исчисление Мюллера

Система описания оптической поляризации

Исчисление Мюллера — это матричный метод манипулирования векторами Стокса , которые представляют поляризацию света. Он был разработан в 1943 году Гансом Мюллером . В этом методе эффект конкретного оптического элемента представлен матрицей Мюллера — матрицей 4×4, которая является перекрывающимся обобщением матрицы Джонса .

Введение

Не принимая во внимание когерентную волновую суперпозицию , любое полностью поляризованное, частично поляризованное или неполяризованное состояние света можно представить вектором Стокса ( ) ${\displaystyle {\vec {S}}}$ ; а любой оптический элемент можно представить матрицей Мюллера (M).

Если луч света изначально находится в состоянии , а затем проходит через оптический элемент M и выходит в состоянии , то это записывается ${\displaystyle {\vec {S}}_{i}}$ ${\displaystyle {\vec {S}}_{o}}$

${\displaystyle {\vec {S}}_{o}=\mathrm {M} {\vec {S}}_{i}\ .}$

Если луч света проходит через оптический элемент М _{1 ,} затем М ₂ , а затем М _{3 ,} то это записывается как

${\displaystyle {\vec {S}}_{o}=\mathrm {M} _{3}\left(\mathrm {M} _{2}\left(\mathrm {M} _{1}{\vec {S}}_{i}\right)\right)}$

учитывая, что умножение матриц ассоциативно , его можно записать

${\displaystyle {\vec {S}}_{o}=\mathrm {M} _{3}\mathrm {M} _{2}\mathrm {M} _{1}{\vec {S}}_{i}\ .}$

Умножение матриц не является коммутативным, поэтому в общем случае

${\displaystyle \mathrm {M} _{3}\mathrm {M} _{2}\mathrm {M} _{1}{\vec {S}}_{i}\neq \mathrm {M} _{1}\mathrm {M} _{2}\mathrm {M} _{3}{\vec {S}}_{i}\ .}$

Исчисления Мюллера против Джонса

Не обращая внимания на когерентность, неполяризованный или частично поляризованный свет должен рассматриваться с использованием исчисления Мюллера, в то время как полностью поляризованный свет может рассматриваться либо с использованием исчисления Мюллера, либо с использованием более простого исчисления Джонса . Однако многие проблемы, связанные с когерентным светом (например, от лазера ), должны рассматриваться с использованием исчисления Джонса, поскольку оно работает непосредственно с электрическим полем света, а не с его интенсивностью или мощностью, и, таким образом, сохраняет информацию о фазе волн . Более конкретно, следующее можно сказать о матрицах Мюллера и матрицах Джонса: ^[1]

Векторы Стокса и матрицы Мюллера оперируют интенсивностями и их разностями, т. е. некогерентными суперпозициями света; они не подходят для описания эффектов интерференции или дифракции.

(...)

Любая матрица Джонса [J] может быть преобразована в соответствующую матрицу Мюллера–Джонса, M, используя следующее соотношение: ^[2]

${\displaystyle \mathrm {M=A(J\otimes J^{*})A^{-1}} }$,

где * обозначает комплексное сопряжение [ sic ], [ A is:]

${\displaystyle \mathrm {A} ={\begin{pmatrix}1&0&0&1\\1&0&0&-1\\0&1&1&0\\0&i&-i&0\\\end{pmatrix}}}$

и ⊗ — тензорное (кронекеровское) произведение .

(...)

Хотя матрица Джонса имеет восемь независимых параметров [два декартовых или полярных компонента для каждого из четырех комплексных значений в матрице 2 на 2], информация об абсолютной фазе теряется в [уравнении выше], что приводит только к семи независимым матричным элементам для матрицы Мюллера, полученной из матрицы Джонса.

Матрицы Мюллера

Ниже приведены матрицы Мюллера для некоторых идеальных общих оптических элементов:

Общее выражение для поворота системы отсчета ^[3] из локальной системы в лабораторную:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&\cos {(2\theta )}&\sin {(2\theta )}&0\\0&-\sin {(2\theta )}&\cos {(2\theta )}&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}\quad }$

где - угол поворота. При повороте из лабораторной системы в локальную систему знак синусоидальных членов меняется на противоположный. ${\displaystyle \theta }$

Линейный поляризатор (горизонтальное пропускание)

${\displaystyle {1 \over 2}{\begin{pmatrix}1&1&0&0\\1&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}}$

Матрицы Мюллера для других углов поворота поляризатора могут быть получены путем поворота системы отсчета.

Линейный поляризатор (вертикальное пропускание)

${\displaystyle {1 \over 2}{\begin{pmatrix}1&-1&0&0\\-1&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}}$

Линейный поляризатор (пропускание +45°)

${\displaystyle {1 \over 2}{\begin{pmatrix}1&0&1&0\\0&0&0&0\\1&0&1&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}}$

Линейный поляризатор (пропускание −45°)

${\displaystyle {1 \over 2}{\begin{pmatrix}1&0&-1&0\\0&0&0&0\\-1&0&1&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}}$

Общая матрица линейного поляризатора

${\displaystyle {1 \over 2}{\begin{pmatrix}1&\cos {(2\theta )}&\sin {(2\theta )}&0\\\cos {(2\theta )}&\cos ^{2}(2\theta )&\cos(2\theta )\sin(2\theta )&0\\\sin {(2\theta )}&\cos(2\theta )\sin(2\theta )&\sin ^{2}(2\theta )&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}\quad }$

где - угол поворота поляризатора. ${\displaystyle \theta }$

Общий линейный замедлитель (расчеты волновой пластины производятся на его основе)

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&\cos ^{2}(2\theta )+\sin ^{2}(2\theta )\cos(\delta )&\cos(2\theta )\sin(2\theta )\left(1-\cos(\delta )\right)&\sin(2\theta )\sin(\delta )\\0&\cos(2\theta )\sin(2\theta )\left(1-\cos(\delta )\right)&\cos ^{2}(2\theta )\cos(\delta )+\sin ^{2}(2\theta )&-\cos(2\theta )\sin(\delta )\\0&-\sin(2\theta )\sin(\delta )&\cos(2\theta )\sin(\delta )&\cos(\delta )\end{pmatrix}}\quad }$

где — разность фаз между быстрой и медленной осями, — угол быстрой оси. ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \theta }$

Четвертьволновая пластина (быстрая ось вертикальная)

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\end{pmatrix}}}$

Четвертьволновая пластина (быстрая ось горизонтальная)

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&-1&0\end{pmatrix}}}$

Полуволновая пластинка (быстрая ось горизонтальная и вертикальная; также идеальное зеркало)

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}}$

Ослабляющий фильтр (пропускание 25%)

${\displaystyle {1 \over 4}{\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}\quad }$

тензоры Мюллера

Архитектура Мюллера/Стокса может также использоваться для описания нелинейных оптических процессов, таких как многофотонная возбужденная флуоресценция и генерация второй гармоники. Тензор Мюллера может быть связан обратно с тензором Джонса лабораторной системы отсчета по прямой аналогии с матрицами Мюллера и Джонса.

${\displaystyle \mathrm {M} ^{(2)}=\mathrm {A} \left(\chi ^{(2)*}\otimes \chi ^{(2)}\right):\mathrm {A} ^{-1}\mathrm {A} ^{-1}}$,

где — тензор Мюллера третьего ранга, описывающий вектор Стокса, созданный парой падающих векторов Стокса, а — тензор Джонса лабораторной системы отсчета 2×2×2. ${\displaystyle M^{(2)}}$ ${\displaystyle \chi ^{(2)}}$

Смотрите также

• Параметры Стокса
• исчисление Джонса
• Поляризация (волны)

Ссылки

1. Савенков, СН (2009). "Матрицы Джонса и Мюллера: Структура, отношения симметрии и информационное содержание". Light Scattering Reviews 4. стр. 71–119. doi :10.1007/978-3-540-74276-0_3. ISBN 978-3-540-74275-3.
2. * Натан Г. Парк (1949). «Оптическая алгебра». Журнал математики и физики . 28 (1–4): 131. doi :10.1002/sapm1949281131.
3. Чипман, Рассел (6 октября 2009 г.). "Глава 14: Поляриметрия". В Басс, Майкл (ред.). Справочник по оптике . Том 1: Геометрическая и физическая оптика, поляризованный свет, компоненты и приборы. McGraw Hill Education. ISBN 978-0071498890.

Другие источники

• Э. Коллетт (2005) Полевое руководство по поляризации , SPIE Field Guides, том FG05 , SPIE ISBN 0-8194-5868-6 . 
• Юджин Хехт (1987) Оптика , 2-е изд., Addison-Wesley ISBN 0-201-11609-X . 
• дель Торо Иньеста, Хосе Карлос (2003). Введение в спектрополяриметрию. Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press . стр. 227. ISBN 978-0-521-81827-8.
• Н. Мукунда и др. (2010) «Полная характеристика пре-Мюллера и матриц Мюллера в поляризационной оптике», Журнал оптического общества Америки A 27(2): 188-99 doi :10.1364/JOSAA.27.000188 MR 2642868
• Уильям Шерклифф (1966) Поляризованный свет: производство и использование , глава 8 Исчисление Мюллера и исчисление Джонса, стр. 109, Издательство Гарвардского университета .
• Симпсон, Гарт (2017). Нелинейный оптический поляризационный анализ в химии и биологии. Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press. стр. 392. ISBN 978-0-521-51908-3.