием Розендаля. ${\displaystyle \beta _{6}=[0,\,1]}$ ${\displaystyle \chi _{6}=0}$ ${\displaystyle \beta _{6}=\{1,0\}}$ ${\displaystyle \chi _{6}=\{1,-1\}}$ ${\displaystyle \beta _{6}=\{0,1\}}$ ${\displaystyle \chi _{6}=\{1,-1\}}$ ${\displaystyle \beta _{6}=1/2}$ ${\displaystyle \chi _{6}=\{1,-1\}}$ ${\displaystyle \beta _{6}=0}$ ${\displaystyle \beta _{6}=1}$ ${\displaystyle \chi _{6}=\{1,-1\}}$

Критерии Подгурского и Розендаля описывают отдельные поверхности в главном напряженном пространстве без дополнительных внешних контуров и пересечений плоскостей. Обратите внимание, что для того, чтобы избежать численных проблем, можно ввести функцию действительной части в функцию формы: и . Обобщение в форме ^[37] актуально для теоретических исследований. ${\displaystyle Re}$ ${\displaystyle Re(\Omega _{3})}$ ${\displaystyle Re(\Omega _{6})}$ ${\displaystyle \Omega _{3n}}$

Расширение критериев, чувствительное к давлению, может быть получено с помощью линейной подстановки ^[23] ${\displaystyle I_{1}}$

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {eq} }\rightarrow {\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{1}\,I_{1}}{1-\gamma _{1}}}\qquad {\mbox{with}}\qquad \gamma _{1}\in [0,\,1[,}$

что достаточно для многих применений, например, металлов, чугуна, сплавов, бетона, неармированных полимеров и т. д.

Основные сечения, описываемые окружностью и правильными многоугольниками тригональной или гексагональной симметрии в -плоскости. ${\displaystyle \pi }$

Поверхность текучести Бигони–Пикколроаза

Критерий текучести Бигони –Пикколроаза ^{[43] [44]} представляет собой семипараметрическую поверхность, определяемую формулой

${\displaystyle f(p,q,\theta )=F(p)+{\frac {q}{g(\theta )}}=0,}$

где находится функция "меридиана" ${\displaystyle F(p)}$

${\displaystyle F(p)=\left\{{\begin{array}{ll}-Mp_{c}{\sqrt {(\phi -\phi ^{m})[2(1-\alpha )\phi +\alpha ]}},&\phi \in [0,1],\\+\infty ,&\phi \notin [0,1],\end{array}}\right.}$

${\displaystyle \phi ={\frac {p+c}{p_{c}+c}},}$

описывающая чувствительность к давлению и являющаяся «девиаторной» функцией ^[45] ${\displaystyle g(\theta )}$

${\displaystyle g(\theta )={\frac {1}{\cos[\beta {\frac {\pi }{6}}-{\frac {1}{3}}\cos ^{-1}(\gamma \cos 3\theta )]}},}$

описывающие зависимость текучести от Лоде. Семь неотрицательных материальных параметров:

${\displaystyle \underbrace {M>0,~p_{c}>0,~c\geq 0,~0<\alpha <2,~m>1} _{{\mbox{defining}}~\displaystyle {F(p)}},~~~\underbrace {0\leq \beta \leq 2,~0\leq \gamma <1} _{{\mbox{defining}}~\displaystyle {g(\theta )}},}$

определяют форму меридионального и девиаторного сечений.

Этот критерий представляет собой гладкую и выпуклую поверхность, которая замкнута как при гидростатическом растяжении, так и при сжатии и имеет каплевидную форму, особенно подходящую для описания фрикционных и зернистых материалов. Этот критерий также был обобщен на случай поверхностей с углами. ^[46]

Поверхность текучести Бигони-Пикколроаза

Косинусный анзац (Альтенбах-Болчоун-Колупаев)

Для формулировки критерия прочности угол напряжения

${\displaystyle \cos 3\theta ={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}{\frac {I_{3}'}{I_{2}'^{\frac {3}{2}}}}}$

можно использовать.

Следующий критерий изотропного поведения материала

${\displaystyle (3I_{2}')^{3}{\frac {1+c_{3}\cos 3\theta +c_{6}\cos ^{2}3\theta }{1+c_{3}+c_{6}}}=\displaystyle \left({\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{1}\,I_{1}}{1-\gamma _{1}}}\right)^{6-l-m}\,\left({\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{2}\,I_{1}}{1-\gamma _{2}}}\right)^{l}\,\sigma _{\mathrm {eq} }^{m}}$

содержит ряд других известных менее общих критериев, при условии выбора подходящих значений параметров.

Параметры и описывают геометрию поверхности в плоскости . Они подчиняются ограничениям ${\displaystyle c_{3}}$ ${\displaystyle c_{6}}$ ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle c_{6}={\frac {1}{4}}(2+c_{3}),\qquad c_{6}={\frac {1}{4}}(2-c_{3}),\qquad c_{6}\geq {\frac {5}{12}}\,c_{3}^{2}-{\frac {1}{3}},}$

которые следуют из условия выпуклости. Более точная формулировка третьих ограничений предложена в ^{[47] [48]}

Параметры и описывают положение точек пересечения поверхности текучести с гидростатической осью (диагональю пространства в пространстве главных напряжений). Эти точки пересечения называются гидростатическими узлами. В случае материалов, которые не разрушаются при гидростатическом давлении (сталь, латунь и т. д.), получается . В противном случае для материалов, которые разрушаются при гидростатическом давлении (жесткие пены, керамика, спеченные материалы и т. д.), следует . ${\displaystyle \gamma _{1}\in [0,\,1[}$ ${\displaystyle \gamma _{2}}$ ${\displaystyle \gamma _{2}\in [0,\,\gamma _{1}[}$ ${\displaystyle \gamma _{2}<0}$

Целые степени и , описывают кривизну меридиана. Меридиан при является прямой линией, а при – параболой. ${\displaystyle l\geq 0}$ ${\displaystyle m\geq 0}$ ${\displaystyle l+m<6}$ ${\displaystyle l=m=0}$ ${\displaystyle l=0}$

Поверхность текучести Барлата

Для анизотропных материалов в зависимости от направления применяемого процесса (например, прокатки) механические свойства изменяются, и поэтому использование анизотропной функции текучести имеет решающее значение. С 1989 года Фредерик Барлат разработал семейство функций текучести для конститутивного моделирования пластической анизотропии. Среди них критерии текучести Yld2000-2D были применены для широкого спектра листовых металлов (например, алюминиевых сплавов и современных высокопрочных сталей). Модель Yld2000-2D представляет собой функцию текучести неквадратичного типа, основанную на двух линейных преобразованиях тензора напряжений:

${\displaystyle \Phi =\Phi '(X')+\Phi ''(X'')=2{{\bar {\sigma }}^{a}}}$ :

Локусы урожайности Yld2000-2D для листа AA6022 T4.

где — эффективное напряжение, а и — преобразованные матрицы (посредством линейного преобразования C или L): ${\displaystyle {\bar {\sigma }}}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle X''}$

${\displaystyle {\begin{array}{l}X'=C'.s=L'.\sigma \\X''=C''.s=L''.\sigma \end{array}}}$

где s — девиаторный тензор напряжений.

для главных значений X' и X”, модель может быть выражена как:

${\displaystyle {\begin{array}{l}\Phi '={\left|{{{X'}_{1}}+{{X'}_{2}}}\right|^{a}}\\\Phi ''={\left|{2{{X''}_{2}}+{{X''}_{1}}}\right|^{a}}+{\left|{2{{X''}_{1}}+{{X''}_{2}}}\right|^{a}}\end{array}}\ }$

и:

${\displaystyle \left[{\begin{array}{*{20}{c}}{{L'}_{11}}\\{{L'}_{12}}\\{{L'}_{21}}\\{{L'}_{22}}\\{{L'}_{66}}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{*{20}{c}}{2/3}&0&0\\{-1/3}&0&0\\0&{-1/3}&0\\0&{-2/3}&0\\0&0&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{*{20}{c}}{\alpha _{1}}\\{\alpha _{2}}\\{\alpha _{7}}\end{array}}\right],\left[{\begin{array}{*{20}{c}}{{L''}_{11}}\\{{L''}_{12}}\\{{L''}_{21}}\\{{L''}_{22}}\\{{L''}_{66}}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{*{20}{c}}{-2}&2&8&{-2}&0\\1&{-4}&{-4}&4&0\\4&{-4}&{-4}&4&0\\{-2}&8&2&{-2}&0\\0&0&0&0&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{*{20}{c}}{\alpha _{3}}\\{\alpha _{4}}\\{\alpha _{5}}\\{\alpha _{6}}\\{\alpha _{8}}\end{array}}\right]}$

где — восемь параметров модели Барлата Yld2000-2D, которые необходимо определить с помощью серии экспериментов. ${\displaystyle \alpha _{1}...\alpha _{8}}$

Смотрите также

• Выход (инжиниринг)
• Пластичность (физика)
• Стресс
• Анри Треска
• стресс фон Мизеса
• Теория Мора-Кулона
• Критерий урожайности холма
• Критерий текучести Хосфорда
• Напряжение
• Тензор деформации
• Тензор энергии-напряжения
• Концентрация напряжения
• 3-D эластичность
• Фредерик Барлат

Ссылки

1. Симо, Дж. К. и Хьюз, Т. Дж. Р. (1998), Вычислительная неэластичность, Springer.
2. Ю, М.-Х. (2004), Единая теория прочности и ее приложения . Springer, Берлин
3. Zienkiewicz OC, Pande, GN (1977), Некоторые полезные формы изотропных поверхностей текучести для механики грунтов и горных пород. В: Gudehus, G. (ред.) Finite Elements in Geomechanics . Wiley, New York, стр. 179–198
4. Лоде, В. (1925). Versuche über den Einfluß der Mittleren Hauptspannug auf die Fließgrenze. ЗАММ 5(2), стр. 142–144.
5. Лоде, В. (1926). Versuche über den Einfuss der mittleren Hauptspannung auf das Fliessen der Metalle Eisen Kupfer und Nickel . Цайтунг Физ. , том. 36, стр. 913–939.
6. Лоде, В. (1928). Der Einfluß der mittleren Hauptspannung auf das Fließen der Metalle . Диссертация, Университет Геттингена. Forschungsarbeiten auf dem Gebiete des Ingenieurwesens, Heft 303, VDI, Берлин
7. Новожилов, В.В. (1951). О принципах статического анализа результатов экспериментов для изотропных материалов (О принципах обработки результатов статических испытаний изотропных материалов). Прикладная математика и механика , XV(6):709–722.
8. Наяк, GC и Зенкевич, OC (1972). Удобные формы инвариантов напряжения для пластичности . Труды журнала ASCE Journal of the Structural Division, т. 98, № ST4, стр. 949–954.
9. Чакрабарти, Дж., 2006, Теория пластичности: Третье издание , Elsevier, Амстердам.
10. Брэннон, Р.М., 2009, KAYENTA: Теория и руководство пользователя , Национальные лаборатории Сандия, Альбукерке, Нью-Мексико.
11. Треска, Х. (1864). Mémoire sur l'écoulement des Corps Solides Soumis à de Fortes Presses. ЧР акад. наук. Париж, том. 59, с. 754.
12. Гость
13. Буржинский, В. (1929). Über die Anstrengungshypothesen . Schweizerische Bauzeitung, 94 (21), стр. 259–262.
14. Ягнь, Ю. И. (1931). Новые методы прогноза прочности . Вестник инженеров и техники, 6, стр. 237–244.
15. Альтенбах, Х., Колупаев, ВА (2014) Классические и неклассические критерии разрушения, в Альтенбах, Х., Садовски, Т., ред., Анализ разрушения и повреждения современных материалов , в печати, Springer, Гейдельберг (2014), стр. 1–66
16. Беляев, Н. М. (1979). Сопротивление материалов . Мир, Москва.
17. Больчоун А., Колупаев В.А., Альтенбах Х. (2011) Выпуклые и невыпуклые поверхности текучести (на немецком языке: Konvexe und nichtkonvexe Fließflächen), Forschung im Ingenieurwesen , 75 (2), стр. 73–92.
18. Хубер, MT (1904). Удельная нагрузка как мера материальных усилий (на польском языке: Właściwa praca odkształcenia jako miara wytęzenia materyału), Czasopismo Techniczne , Lwów, Organ Towarzystwa Poliznego we Lwowie, т. 22. С. 34–40, 49–50, 61–62. , 80-81
19. Фёппль, А., Фёппль, Л. (1920). Drang und Zwang: eine höhere Festigkeitslehre für Ingenieure . Р. Ольденбург, Мюнхен
20. Буржинский, В. (1929). Über die Anstrengungshypothesen. Schweizerische Bauzeitung 94 (21): 259–262.
21. Кун, П. (1980). Grundzüge einer allgemeinen Festigkeitshypothese , Auszug aus Antrittsvorlesung des Verfassers vom 11 июля 1980 г. Vom Konstrukteur und den Festigkeitshypothesen. Инст. для машиностроения, Карлсруэ
22. Колупаев В.А., Монеке М., Беккер Ф. (2004). Появление напряжений при ползучести. Расчет пластиковых деталей (на немецком языке: Spannungsausprägung beim Kriechen: Berechnung von Kunststoffbauteilen). Кунстштоффе 94 (11): 79–82.
23. Колупаев, ВА (2018). Концепция эквивалентного напряжения для анализа предельных состояний , Springer, Cham.
24. Колупаев, В.А., (2006). Трехмерное поведение ползучести деталей из неармированных термопластов (на немецком языке: Dreisizedes Kriechverhalten von Bauteilen aus unverstärkten Thermoplasten) , Дисс., Университет Мартина-Лютера Галле-Виттенберг, Галле-Заале
25. Memhard, D,., Andrieux, F., Sun, D.-Z., Häcker, R. (2011) Разработка и проверка модели материала для прогнозирования безопасности сдерживания выхлопных турбокомпрессоров, 8-я Европейская конференция пользователей LS-DYNA , Страсбург, май 2011 г., 11 стр.
26. Ди Маджио, Ф. Л., Сандлер, И. С. (1971) Модель материала для зернистых грунтов, Журнал отделения инженерной механики , 97(3), 935-950
27. Хан и Хуан. (1995), Континуальная теория пластичности. J.Wiley.
28. Нето, Перич, Оуэн. (2008), Математическая теория пластичности. J.Wiley.
29. Подгурский, Дж. (1984). Условие предельного состояния и функция диссипации для изотропных материалов, Архивы механики 36(3), стр. 323-342.
30. Ивлев, ДД (1959). Теория разрушения твердых тел (на русск. яз.: К теории разрушения твердых тел), Журнал прикладной математики и механики , 23(3), с. 884-895.
31. Сайир, М. (1970). Zur Fließbedingung der Plastizitätstheorie, Ingenieur-Archiv 39(6), стр. 414–432.
32. Оттосен, Н. С. (1975). Разрушение и эластичность бетона, Датская комиссия по атомной энергии , Научно-исследовательский институт Рисё, Инженерный отдел, Отчет Рисё-М-1801, Роскилле.
33. Капурсо, М. (1967). Условия текучести для несжимаемых изотропных и ортотропных материалов с различным пределом текучести при растяжении и сжатии, Meccanica 2(2), стр. 118--125.
34. Лемэтр Ж., Шабош Ж. Л. (1990). Механика твердых материалов , Cambridge University Press, Кембридж.
35. Кэндленд КТ (1975). Значения макроскопических критериев разрушения, которые не зависят от гидростатического напряжения, Int. J. Fracture 11(3), стр. 540–543.
36. Haythornthwaite RM (1961). Диапазон условий текучести при идеальной пластичности, Proc ASCE J Eng Mech Div , EM6, 87, стр. 117–133.
37. Rosendahl, PL, Kolupaev, V A., Altenbach, H. (2019). Экстремальные показатели текучести для универсальных критериев прочности, в Altenbach, H., Öchsner, A., ред., Современное состояние и будущие тенденции в моделировании материалов , Advanced Structured Materials STRUCTMAT, Springer, Cham, стр. 259-324.
38. Розендаль, ПЛ (2020). От объемного к структурному разрушению: Разрушение гиперупругих материалов , Дисс., Технический университет Дармштадта.
39. Альтенбах, Х., Колупаев, ВА (2024). Обзор критериев текучести в теории пластичности, в Altenbach, H., Hohe, J., Mittelsted, Ch., ред., Progress in Structural Mechanics , Springer, Cham, стр. 19-106.
40. Швед, А. (2000). Гипотезы прочности и определяющие соотношения материалов, включая эффекты деградации, (на польском языке: Hipotezy Wytężeniowe i Relacje Konstytutywne Materiałów z Uwzględnieniem Efektów Degradacji ), Praca Doctorska, Wydział Inąynierii Lądowej Politechniki Warszawskiej, Варшава.
41. Лагздын, А. (1997). Гладкие выпуклые предельные поверхности в пространстве симметричных тензоров второго ранга, Механика композитных материалов , 3(2), 119-127.
42. Ю М.-Х. (2002). Достижения в теории прочности материалов при сложном напряженном состоянии в 20 веке, Applied Mechanics Reviews , 55(5), стр. 169-218.
43. Бигони, Д. Нелинейная механика твердого тела: теория бифуркаций и неустойчивость материалов. Cambridge University Press, 2012. ISBN  9781107025417 .
44. Бигони, Д. и Пикколроаз, А., (2004), Критерии текучести для квазихрупких и фрикционных материалов, Международный журнал твердых тел и структур 41 , 2855–2878.
45. Подгурский, Дж. (1984). Условие предельного состояния и функция диссипации для изотропных материалов. Архивы механики , 36 (3), стр. 323–342.
46. Пикколроаз, А. и Бигони, Д. (2009), Критерии текучести для квазихрупких и фрикционных материалов: обобщение для поверхностей с углами, Международный журнал твердых тел и структур 46 , 3587–3596.
47. Альтенбах, Х., Болчоун, А., Колупаев, ВА (2013). Феноменологические критерии текучести и разрушения, в Альтенбах, Х., Охснер, А., ред., Пластичность материалов, чувствительных к давлению , Серия ASM, Springer, Гейдельберг, стр. 49–152.
48. Колупаев, В. А. (2018). Концепция эквивалентных напряжений для анализа предельных состояний, Springer, Cham.