Симметричная тензорная величина деформации, вызванной напряжением в веществе
В механике деформация определяется как относительная деформация по сравнению с конфигурацией исходного положения . Для выражения поля деформаций можно сделать различный эквивалентный выбор в зависимости от того, определяется ли оно относительно начальной или конечной конфигурации тела и от того, рассматривается ли метрический тензор или его двойник.
Деформация, вообще говоря, является тензорной величиной. Физическое понимание деформаций можно получить, наблюдая, что данную деформацию можно разложить на нормальную и сдвиговую компоненты. Величина растяжения или сжатия вдоль линейных элементов или волокон материала представляет собой нормальную деформацию , а величина искажения, связанная со скольжением плоских слоев друг по другу, представляет собой деформацию сдвига внутри деформирующегося тела. [2] Это может быть применено путем удлинения, укорочения, изменения объема или углового искажения. [3]
Деформированное состояние в материальной точке сплошного тела определяется как совокупность всех изменений длины материальных линий или волокон, нормальная деформация , проходящая через эту точку, а также совокупность всех изменений угла между пары линий, первоначально перпендикулярных друг другу, — деформация сдвига , исходящая из этой точки. Однако достаточно знать нормальную и сдвиговую составляющие деформации на множестве трех взаимно перпендикулярных направлений.
Если длина материальной линии увеличивается, нормальная деформация называется деформацией растяжения ; в противном случае, если длина материальной линии уменьшается или сжимается, это называется деформацией сжатия .
Деформационные режимы
В зависимости от величины деформации или локальной деформации анализ деформации подразделяется на три теории деформации:
Теория конечных деформаций , также называемая теорией больших деформаций , теорией больших деформаций , имеет дело с деформациями, в которых как вращение, так и деформации сколь угодно велики. При этом недеформированная и деформированная конфигурации континуума существенно различаются и между ними необходимо проводить четкое различие. Обычно это происходит с эластомерами , пластически деформирующими материалами и другими жидкостями и биологическими мягкими тканями .
Теория бесконечно малых деформаций , также называемая теорией малых деформаций , теорией малых деформаций, теорией малых смещений или теорией малых градиентов смещений, где деформации и вращения малы. В этом случае недеформированную и деформированную конфигурации тела можно считать одинаковыми. Теория бесконечно малых деформаций используется при анализе деформаций материалов, проявляющих упругое поведение, таких как материалы, используемые в машиностроении и гражданском строительстве, например, бетон и сталь.
Теория большого смещения или большого вращения , которая предполагает небольшие деформации, но большие вращения и смещения.
Меры по деформации
В каждой из этих теорий деформация определяется по-разному. Инженерная деформация — наиболее распространенное определение, применяемое к материалам, используемым в машиностроении и строительстве, которые подвергаются очень небольшим деформациям. С другой стороны, для некоторых материалов, например эластомеров и полимеров, подвергающихся большим деформациям, инженерное определение деформации неприменимо, например, типичная инженерная деформация превышает 1%; [4] поэтому требуются другие, более сложные определения деформации, такие как растяжение , логарифмическая деформация , деформация Грина и деформация Альманси .
Инженерное напряжение
Инженерная деформация , также известная как деформация Коши , выражается как отношение общей деформации к начальному размеру материального тела, к которому приложены силы. В случае элемента материальной линии или волокна, нагруженного в осевом направлении, его удлинение вызывает инженерную нормальную деформацию или инженерную деформацию растяжения e , которая равна относительному удлинению или изменению длины Δ L на единицу исходной длины L линии. элемент или волокна (в метрах на метр). Нормальная деформация положительна, если волокна материала растянуты, и отрицательна, если они сжаты. Таким образом, мы имеем
eинженерная нормальная деформацияLl
Истинная деформация сдвига определяется как изменение угла (в радианах) между двумя элементами линии материала, первоначально перпендикулярными друг другу в недеформированной или исходной конфигурации. Инженерная деформация сдвига определяется как тангенс этого угла и равна максимальной длине деформации, деленной на длину перпендикуляра в плоскости приложения силы, что иногда облегчает расчет.
Коэффициент растяжения
Коэффициент растяжения или коэффициент растяжения (символ λ) является альтернативной мерой, связанной с растяжением или нормальной деформацией элемента дифференциальной линии с осевой нагрузкой. Она определяется как отношение конечной длины l к начальной длине L материальной линии.
Коэффициент растяжения λ связан с инженерной деформацией e соотношением
Коэффициент растяжения используется при анализе материалов, которые демонстрируют большие деформации, таких как эластомеры , которые могут выдерживать коэффициент растяжения 3 или 4, прежде чем они выйдут из строя. С другой стороны, традиционные конструкционные материалы, такие как бетон или сталь, выходят из строя при гораздо более низких коэффициентах растяжения.
Логарифмическая деформация
Логарифмическая деформация ε , также называемая истинной деформацией или деформацией Хенки . [5] Учитывая возрастающую деформацию (Людвик)
e[2]
Зеленый штамм
Штамм Грина определяется как:
Штамм Альманси
Штамм Эйлера-Альманси определяется как
Тензор деформации
Тензор (бесконечно-малой) деформации (символ ) определен в Международной системе величин (ISQ), более конкретно в ISO 80000-4 (Механика), как «тензорная величина, представляющая деформацию материи, вызванную напряжением. Тензор деформации симметричен. и имеет три компонента линейной деформации и три компонента сдвиговой деформации (декартовы). [6]
ISO 80000-4 далее определяет линейную деформацию как «коэффициент изменения длины объекта и его длины», а деформацию сдвига как «коэффициент параллельного смещения двух поверхностей слоя и толщины слоя». [6]
Таким образом, деформации классифицируются как нормальные или сдвиговые . Нормальная деформация перпендикулярна грани элемента, а сдвиговая деформация параллельна ей. Эти определения согласуются с определениями нормального напряжения и напряжения сдвига .
Тогда тензор деформации можно выразить через нормальные и сдвиговые компоненты следующим образом:
Геометрическая настройка
Рассмотрим двумерный бесконечно малый прямоугольный материальный элемент с размерами dx × dy , который после деформации принимает форму ромба . Деформация описывается полем перемещений u . Из геометрии соседней фигуры имеем
Нормальная деформация в направлении x прямоугольного элемента определяется выражением
yz
Сдвиговая деформация
Инженерная деформация сдвига ( γ xy ) определяется как изменение угла между линиями AC и AB . Поэтому,
Из геометрии фигуры имеем
αβtan α ≈ αtan β ≈ β
xyu xu yγ xy = γ yx
Аналогично для плоскостей yz и xz имеем
Объемная нагрузка
Объемная деформация, также называемая объемной деформацией, представляет собой относительное изменение объема, возникающее в результате расширения или сжатия ; это первый инвариант деформации или след тензора:
В действительности, если мы рассмотрим куб с длиной ребра a , то после деформации (изменение углов не изменяет объем) это будет квазикуб с размерами и V 0 = a 3 , таким образом
поскольку мы рассматриваем малые деформации,
поэтому формула.
В случае чистого сдвига мы видим, что изменения объема нет.
^ Люблинер, Джейкоб (2008). Теория пластичности (PDF) (пересмотренная ред.). Дуврские публикации. ISBN 978-0-486-46290-5. Архивировано из оригинала (PDF) 31 марта 2010 г.
^ Аб Рис, Дэвид (2006). Базовая инженерная пластичность: введение в инженерные и производственные приложения. Баттерворт-Хайнеманн. ISBN0-7506-8025-3. Архивировано из оригинала 22 декабря 2017 г.
^ Рис, Дэвид (2006). Базовая инженерная пластичность: введение в инженерные и производственные приложения. Баттерворт-Хайнеманн. п. 41. ИСБН0-7506-8025-3. Архивировано из оригинала 22 декабря 2017 г.
^ Хенки, Х. (1928). «Über die Form des Elastizitätsgesetzes bei Ideal Elastischen Stoffen». Zeitschrift für technische Physik . 9 : 215–220.
^ ab «ISO 80000-4:2019». ИСО . 20 августа 2013 г. Проверено 28 августа 2023 г.