N = 4 суперсимметричная теория Янга–Миллса

Суперконформная теория Янга–Миллса

N = 4 суперсимметричная теория  Янга–Миллса ( SYM )— это релятивистская конформно-инвариантная лагранжева калибровочная теория, описывающая взаимодействия фермионов посредствомобменов калибровочными полями . В D = 4измерениях пространства-времени N = 4 — это максимальное число суперсимметрий или зарядов суперсимметрии. ^[1]

Теория SYM — это игрушечная теория , основанная на теории Янга–Миллса ; она не моделирует реальный мир, но полезна, поскольку может служить полигоном для испытаний подходов к решению проблем в более сложных теориях. ^[2] Она описывает вселенную, содержащую бозонные и фермионные поля , которые связаны четырьмя суперсимметриями (это означает, что преобразование бозонных и фермионных полей определенным образом оставляет теорию инвариантной). Это одна из самых простых (в том смысле, что она не имеет свободных параметров, кроме калибровочной группы ) и одна из немногих ультрафиолетовых конечных квантовых теорий поля в 4 измерениях. Ее можно рассматривать как самую симметричную теорию поля, которая не включает гравитацию.

Как и все суперсимметричные теории поля, теория SYM может быть эквивалентно сформулирована как теория суперполя на расширенном суперпространстве , в котором переменные пространства-времени дополнены рядом переменных Грассмана , которые для случая N = 4 состоят из 4 спиноров Дирака , что в общей сложности дает 16 независимых антикоммутирующих генераторов для расширенного кольца суперфункций. Уравнения поля эквивалентны геометрическому условию, что 2-форма суперкривизны тождественно обращается в нуль на всех супернулевых линиях . ^{[3] [4]} Это также известно как соответствие супер-амбитвистора .

Аналогичная характеристика суперамбитвистора справедлива для D = 10, N = 1 размерной супертеории Янга–Миллса ^{[5] [6],} а случаи с меньшими размерностями D = 6, N = 2 и D = 4, N = 4 могут быть выведены из нее посредством размерной редукции .

ЗначениеНи количество полей

В N суперсимметричной теории Янга–Миллса N обозначает число независимых суперсимметричных операций, которые преобразуют калибровочное поле спина -1 в фермионные поля спина 1/2. ^[7] По аналогии с симметриями относительно вращений, N будет числом независимых вращений, N  = 1 на плоскости, N  = 2 в трехмерном пространстве и т. д... То есть в N  = 4 теории SYM калибровочный бозон может быть «повернут» в N  = 4 различных суперсимметричных фермионных партнера. В свою очередь, каждый фермион может быть повернут в четыре различных бозона: один соответствует вращению обратно к калибровочному полю спина 1, а три других являются бозонными полями спина 0. Поскольку в трехмерном пространстве можно использовать различные вращения, чтобы достичь одной и той же точки (или в данном случае одного и того же бозона спина 0), каждый бозон спина 0 является суперпартнером двух различных фермионов спина 1/2, а не только одного. ^[7] Таким образом, в общей сложности имеется только 6 бозонов со спином 0, а не 16.

Таким образом, N  = 4 SYM имеет 1 + 4 + 6 = 11 полей, а именно: одно векторное поле (калибровочный бозон со спином 1), четыре спинорных поля (фермионы со спином 1/2) и шесть скалярных полей (бозоны со спином 0). N  = 4 — это максимальное число независимых суперсимметрий: начиная с поля со спином 1 и используя больше суперсимметрий, например, N  = 5, вращается только между 11 полями. Чтобы иметь N  > 4 независимых суперсимметрий, нужно начать с калибровочного поля со спином выше 1, например, с тензорного поля со спином 2, такого как у гравитона . Это теория супергравитации N  = 8 .

Лагранжиан

Лагранжиан для теории равен ^{[1] [8} ]

${\displaystyle L=\operatorname {tr} \left\{-{\frac {1}{2g^{2}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }+{\frac {\theta _{I}}{8\pi ^{2}}}F_{\mu \nu }{\bar {F}}^{\mu \nu }-i{\overline {\lambda }}^{a}{\overline {\sigma }}^{\mu }D_{\mu }\lambda _{a}-D_{\mu }X^{i}D^{\mu }X^{i}+gC_{i}^{ab}\lambda _{a}[X^{i},\lambda _{b}]+g{\overline {C}}_{iab}{\overline {\lambda }}^{a}[X^{i},{\overline {\lambda }}^{b}]+{\frac {g^{2}}{2}}[X^{i},X^{j}]^{2}\right\},}$

где и являются константами связи (в частности, является калибровочной связью, а является углом инстантона ), напряженность поля связана с калибровочным полем и индексами i , j = 1, ..., 6, а также a , b = 1, ..., 4, и представляет собой структурные константы конкретной калибровочной группы. являются левыми фермионами Вейля , являются матрицами Паули , является калибровочно-ковариантной производной , являются действительными скалярами и представляет собой структурные константы группы R-симметрии SU(4), которая вращает четыре суперсимметрии. Как следствие теорем о неперенормировке , эта суперсимметричная теория поля фактически является суперконформной теорией поля . ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \theta _{I}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \theta _{I}}$ ${\displaystyle F_{\mu \nu }^{k}=\partial _{\mu }A_{\nu }^{k}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{k}+f^{klm}A_{\mu }^{l}A_{\nu }^{m}}$ ${\displaystyle A_{\nu }^{k}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \lambda ^{a}}$ ${\displaystyle \sigma ^{\mu }}$ ${\displaystyle D_{\mu }}$ ${\displaystyle X^{i}}$ ${\displaystyle C_{i}^{ab}}$

Десятимерный лагранжиан

Вышеуказанный лагранжиан можно найти, начав с более простого десятимерного лагранжиана

${\displaystyle L=\operatorname {tr} \left\{{\frac {1}{g^{2}}}F_{IJ}F^{IJ}-i{\bar {\lambda }}\Gamma ^{I}D_{I}\lambda \right\},}$

где I и J теперь пробегают от 0 до 9 и представляют собой гамма-матрицы размером 32 на 32 , за которыми следует добавление члена, с которым является топологическим членом . ${\displaystyle \Gamma ^{I}}$ ${\displaystyle (32=2^{10/2})}$ ${\displaystyle \theta _{I}}$

Компоненты калибровочного поля для i  = 4–9 становятся скалярами при исключении дополнительных измерений. Это также дает интерпретацию R-симметрии SO(6) как вращений в дополнительных компактных измерениях. ${\displaystyle A_{i}}$

При компактификации на T ⁶ все суперзаряды сохраняются, что дает N  = 4 в 4-мерной теории.

Интерпретация теории струн типа IIB представляет собой теорию мирового объема стека D3-бран .

S-дуальность

Константы связи и естественным образом объединяются в одну константу связи ${\displaystyle \theta _{I}}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle \tau :={\frac {\theta _{I}}{2\pi }}+{\frac {4\pi i}{g^{2}}}.}$

Теория имеет симметрии, которые сдвигаются на целые числа. Гипотеза S-дуальности утверждает, что также существует симметрия, которая отправляет, а также переключает группу в ее дуальную группу Ленглендса . ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau \mapsto {\frac {-1}{n_{G}\tau }}}$ ${\displaystyle G}$

Соответствие AdS/CFT

Эта теория также важна ^[1] в контексте голографического принципа . Существует дуальность между теорией струн типа IIB на пространстве AdS ₅ × S ⁵ (произведение 5-мерного пространства AdS с 5-мерной сферой ) и N  = 4 супер Янга–Миллса на 4-мерной границе AdS ₅ . Однако эта конкретная реализация соответствия AdS/CFT не является реалистичной моделью гравитации, поскольку гравитация в нашей Вселенной является 4-мерной. Несмотря на это, соответствие AdS/CFT является наиболее успешной реализацией голографического принципа, спекулятивной идеи о квантовой гравитации, первоначально предложенной Джерардом 'т Хоофтом , который расширял работу по термодинамике черных дыр, и была улучшена и продвинута в контексте теории струн Леонардом Сасскиндом .

Интегрируемость

Существуют доказательства того, что N = 4 суперсимметричная теория Янга–Миллса имеет интегрируемую структуру в пределе большого плоского N (см. ниже, что означает «плоский» в настоящем контексте). ^[9] По мере того, как число цветов (также обозначаемое N ) стремится к бесконечности, амплитуды масштабируются как , так что выживает только вклад рода 0 (плоский граф) . Плоские диаграммы Фейнмана — это графы, в которых ни один пропагатор не пересекает другой, в отличие от неплоских графов Фейнмана , где один или несколько пропагаторов пересекают другой. ^[10] Неплоский граф имеет меньшее число возможных калибровочных петель по сравнению с аналогичным плоским графом. Таким образом, неплоские графы подавляются факторами по сравнению с плоскими, которые, следовательно, доминируют в пределе большого N. Следовательно, плоская теория Янга–Миллса обозначает теорию в пределе большого N , где N обычно является числом цветов . Аналогично, плоский предел — это предел, в котором амплитуды рассеяния определяются диаграммами Фейнмана , которым можно придать структуру плоских графов. ^[11] В пределе большого N связь исчезает, и поэтому пертурбативный формализм хорошо подходит для вычислений с большим N. Поэтому плоские графы связаны с областью, в которой пертурбативные вычисления хорошо сходятся. ${\displaystyle N^{2-2g}}$ ${\displaystyle 1/N^{2-2g}}$ ${\displaystyle g}$

Бейсерт и др. ^[12] приводят обзорную статью, демонстрирующую, как в этой ситуации локальные операторы могут быть выражены через определенные состояния в спиновых цепочках (в частности, спиновой цепочке Гейзенберга ), но на основе большей супералгебры Ли, а не для обычного спина. Эти спиновые цепочки интегрируемы в том смысле, что их можно решить методом анзаца Бете . Они также строят действие связанного янгиана на амплитудах рассеяния . ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$

Нима Аркани-Хамед и др. также исследовали эту тему. Используя теорию твисторов , они находят описание ( формализм амплитуэдра ) в терминах положительного грассманиана . ^[13]

Связь с 11-мерной М-теорией

N  = 4 супер Янг-Миллс может быть выведен из более простой 10-мерной теории, и все же супергравитация и М-теория существуют в 11 измерениях. Связь заключается в том, что если калибровочная группа U( N ) SYM становится бесконечной, то она становится эквивалентной 11-мерной теории, известной как матричная теория . ^{[ требуется ссылка ]} ${\displaystyle N\rightarrow \infty }$

Смотрите также

• 4D N = 1 глобальная суперсимметрия
• 6D (2,0) суперконформная теория поля
• Расширенная суперсимметрия
• N = 1 суперсимметричная теория Янга–Миллса
• N = 8 супергравитация
• Теория Зайберга–Виттена

Ссылки

Цитаты

1. d'Hoker, Eric; Freedman, Daniel Z. (2004). "Суперсимметричные калибровочные теории и соответствие Ads/CFT". Strings, Branes and Extra Dimensions . pp. 3–159. arXiv : hep-th/0201253 . doi :10.1142/9789812702821_0001. ISBN 978-981-238-788-2. S2CID  119501374.
2. Мэтт фон Хиппель (21.05.2013). «Получение докторской степени путем изучения теории, которая, как мы знаем, неверна». Ars Technica .
3. Witten, E. (1978). "Интерпретация классической теории Янга-Миллса". Phys. Lett . 77B (4–5): 394–398. Bibcode :1978PhLB...77..394W. doi :10.1016/0370-2693(78)90585-3.
4. Harnad, J.; Hurtubise, J.; Légaré, M.; Shnider, S. (1985). "Уравнения связей и уравнения поля в суперсимметричной N = 3 теории Янга-Миллса". Ядерная физика . B256 : 609–620. Bibcode : 1985NuPhB.256..609H. doi : 10.1016/0550-3213(85)90410-9.
5. Witten, E. (1986). "Твистороподобное преобразование в десяти измерениях". Nuclear Physics . B266 (2): 245–264. Bibcode : 1986NuPhB.266..245W. doi : 10.1016/0550-3213(86)90090-8.
6. Harnad, J.; Shnider, S. (1986). «Ограничения и уравнения поля для десятимерной супертеории Янга-Миллса». Commun. Math. Phys . 106 (2): 183–199. Bibcode :1986CMaPh.106..183H. doi :10.1007/BF01454971. S2CID  122622189.
7. "N = 4: Максимальные частицы для максимального веселья", из блога 4 gravitons (2013)
8. Люк Вассинк (2009). "N = 4 Super Yang–Mills theory" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 2014-05-31 . Получено 2013-05-22 .
9. Аммон, Мартин; Эрдменгер, Йоханна (2015). «Интегрируемость и амплитуды рассеяния». Калибровочная/гравитационная дуальность . С. 240–272. doi :10.1017/CBO9780511846373.008. ISBN 9780511846373.
10. "Планарный против непланарного: красочная история", из блога 4 gravitons (2013)
11. плоский предел в nLab
12. Бейсерт, Никлас (январь 2012 г.). «Обзор интегрируемости AdS/CFT: обзор». Письма по математической физике . 99 ​​(1–3): 425. arXiv : 1012.4000 . Bibcode :2012LMaPh..99..425K. doi :10.1007/s11005-011-0516-7. S2CID  254796664.
13. Аркани-Хамед, Нима; Бурджайли, Якоб Л.; Качазо, Фредди; Гончаров, Александр Б.; Постников, Александр; Трнка, Ярослав (2012). «Амплитуды рассеяния и положительный грассманиан». arXiv : 1212.5605 . doi :10.14288/1.0043020. S2CID  119599921. {{cite journal}}: Цитировать журнал требует |journal=( помощь )

Источники

• Капустин, Антон; Виттен, Эдвард (2007). «Электромагнитная дуальность и геометрическая программа Ленглендса». Сообщения по теории чисел и физике . 1 (1): 1–236. arXiv : hep-th/0604151 . Bibcode :2007CNTP....1....1K. doi :10.4310/cntp.2007.v1.n1.a1. S2CID  30505126.