Мультипликативная теория чисел — это подраздел аналитической теории чисел , который имеет дело с простыми числами , факторизацией и делителями . Основное внимание обычно уделяется разработке приближенных формул для подсчета этих объектов в различных контекстах. Теорема о простых числах является ключевым результатом в этом предмете. Классификация предметов математики для мультипликативной теории чисел — 11Nxx.
Мультипликативная теория чисел занимается в основном асимптотическими оценками для арифметических функций . Исторически в этой теме доминировала теорема о простых числах , сначала попытки ее доказать, а затем улучшения в члене ошибки. Задача о делителях Дирихле , которая оценивает средний порядок функции делителя d(n), и задача Гаусса о круге , которая оценивает средний порядок числа представлений числа в виде суммы двух квадратов, также являются классическими задачами, и снова основное внимание уделяется улучшению оценок ошибки.
Распределение простых чисел среди классов вычетов по модулю целого числа является областью активных исследований. Теорема Дирихле о простых числах в арифметических прогрессиях показывает, что существует бесконечность простых чисел в каждом классе взаимно простых вычетов, а теорема о простых числах для арифметических прогрессий показывает, что простые числа асимптотически равномерно распределены среди классов вычетов. Теорема Бомбьери–Виноградова дает более точную меру того, насколько равномерно они распределены. Также большой интерес представляет размер наименьшего простого числа в арифметической прогрессии; теорема Линника дает оценку.
Гипотеза о простых числах-близнецах , а именно, что существует бесконечное множество простых чисел p, таких что p +2 также является простым числом, является предметом активных исследований. Теорема Чена показывает, что существует бесконечное множество простых чисел p , таких что p +2 является либо простым числом, либо произведением двух простых чисел.
Методы в основном относятся к аналитической теории чисел , но элементарные методы, особенно методы решета , также очень важны. Большое решето и показательные суммы обычно считаются частью мультипликативной теории чисел.
Распределение простых чисел тесно связано с поведением дзета-функции Римана и гипотезой Римана , и эти темы изучаются как с точки зрения теории чисел , так и с точки зрения комплексного анализа .
Большая часть аналитической теории чисел имеет дело с мультипликативными задачами, и поэтому большинство ее текстов содержат разделы по мультипликативной теории чисел. Вот некоторые известные тексты, которые имеют дело именно с мультипликативными задачами: