Многотельная система — это изучение динамического поведения взаимосвязанных жестких или гибких тел, каждое из которых может подвергаться большим поступательным и вращательным перемещениям.
Систематическое рассмотрение динамического поведения взаимосвязанных тел привело к появлению большого количества важных многотельных формализмов в области механики . Простейшие тела или элементы многотельной системы рассматривались Ньютоном (свободная частица) и Эйлером (твердое тело). Эйлер ввел силы реакции между телами. Позднее был выведен ряд формализмов, упомянем только формализмы Лагранжа , основанные на минимальных координатах, и вторую формулировку, которая вводит ограничения.
В основном движение тел описывается их кинематическим поведением. Динамическое поведение является результатом равновесия приложенных сил и скорости изменения импульса. В настоящее время термин «многотельная система» связан с большим количеством инженерных областей исследований, особенно в робототехнике и динамике транспортных средств. В качестве важной особенности формализмы многотельных систем обычно предлагают алгоритмический, компьютерный способ моделирования, анализа, имитации и оптимизации произвольного движения, возможно, тысяч взаимосвязанных тел.
В то время как отдельные тела или части механической системы подробно изучаются с помощью методов конечных элементов, поведение всей многотельной системы обычно изучается с помощью методов многотельных систем в следующих областях:
Следующий пример показывает типичную многотельную систему. Обычно ее называют кривошипно-ползунным механизмом. Механизм используется для преобразования вращательного движения в поступательное с помощью вращающейся ведущей балки, соединительного стержня и скользящего тела. В данном примере в качестве соединительного стержня используется гибкое тело. Скользящая масса не может вращаться, а для соединения тел используются три вращательных шарнира. В то время как каждое тело имеет шесть степеней свободы в пространстве, кинематические условия приводят к одной степени свободы для всей системы.
Движение механизма можно увидеть на следующей gif-анимации:
Тело обычно считается жесткой или гибкой частью механической системы (не путать с телом человека). Примером тела является рука робота, колесо или ось в автомобиле или предплечье человека. Связь — это соединение двух или более тел или тела с землей. Связь определяется определенными (кинематическими) ограничениями, которые ограничивают относительное движение тел. Типичные ограничения:
В многотельных системах есть два важных термина: степень свободы и условие ограничения.
Степени свободы обозначают число независимых кинематических возможностей движения. Другими словами, степени свободы — это минимальное число параметров, необходимых для полного определения положения объекта в пространстве.
Твердое тело имеет шесть степеней свободы в случае общего пространственного движения, три из которых поступательные степени свободы и три вращательные степени свободы. В случае плоского движения тело имеет только три степени свободы с одной вращательной и двумя поступательными степенями свободы.
Степени свободы в плоском движении можно легко продемонстрировать с помощью компьютерной мыши. Степени свободы: влево-вправо, вперед-назад и вращение вокруг вертикальной оси.
Условие ограничения подразумевает ограничение в кинематических степенях свободы одного или нескольких тел. Классическое ограничение обычно представляет собой алгебраическое уравнение, которое определяет относительное перемещение или вращение между двумя телами. Кроме того, существуют возможности ограничить относительную скорость между двумя телами или телом и землей. Это, например, случай катящегося диска, где точка диска, которая касается земли, всегда имеет нулевую относительную скорость по отношению к земле. В случае, когда условие ограничения скорости не может быть интегрировано во времени для формирования ограничения положения, оно называется неголономным . Это случай общего ограничения качения.
В дополнение к этому существуют неклассические ограничения, которые могут даже ввести новую неизвестную координату, например, скользящее соединение, где точка тела может перемещаться по поверхности другого тела. В случае контакта условие ограничения основано на неравенствах, и поэтому такое ограничение не ограничивает навсегда степени свободы тел.
Уравнения движения используются для описания динамического поведения многотельной системы. Каждая формулировка многотельной системы может привести к разному математическому виду уравнений движения, в то время как физика, лежащая в основе, остается той же. Движение ограниченных тел описывается с помощью уравнений, которые в основном вытекают из второго закона Ньютона. Уравнения записываются для общего движения отдельных тел с добавлением условий ограничений. Обычно уравнения движения выводятся из уравнений Ньютона-Эйлера или уравнений Лагранжа .
Движение твердых тел описывается с помощью
Эти типы уравнений движения основаны на так называемых избыточных координатах, поскольку уравнения используют больше координат, чем степеней свободы базовой системы. Обобщенные координаты обозначаются как , матрица масс представлена как которая может зависеть от обобщенных координат. представляет условия ограничений, а матрица (иногда называемая якобианом ) является производной условий ограничений по координатам. Эта матрица используется для применения сил ограничений к соответствующим уравнениям тел. Компоненты вектора также обозначаются как множители Лагранжа. В твердом теле возможные координаты могут быть разделены на две части,
где представляет собой перемещения и описывает вращения.
В случае твердых тел для описания кориолисовых и центробежных членов в уравнениях движения используется так называемый квадратичный вектор скорости. Название связано с тем, что он включает квадратичные члены скоростей и возникает из-за частных производных кинетической энергии тела.
Множитель Лагранжа связан с условием ограничения и обычно представляет собой силу или момент, действующий в «направлении» степени свободы ограничения. Множители Лагранжа не выполняют «работы» по сравнению с внешними силами, которые изменяют потенциальную энергию тела.
Уравнения движения (1,2) представлены с помощью избыточных координат, что означает, что координаты не являются независимыми. Это можно проиллюстрировать на примере кривошипно-ползунного механизма, показанного выше, где каждое тело имеет шесть степеней свободы, в то время как большинство координат зависят от движения других тел. Например, для описания движения кривошипно-ползунного механизма с жесткими телами можно использовать 18 координат и 17 ограничений. Однако, поскольку имеется только одна степень свободы, уравнение движения можно также представить с помощью одного уравнения и одной степени свободы, используя, например, угол ведущего звена в качестве степени свободы. Последняя формулировка тогда имеет минимальное количество координат для описания движения системы и, таким образом, может быть названа формулировкой с минимальными координатами. Преобразование избыточных координат в минимальные координаты иногда бывает громоздким и возможно только в случае голономных ограничений и без кинематических циклов. Было разработано несколько алгоритмов для вывода уравнений движения с минимальными координатами, если упомянуть только так называемую рекурсивную формулировку. Полученные уравнения легче решать, поскольку при отсутствии условий ограничений можно использовать стандартные методы интегрирования по времени для интегрирования уравнений движения во времени. Хотя редуцированная система может быть решена более эффективно, преобразование координат может быть вычислительно затратным. В очень общих формулировках многокомпонентных систем и программных системах избыточные координаты используются для того, чтобы сделать системы удобными для пользователя и гибкими.
Существует несколько случаев, в которых необходимо учитывать гибкость тел. Например, в случаях, когда гибкость играет фундаментальную роль в кинематике, а также в податливых механизмах.
Гибкость можно учитывать по-разному. Существует три основных подхода:
![{\displaystyle \mathbf {q} =\left[\mathbf {u} \quad \mathbf {\Psi } \right]^{T}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c20d6dbee4375da4b6ffc3e0df78921b00d47139)
