Модель гиперупругого материала
В механике сплошной среды тело Муни–Ривлина [1] [2] представляет собой гиперупругую материальную модель, в которой функция плотности энергии деформации является линейной комбинацией двух инвариантов левого тензора деформации Коши–Грина . Модель была предложена Мелвином Муни в 1940 году и выражена в терминах инвариантов Рональдом Ривлином в 1948 году. Вт {\displaystyle W\,} Б {\displaystyle {\boldsymbol {B}}}
Функция плотности энергии деформации для несжимаемого материала Муни–Ривлина равна [3] [4]
Вт = С 1 ( я ¯ 1 − 3 ) + С 2 ( я ¯ 2 − 3 ) , {\displaystyle W=C_{1}({\bar {I}}_{1}-3)+C_{2}({\bar {I}}_{2}-3),\,} где и — эмпирически определенные материальные константы, а и — первый и второй инварианты ( унимодулярной компоненты [5] ) : C 1 {\displaystyle C_{1}} C 2 {\displaystyle C_{2}} I ¯ 1 {\displaystyle {\bar {I}}_{1}} I ¯ 2 {\displaystyle {\bar {I}}_{2}} B ¯ = ( det B ) − 1 / 3 B {\displaystyle {\bar {\boldsymbol {B}}}=(\det {\boldsymbol {B}})^{-1/3}{\boldsymbol {B}}} B {\displaystyle {\boldsymbol {B}}}
I ¯ 1 = J − 2 / 3 I 1 , I 1 = λ 1 2 + λ 2 2 + λ 3 2 , I ¯ 2 = J − 4 / 3 I 2 , I 2 = λ 1 2 λ 2 2 + λ 2 2 λ 3 2 + λ 3 2 λ 1 2 {\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {I}}_{1}&=J^{-2/3}~I_{1},\quad I_{1}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2},\\{\bar {I}}_{2}&=J^{-4/3}~I_{2},\quad I_{2}=\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}+\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}+\lambda _{3}^{2}\lambda _{1}^{2}\end{aligned}}} где — градиент деформации и . Для несжимаемого материала . F {\displaystyle {\boldsymbol {F}}} J = det ( F ) = λ 1 λ 2 λ 3 {\displaystyle J=\det({\boldsymbol {F}})=\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}} J = 1 {\displaystyle J=1}
Вывод Модель Муни–Ривлина является частным случаем обобщенной модели Ривлина (также называемой полиномиальной гиперупругой моделью [6] ), которая имеет вид
W = ∑ p , q = 0 N C p q ( I ¯ 1 − 3 ) p ( I ¯ 2 − 3 ) q + ∑ m = 1 M 1 D m ( J − 1 ) 2 m {\displaystyle W=\sum _{p,q=0}^{N}C_{pq}({\bar {I}}_{1}-3)^{p}~({\bar {I}}_{2}-3)^{q}+\sum _{m=1}^{M}{\frac {1}{D_{m}}}~(J-1)^{2m}} с где — материальные константы, связанные с искажающим откликом, а — материальные константы, связанные с объемным откликом. Для сжимаемого материала Муни–Ривлина и мы имеем C 00 = 0 {\displaystyle C_{00}=0} C p q {\displaystyle C_{pq}} D m {\displaystyle D_{m}} N = 1 , C 01 = C 2 , C 11 = 0 , C 10 = C 1 , M = 1 {\displaystyle N=1,C_{01}=C_{2},C_{11}=0,C_{10}=C_{1},M=1}
W = C 01 ( I ¯ 2 − 3 ) + C 10 ( I ¯ 1 − 3 ) + 1 D 1 ( J − 1 ) 2 {\displaystyle W=C_{01}~({\bar {I}}_{2}-3)+C_{10}~({\bar {I}}_{1}-3)+{\frac {1}{D_{1}}}~(J-1)^{2}} Если мы получим нео-гуковское тело , частный случай тела Муни–Ривлина . C 01 = 0 {\displaystyle C_{01}=0}
Для согласованности с линейной упругостью в пределе малых деформаций необходимо, чтобы
κ = 2 / D 1 ; μ = 2 ( C 01 + C 10 ) {\displaystyle \kappa =2/D_{1}~;~~\mu =2~(C_{01}+C_{10})} где — модуль объемной упругости , — модуль сдвига . κ {\displaystyle \kappa } μ {\displaystyle \mu }
Напряжение Коши в терминах инвариантов деформации и тензоров деформации Напряжение Коши в сжимаемом гиперупругом материале с базовой конфигурацией без напряжений определяется выражением
σ = 2 J [ 1 J 2 / 3 ( ∂ W ∂ I ¯ 1 + I ¯ 1 ∂ W ∂ I ¯ 2 ) B − 1 J 4 / 3 ∂ W ∂ I ¯ 2 B ⋅ B ] + [ ∂ W ∂ J − 2 3 J ( I ¯ 1 ∂ W ∂ I ¯ 1 + 2 I ¯ 2 ∂ W ∂ I ¯ 2 ) ] I {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\cfrac {2}{J}}\left[{\cfrac {1}{J^{2/3}}}\left({\cfrac {\partial {W}}{\partial {\bar {I}}_{1}}}+{\bar {I}}_{1}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial {\bar {I}}_{2}}}\right){\boldsymbol {B}}-{\cfrac {1}{J^{4/3}}}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial {\bar {I}}_{2}}}~{\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {B}}\right]+\left[{\cfrac {\partial {W}}{\partial J}}-{\cfrac {2}{3J}}\left({\bar {I}}_{1}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial {\bar {I}}_{1}}}+2~{\bar {I}}_{2}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial {\bar {I}}_{2}}}\right)\right]~{\boldsymbol {I}}} Для сжимаемого материала Муни-Ривлина,
∂ W ∂ I ¯ 1 = C 1 ; ∂ W ∂ I ¯ 2 = C 2 ; ∂ W ∂ J = 2 D 1 ( J − 1 ) {\displaystyle {\cfrac {\partial {W}}{\partial {\bar {I}}_{1}}}=C_{1}~;~~{\cfrac {\partial {W}}{\partial {\bar {I}}_{2}}}=C_{2}~;~~{\cfrac {\partial {W}}{\partial J}}={\frac {2}{D_{1}}}(J-1)} Таким образом, напряжение Коши в сжимаемом материале Муни-Ривлина определяется выражением
σ = 2 J [ 1 J 2 / 3 ( C 1 + I ¯ 1 C 2 ) B − 1 J 4 / 3 C 2 B ⋅ B ] + [ 2 D 1 ( J − 1 ) − 2 3 J ( C 1 I ¯ 1 + 2 C 2 I ¯ 2 ) ] I {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\cfrac {2}{J}}\left[{\cfrac {1}{J^{2/3}}}\left(C_{1}+{\bar {I}}_{1}~C_{2}\right){\boldsymbol {B}}-{\cfrac {1}{J^{4/3}}}~C_{2}~{\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {B}}\right]+\left[{\frac {2}{D_{1}}}(J-1)-{\cfrac {2}{3J}}\left(C_{1}{\bar {I}}_{1}+2C_{2}{\bar {I}}_{2}~\right)\right]{\boldsymbol {I}}} После некоторых алгебраических вычислений можно показать, что давление определяется выражением
p := − 1 3 tr ( σ ) = − ∂ W ∂ J = − 2 D 1 ( J − 1 ) . {\displaystyle p:=-{\tfrac {1}{3}}\,{\text{tr}}({\boldsymbol {\sigma }})=-{\frac {\partial W}{\partial J}}=-{\frac {2}{D_{1}}}(J-1)\,.} Тогда напряжение можно выразить в виде
σ = − p I + 1 J [ 2 J 2 / 3 ( C 1 + I ¯ 1 C 2 ) B − 2 J 4 / 3 C 2 B ⋅ B − 2 3 ( C 1 I ¯ 1 + 2 C 2 I ¯ 2 ) I ] . {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p~{\boldsymbol {I}}+{\cfrac {1}{J}}\left[{\cfrac {2}{J^{2/3}}}\left(C_{1}+{\bar {I}}_{1}~C_{2}\right){\boldsymbol {B}}-{\cfrac {2}{J^{4/3}}}~C_{2}~{\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {B}}-{\cfrac {2}{3}}\left(C_{1}\,{\bar {I}}_{1}+2C_{2}\,{\bar {I}}_{2}\right){\boldsymbol {I}}\right]\,.} Приведенное выше уравнение часто записывается с использованием унимодулярного тензора : B ¯ = J − 2 / 3 B {\displaystyle {\bar {\boldsymbol {B}}}=J^{-2/3}\,{\boldsymbol {B}}}
σ = − p I + 1 J [ 2 ( C 1 + I ¯ 1 C 2 ) B ¯ − 2 C 2 B ¯ ⋅ B ¯ − 2 3 ( C 1 I ¯ 1 + 2 C 2 I ¯ 2 ) I ] . {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p~{\boldsymbol {I}}+{\cfrac {1}{J}}\left[2\left(C_{1}+{\bar {I}}_{1}~C_{2}\right){\bar {\boldsymbol {B}}}-2~C_{2}~{\bar {\boldsymbol {B}}}\cdot {\bar {\boldsymbol {B}}}-{\cfrac {2}{3}}\left(C_{1}\,{\bar {I}}_{1}+2C_{2}\,{\bar {I}}_{2}\right){\boldsymbol {I}}\right]\,.} Для несжимаемого материала Муни–Ривлина с имеет место и . Таким образом, J = 1 {\displaystyle J=1} p = 0 {\displaystyle p=0} B ¯ = B {\displaystyle {\bar {\boldsymbol {B}}}={\boldsymbol {B}}}
σ = 2 ( C 1 + I 1 C 2 ) B − 2 C 2 B ⋅ B − 2 3 ( C 1 I 1 + 2 C 2 I 2 ) I . {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=2\left(C_{1}+I_{1}~C_{2}\right){\boldsymbol {B}}-2C_{2}~{\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {B}}-{\cfrac {2}{3}}\left(C_{1}\,I_{1}+2C_{2}\,I_{2}\right){\boldsymbol {I}}\,.} Поскольку теорема Кэли–Гамильтона подразумевает det J = 1 {\displaystyle \det J=1}
B − 1 = B ⋅ B − I 1 B + I 2 I . {\displaystyle {\boldsymbol {B}}^{-1}={\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {B}}-I_{1}~{\boldsymbol {B}}+I_{2}~{\boldsymbol {I}}.} Следовательно, напряжение Коши можно выразить как
σ = − p ∗ I + 2 C 1 B − 2 C 2 B − 1 {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p^{*}~{\boldsymbol {I}}+2C_{1}~{\boldsymbol {B}}-2C_{2}~{\boldsymbol {B}}^{-1}} где p ∗ := 2 3 ( C 1 I 1 − C 2 I 2 ) . {\displaystyle p^{*}:={\tfrac {2}{3}}(C_{1}~I_{1}-C_{2}~I_{2}).\,}
Напряжение Коши в терминах главных растяжений В терминах главных растяжений разности напряжений Коши для несжимаемого гиперупругого материала определяются выражением
σ 11 − σ 33 = λ 1 ∂ W ∂ λ 1 − λ 3 ∂ W ∂ λ 3 ; σ 22 − σ 33 = λ 2 ∂ W ∂ λ 2 − λ 3 ∂ W ∂ λ 3 {\displaystyle \sigma _{11}-\sigma _{33}=\lambda _{1}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{1}}}-\lambda _{3}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{3}}}~;~~\sigma _{22}-\sigma _{33}=\lambda _{2}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{2}}}-\lambda _{3}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{3}}}} Для несжимаемого материала Муни-Ривлина,
W = C 1 ( λ 1 2 + λ 2 2 + λ 3 2 − 3 ) + C 2 ( λ 1 2 λ 2 2 + λ 2 2 λ 3 2 + λ 3 2 λ 1 2 − 3 ) ; λ 1 λ 2 λ 3 = 1 {\displaystyle W=C_{1}(\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}-3)+C_{2}(\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}+\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}+\lambda _{3}^{2}\lambda _{1}^{2}-3)~;~~\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}=1} Поэтому,
λ 1 ∂ W ∂ λ 1 = 2 C 1 λ 1 2 + 2 C 2 λ 1 2 ( λ 2 2 + λ 3 2 ) ; λ 2 ∂ W ∂ λ 2 = 2 C 1 λ 2 2 + 2 C 2 λ 2 2 ( λ 1 2 + λ 3 2 ) ; λ 3 ∂ W ∂ λ 3 = 2 C 1 λ 3 2 + 2 C 2 λ 3 2 ( λ 1 2 + λ 2 2 ) {\displaystyle \lambda _{1}{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{1}}}=2C_{1}\lambda _{1}^{2}+2C_{2}\lambda _{1}^{2}(\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2})~;~~\lambda _{2}{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{2}}}=2C_{1}\lambda _{2}^{2}+2C_{2}\lambda _{2}^{2}(\lambda _{1}^{2}+\lambda _{3}^{2})~;~~\lambda _{3}{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{3}}}=2C_{1}\lambda _{3}^{2}+2C_{2}\lambda _{3}^{2}(\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2})} Так как . мы можем написать λ 1 λ 2 λ 3 = 1 {\displaystyle \lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}=1}
λ 1 ∂ W ∂ λ 1 = 2 C 1 λ 1 2 + 2 C 2 ( 1 λ 3 2 + 1 λ 2 2 ) ; λ 2 ∂ W ∂ λ 2 = 2 C 1 λ 2 2 + 2 C 2 ( 1 λ 3 2 + 1 λ 1 2 ) λ 3 ∂ W ∂ λ 3 = 2 C 1 λ 3 2 + 2 C 2 ( 1 λ 2 2 + 1 λ 1 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{1}}}&=2C_{1}\lambda _{1}^{2}+2C_{2}\left({\cfrac {1}{\lambda _{3}^{2}}}+{\cfrac {1}{\lambda _{2}^{2}}}\right)~;~~\lambda _{2}{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{2}}}=2C_{1}\lambda _{2}^{2}+2C_{2}\left({\cfrac {1}{\lambda _{3}^{2}}}+{\cfrac {1}{\lambda _{1}^{2}}}\right)\\\lambda _{3}{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{3}}}&=2C_{1}\lambda _{3}^{2}+2C_{2}\left({\cfrac {1}{\lambda _{2}^{2}}}+{\cfrac {1}{\lambda _{1}^{2}}}\right)\end{aligned}}} Тогда выражения для разностей напряжений Коши становятся
σ 11 − σ 33 = 2 C 1 ( λ 1 2 − λ 3 2 ) − 2 C 2 ( 1 λ 1 2 − 1 λ 3 2 ) ; σ 22 − σ 33 = 2 C 1 ( λ 2 2 − λ 3 2 ) − 2 C 2 ( 1 λ 2 2 − 1 λ 3 2 ) {\displaystyle \sigma _{11}-\sigma _{33}=2C_{1}(\lambda _{1}^{2}-\lambda _{3}^{2})-2C_{2}\left({\cfrac {1}{\lambda _{1}^{2}}}-{\cfrac {1}{\lambda _{3}^{2}}}\right)~;~~\sigma _{22}-\sigma _{33}=2C_{1}(\lambda _{2}^{2}-\lambda _{3}^{2})-2C_{2}\left({\cfrac {1}{\lambda _{2}^{2}}}-{\cfrac {1}{\lambda _{3}^{2}}}\right)}
Одноосное растяжение Для случая несжимаемого материала Муни–Ривлина при одноосном растяжении и . Тогда истинные разности напряжений (напряжения Коши) можно рассчитать как: λ 1 = λ {\displaystyle \lambda _{1}=\lambda \,} λ 2 = λ 3 = 1 / λ {\displaystyle \lambda _{2}=\lambda _{3}=1/{\sqrt {\lambda }}}
σ 11 − σ 33 = 2 C 1 ( λ 2 − 1 λ ) − 2 C 2 ( 1 λ 2 − λ ) σ 22 − σ 33 = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{11}-\sigma _{33}&=2C_{1}\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {1}{\lambda }}\right)-2C_{2}\left({\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}-\lambda \right)\\\sigma _{22}-\sigma _{33}&=0\end{aligned}}}
Простое натяжение Сравнение экспериментальных результатов (точки) и предсказаний для закона Гука (1, синяя линия), нео-гуковских моделей твердого тела (2, красная линия) и моделей твердого тела Муни–Ривлина (3, зеленая линия) В случае простого натяжения, . Тогда можно записать σ 22 = σ 33 = 0 {\displaystyle \sigma _{22}=\sigma _{33}=0}
σ 11 = ( 2 C 1 + 2 C 2 λ ) ( λ 2 − 1 λ ) {\displaystyle \sigma _{11}=\left(2C_{1}+{\cfrac {2C_{2}}{\lambda }}\right)\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {1}{\lambda }}\right)} В альтернативной записи, где напряжение Коши записывается как , а растяжение как , мы можем записать T {\displaystyle {\boldsymbol {T}}} α {\displaystyle \alpha }
T 11 = ( 2 C 1 + 2 C 2 α ) ( α 2 − α − 1 ) {\displaystyle T_{11}=\left(2C_{1}+{\frac {2C_{2}}{\alpha }}\right)\left(\alpha ^{2}-\alpha ^{-1}\right)} и инженерное напряжение (сила на единицу опорной площади) для несжимаемого материала Муни-Ривлина при простом растяжении можно рассчитать с помощью . Следовательно T 11 e n g = T 11 α 2 α 3 = T 11 α {\displaystyle T_{11}^{\mathrm {eng} }=T_{11}\alpha _{2}\alpha _{3}={\cfrac {T_{11}}{\alpha }}}
T 11 e n g = ( 2 C 1 + 2 C 2 α ) ( α − α − 2 ) {\displaystyle T_{11}^{\mathrm {eng} }=\left(2C_{1}+{\frac {2C_{2}}{\alpha }}\right)\left(\alpha -\alpha ^{-2}\right)} Если мы определим
T 11 ∗ := T 11 e n g α − α − 2 ; β := 1 α {\displaystyle T_{11}^{*}:={\cfrac {T_{11}^{\mathrm {eng} }}{\alpha -\alpha ^{-2}}}~;~~\beta :={\cfrac {1}{\alpha }}} затем
T 11 ∗ = 2 C 1 + 2 C 2 β . {\displaystyle T_{11}^{*}=2C_{1}+2C_{2}\beta ~.} Наклон прямой зависимости дает значение , а пересечение с осью дает значение . Модель твердого тела Муни–Ривлина обычно лучше соответствует экспериментальным данным, чем модель нео-гуковского тела , но требует дополнительной эмпирической константы. T 11 ∗ {\displaystyle T_{11}^{*}} β {\displaystyle \beta } C 2 {\displaystyle C_{2}} T 11 ∗ {\displaystyle T_{11}^{*}} C 1 {\displaystyle C_{1}}
Равновесное двухосное растяжение В случае равнодвуосного растяжения главные растяжения равны . Если, кроме того, материал несжимаем, то . Следовательно, разность напряжений Коши может быть выражена как λ 1 = λ 2 = λ {\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=\lambda } λ 3 = 1 / λ 2 {\displaystyle \lambda _{3}=1/\lambda ^{2}}
σ 11 − σ 33 = σ 22 − σ 33 = 2 C 1 ( λ 2 − 1 λ 4 ) − 2 C 2 ( 1 λ 2 − λ 4 ) {\displaystyle \sigma _{11}-\sigma _{33}=\sigma _{22}-\sigma _{33}=2C_{1}\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {1}{\lambda ^{4}}}\right)-2C_{2}\left({\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}-\lambda ^{4}\right)} Уравнения для равномерного двухосного растяжения эквивалентны уравнениям для одноосного сжатия.
Чистый сдвиг Чистая деформация сдвига может быть достигнута путем применения растяжений вида [7]
λ 1 = λ ; λ 2 = 1 λ ; λ 3 = 1 {\displaystyle \lambda _{1}=\lambda ~;~~\lambda _{2}={\cfrac {1}{\lambda }}~;~~\lambda _{3}=1} Следовательно, разность напряжений Коши для чистого сдвига может быть выражена как
σ 11 − σ 33 = 2 C 1 ( λ 2 − 1 ) − 2 C 2 ( 1 λ 2 − 1 ) ; σ 22 − σ 33 = 2 C 1 ( 1 λ 2 − 1 ) − 2 C 2 ( λ 2 − 1 ) {\displaystyle \sigma _{11}-\sigma _{33}=2C_{1}(\lambda ^{2}-1)-2C_{2}\left({\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}-1\right)~;~~\sigma _{22}-\sigma _{33}=2C_{1}\left({\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}-1\right)-2C_{2}(\lambda ^{2}-1)} Поэтому
σ 11 − σ 22 = 2 ( C 1 + C 2 ) ( λ 2 − 1 λ 2 ) {\displaystyle \sigma _{11}-\sigma _{22}=2(C_{1}+C_{2})\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}\right)} Для чистой сдвиговой деформации
I 1 = λ 1 2 + λ 2 2 + λ 3 2 = λ 2 + 1 λ 2 + 1 ; I 2 = 1 λ 1 2 + 1 λ 2 2 + 1 λ 3 2 = 1 λ 2 + λ 2 + 1 {\displaystyle I_{1}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}=\lambda ^{2}+{\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}+1~;~~I_{2}={\cfrac {1}{\lambda _{1}^{2}}}+{\cfrac {1}{\lambda _{2}^{2}}}+{\cfrac {1}{\lambda _{3}^{2}}}={\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}+\lambda ^{2}+1} Поэтому . I 1 = I 2 {\displaystyle I_{1}=I_{2}}
Простой сдвиг Градиент деформации для простой сдвиговой деформации имеет вид [7]
F = 1 + γ e 1 ⊗ e 2 {\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {1}}+\gamma ~\mathbf {e} _{1}\otimes \mathbf {e} _{2}} где — опорные ортонормальные базисные векторы в плоскости деформации, а деформация сдвига определяется выражением e 1 , e 2 {\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}}
γ = λ − 1 λ ; λ 1 = λ ; λ 2 = 1 λ ; λ 3 = 1 {\displaystyle \gamma =\lambda -{\cfrac {1}{\lambda }}~;~~\lambda _{1}=\lambda ~;~~\lambda _{2}={\cfrac {1}{\lambda }}~;~~\lambda _{3}=1} В матричной форме градиент деформации и левый тензор деформации Коши-Грина могут быть выражены как
F = [ 1 γ 0 0 1 0 0 0 1 ] ; B = F ⋅ F T = [ 1 + γ 2 γ 0 γ 1 0 0 0 1 ] {\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\begin{bmatrix}1&\gamma &0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}~;~~{\boldsymbol {B}}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}={\begin{bmatrix}1+\gamma ^{2}&\gamma &0\\\gamma &1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}} Поэтому,
B − 1 = [ 1 − γ 0 − γ 1 + γ 2 0 0 0 1 ] {\displaystyle {\boldsymbol {B}}^{-1}={\begin{bmatrix}1&-\gamma &0\\-\gamma &1+\gamma ^{2}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}} Напряжение Коши определяется по формуле
σ = [ − p ∗ + 2 ( C 1 − C 2 ) + 2 C 1 γ 2 2 ( C 1 + C 2 ) γ 0 2 ( C 1 + C 2 ) γ − p ∗ + 2 ( C 1 − C 2 ) − 2 C 2 γ 2 0 0 0 − p ∗ + 2 ( C 1 − C 2 ) ] {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\begin{bmatrix}-p^{*}+2(C_{1}-C_{2})+2C_{1}\gamma ^{2}&2(C_{1}+C_{2})\gamma &0\\2(C_{1}+C_{2})\gamma &-p^{*}+2(C_{1}-C_{2})-2C_{2}\gamma ^{2}&0\\0&0&-p^{*}+2(C_{1}-C_{2})\end{bmatrix}}} Для соответствия линейной упругости, очевидно, где находится модуль сдвига. μ = 2 ( C 1 + C 2 ) {\displaystyle \mu =2(C_{1}+C_{2})} μ {\displaystyle \mu }
Резина Упругий отклик резиноподобных материалов часто моделируется на основе модели Муни–Ривлина. Константы определяются путем подгонки прогнозируемого напряжения из приведенных выше уравнений к экспериментальным данным. Рекомендуемые испытания: одноосное растяжение, равнодвуосное сжатие, равнодвуосное растяжение, одноосное сжатие, а для сдвига — плоское растяжение и плоское сжатие. Двухпараметрическая модель Муни–Ривлина обычно действительна для деформаций менее 100%. [8] C 1 , C 2 {\displaystyle C_{1},C_{2}}
Примечания и ссылки ^ Муни, М., 1940, Теория большой упругой деформации , Журнал прикладной физики, 11(9), стр. 582–592. ^ Ривлин, Р.С., 1948, Большие упругие деформации изотропных материалов. IV. Дальнейшее развитие общей теории , Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Серия A, Математические и физические науки, 241(835), стр. 379–397. ^ Буланже, П. и Хейс, М.А., 2001, «Волны конечной амплитуды в материалах Муни–Ривлина и Адамара», в книге « Темы конечной упругости» , под ред. М. А. Хейса и Г. Соккоманди, Международный центр механических наук. ^ CW Macosko, 1994, Реология: принципы, измерения и приложения , VCH Publishers, ISBN 1-56081-579-5 . ^ Унимодулярность в данном контексте означает . det B ¯ = 1 {\displaystyle \det {\bar {\boldsymbol {B}}}=1} ^ Боуэр, Аллан (2009). Прикладная механика твердого тела. CRC Press. ISBN 978-1-4398-0247-2 . Получено 19.04.2018 . ^ ab Ogden, RW, 1984, Нелинейные упругие деформации , Довер ^ Хамза, Мухсин; Алван, Хассан (2010). «Гиперупругое конститутивное моделирование резины и резиноподобных материалов при конечной деформации». Журнал «Инженерия и технологии» . 28 (13): 2560–2575. doi : 10.30684/etj.28.13.5 .
Смотрите также 
![{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\cfrac {2}{J}}\left[{\cfrac {1}{J^{2/3}}}\left({\cfrac {\partial {W}}{\partial {\bar {I}}_{1}}}+{\bar {I}}_{1}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial {\bar {I}}_{2}}}\right){\boldsymbol {B}}-{\cfrac {1}{J^{4/3}}}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial {\bar {I}}_{2}}}~{\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {B}}\right]+\left[{\cfrac {\partial {W}}{\partial J}}-{\cfrac {2}{3J}}\left({\bar {I}}_{1}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial {\bar {I}}_{1}}}+2~{\bar {I}}_{2}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial {\bar {I}}_{2}}}\right)\right]~{\boldsymbol {I}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a02006f31ec08f5ff11d32479fcc80ae15ffb0ea)
![{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\cfrac {2}{J}}\left[{\cfrac {1}{J^{2/3}}}\left(C_{1}+{\bar {I}}_{1}~C_{2}\right){\boldsymbol {B}}-{\cfrac {1}{J^{4/3}}}~C_{2}~{\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {B}}\right]+\left[{\frac {2}{D_{1}}}(J-1)-{\cfrac {2}{3J}}\left(C_{1}{\bar {I}}_{1}+2C_{2}{\bar {I}}_{2}~\right)\right]{\boldsymbol {I}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfdc965e9773abd1b2a3085e452a7e07b7cb763e)
![{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p~{\boldsymbol {I}}+{\cfrac {1}{J}}\left[{\cfrac {2}{J^{2/3}}}\left(C_{1}+{\bar {I}}_{1}~C_{2}\right){\boldsymbol {B}}-{\cfrac {2}{J^{4/3}}}~C_{2}~{\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {B}}-{\cfrac {2}{3}}\left(C_{1}\,{\bar {I}}_{1}+2C_{2}\,{\bar {I}}_{2}\right){\boldsymbol {I}}\right]\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36c882eabca596e3537aa595c469f938b011f9a0)
![{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p~{\boldsymbol {I}}+{\cfrac {1}{J}}\left[2\left(C_{1}+{\bar {I}}_{1}~C_{2}\right){\bar {\boldsymbol {B}}}-2~C_{2}~{\bar {\boldsymbol {B}}}\cdot {\bar {\boldsymbol {B}}}-{\cfrac {2}{3}}\left(C_{1}\,{\bar {I}}_{1}+2C_{2}\,{\bar {I}}_{2}\right){\boldsymbol {I}}\right]\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8052356551db5fa639bda4ecd50943d4dbabb6e9)
