Сферическая тригонометрия

Сферическая тригонометрия — раздел сферической геометрии , изучающий метрические соотношения между сторонами и углами сферических треугольников , традиционно выражаемые с помощью тригонометрических функций . На сфере геодезические линии — это большие окружности . Сферическая тригонометрия имеет большое значение для вычислений в астрономии , геодезии и навигации .

Истоки сферической тригонометрии в греческой математике и основные разработки в исламской математике подробно обсуждаются в Истории тригонометрии и математики в средневековом исламе . Предмет получил развитие в раннее Новое время с важными разработками Джона Нейпира , Деламбра и других и достиг по существу завершенной формы к концу девятнадцатого века с публикацией учебника Тодхантера Сферическая тригонометрия для использования в колледжах и школах . ^[1] С тех пор значительными разработками стали применение векторных методов, методов кватернионов и использование численных методов.

Предварительные

Сферические многоугольники

Сферический многоугольник — многоугольник на поверхности сферы. Его стороны — дуги больших окружностей — сферического геометрического эквивалента отрезков в планарной геометрии .

Такие многоугольники могут иметь любое количество сторон больше 1. Двусторонние сферические многоугольники — lunes , также называемые digons или bi-angles — ограничены двумя дугами большого круга: знакомым примером является изогнутая, обращенная наружу поверхность сегмента апельсина. Три дуги служат для определения сферического треугольника, основного предмета этой статьи. Многоугольники с большим количеством сторон (4-сторонние сферические четырехугольники, 5-сторонние сферические пятиугольники и т. д.) определяются аналогичным образом. Аналогично своим плоским аналогам, сферические многоугольники с более чем 3 сторонами всегда можно рассматривать как композицию сферических треугольников.

Одним из сферических многоугольников с интересными свойствами является пентаграмма мирификум , пятисторонний сферический звездчатый многоугольник с прямым углом в каждой вершине.

Начиная с этого места статьи, обсуждение будет ограничено сферическими треугольниками, именуемыми просто треугольниками .

Обозначение

Вершины и углы при вершинах треугольника обозначаются одинаковыми заглавными буквами $A$ , $B$ и $C.$
Стороны обозначаются строчными буквами: $a$ , $b$ и $c$ . Радиус сферы равен 1, поэтому длины сторон и строчные углы эквивалентны (см. длину дуги).
Угол $A$ (соответственно $B$ и $C$ ) можно рассматривать либо как угол между двумя плоскостями, пересекающими сферу в вершине A $,$ либо, что эквивалентно, как угол между касательными дуг большого круга в точке их пересечения в вершине .
Углы выражаются в радианах . Углы правильных сферических треугольников (по соглашению) меньше $π$ , так что (Тодхантер, ^[1] Ст.22,32). $\пи <A+B+C<3\пи$

В частности, сумма углов сферического треугольника строго больше суммы углов треугольника, определенного на евклидовой плоскости, которая всегда равна ровно $π$ радиан.

Стороны также выражаются в радианах. Сторона (рассматриваемая как дуга большого круга) измеряется углом, который она образует в центре. На единичной сфере эта радианная мера численно равна длине дуги. По соглашению, стороны правильных сферических треугольников меньше $π$ , так что (Todhunter, ^[1] Art.22,32). $0<a+b+c<2\пи$
Радиус сферы принимается за единицу. Для конкретных практических задач на сфере радиуса $R$ измеренные длины сторон должны быть разделены на $R$ перед использованием тождеств, приведенных ниже. Аналогично, после вычисления на единичной сфере стороны a $,$ b $и$ c $должны$ быть умножены на $R.$

Полярные треугольники

Полярный треугольник , связанный с треугольником $△ ABC,$ определяется следующим образом. Рассмотрим большой круг, содержащий сторону $BC$ . Этот большой круг определяется пересечением диаметральной плоскости с поверхностью. Проведем нормаль к этой плоскости в центре: она пересекает поверхность в двух точках, а точка, которая находится по ту же сторону плоскости, что и $A$ , (условно) называется полюсом $A$ и обозначается $A'$ . Точки $B'$ и $C'$ определяются аналогично.

Треугольник $△ A'B'C'$ является полярным треугольником, соответствующим треугольнику $△ ABC$ . Очень важная теорема (Todhunter, ^[1] Art.27) доказывает, что углы и стороны полярного треугольника определяются следующим образом: Поэтому, если какое-либо тождество доказано для $△$ $ABC$ , то мы можем немедленно вывести второе тождество, применив первое тождество к полярному треугольнику, выполнив указанные выше замены. Вот как дополнительные уравнения косинусов выводятся из уравнений косинусов. Аналогично тождества для квадрантного треугольника могут быть выведены из тождеств для прямоугольного треугольника. Полярный треугольник полярного треугольника является исходным треугольником. ${\begin{alignedat}{3}A'&=\pi -a,&\qquad B'&=\pi -b,&\qquad C'&=\pi -c,\\a'&=\pi -A,&b'&=\pi -B,&c'&=\pi -C.\end{alignedat}}$

Теоремы косинусов и синусов

Правила косинуса

Теорема косинусов является фундаментальным тождеством сферической тригонометрии: все другие тождества, включая теорему синусов, могут быть выведены из теоремы косинусов: ${\begin{aligned}\cos a&=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A,\\[2pt]\cos b&=\cos c\cos a+\sin c\sin a\cos B,\\[2pt]\cos c&=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C.\end{aligned}}$

Эти тождества обобщают правило косинусов плоской тригонометрии , которому они асимптотически эквивалентны в пределе малых внутренних углов. (На единичной сфере, если задано и т. д.; см. Сферический закон косинусов .) $a,b,c\rightarrow 0$ $\sin a\approx a$ $(\cos a-\cos b)^{2}\approx 0$

Правила синусов

Сферический закон синусов задается формулой Эти тождества приближают правило синусов плоской тригонометрии , когда стороны намного меньше радиуса сферы. ${\frac {\sin A}{\sin a}}={\frac {\sin B}{\sin b}}={\frac {\sin C}{\sin c}}.$

Вывод теоремы косинусов

Формулы сферических косинусов были первоначально доказаны элементарной геометрией и правилом плоских косинусов (Todhunter, ^[1] Статья 37). Он также дает вывод с использованием простой координатной геометрии и правила плоских косинусов (статья 60). Подход, изложенный здесь, использует более простые векторные методы. (Эти методы также обсуждаются в Сферическом законе косинусов .)

Рассмотрим три единичных вектора $OA \to, OB \to, OC \to ,$ проведенных из начала координат к вершинам треугольника (на единичной сфере). Дуга $BC$ стягивает угол величиной $a$ в центре и, следовательно, $OB \to \cdot OC \to = cos a$ . Введем декартов базис с $OA \to$ вдоль оси $z$ и $OB \to$ в плоскости $xz$ , образующий угол $c$ с осью $z$ . Вектор $OC \to$ проецируется на $ON$ в плоскости $xy$ , а угол между $ON$ и осью $x$ равен $A$ . Следовательно, три вектора имеют компоненты:

${\begin{aligned}{\vec {OA}}:&\quad (0,\,0,\,1)\\{\vec {OB}}:&\quad (\sin c,\,0,\,\cos c)\\{\vec {OC}}:&\quad (\sin b\cos A,\,\sin b\sin A,\,\cos b).\end{aligned}}$

Скалярное произведение $OB \to \cdot OC \to$ в терминах компонентов равно Приравнивая два выражения для скалярного произведения, получаем Это уравнение можно переписать, чтобы получить явные выражения для угла в терминах сторон: ${\vec {OB}}\cdot {\vec {OC}}=\sin c\sin b\cos A+\cos c\cos b.$ $\cos a=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A.$ $\cos A={\frac {\cos a-\cos b\cos c}{\sin b\sin c}}.$

Остальные правила косинусов получаются путем циклических перестановок.

Вывод теоремы синусов

Этот вывод приведен в работе Тодхантера ^[1] (статья 40). Из тождества и явного выражения для $cos$ $A$ , данного непосредственно выше, поскольку правая часть инвариантна относительно циклической перестановки $a$ , $b$ и $c$ , немедленно следует сферическая теорема синусов. $\sin ^{2}A=1-\cos ^{2}A$ ${\begin{aligned}\sin ^{2}A&=1-\left({\frac {\cos a-\cos b\cos c}{\sin b\sin c}}\right)^{2}\\[5pt]&={\frac {(1-\cos ^{2}b)(1-\cos ^{2}c)-(\cos a-\cos b\cos c)^{2}}{\sin ^{2}\!b\,\sin ^{2}\!c}}\\[5pt]{\frac {\sin A}{\sin a}}&={\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\!a-\cos ^{2}\!b-\cos ^{2}\!c+2\cos a\cos b\cos c}}{\sin a\sin b\sin c}}.\end{aligned}}$

Альтернативные производные

Существует много способов вывода фундаментальных правил косинуса и синуса и других правил, разработанных в следующих разделах. Например, Тодхантер ^[1] приводит два доказательства правила косинуса (статьи 37 и 60) и два доказательства правила синуса (статьи 40 и 42). Страница о сферическом законе косинусов дает четыре различных доказательства правила косинуса. Учебники по геодезии ^[2] и сферической астрономии ^[3] дают различные доказательства, а онлайн-ресурсы MathWorld предоставляют еще больше. ^[4] Существуют еще более экзотические выводы, такие как вывод Баннерджи ^[5] , который выводит формулы с помощью линейной алгебры проекционных матриц, а также цитирует методы в дифференциальной геометрии и групповой теории вращений.

Вывод правила косинусов, представленный выше, имеет преимущества простоты и непосредственности, а вывод правила синусов подчеркивает тот факт, что не требуется отдельного доказательства, кроме правила косинусов. Однако приведенную выше геометрию можно использовать для независимого доказательства правила синусов. Скалярное тройное произведение $OA \to \cdot (OB \to \times OC \to)$ оценивается как $sin b sin c sin A$ в показанном базисе. Аналогично, в базисе, ориентированном осью $z$ вдоль $OB \to$ , тройное произведение $OB \to \cdot (OC \to \times OA \to)$ оценивается как $sin c sin a sin B$ . Следовательно, инвариантность тройного произведения относительно циклических перестановок дает $sin b sin A = sin a sin B$ , что является первым из правил синусов. См. криволинейные вариации закона синусов , чтобы увидеть подробности этого вывода.

Идентичности

Дополнительные правила косинуса

Применение теоремы косинусов к полярному треугольнику дает (Тодхантер, ^[1] Статья 47), т.е. замена $A$ на $π - a$ , $a$ на $π - A$ и т.д., ${\begin{aligned}\cos A&=-\cos B\,\cos C+\sin B\,\sin C\,\cos a,\\\cos B&=-\cos C\,\cos A+\sin C\,\sin A\,\cos b,\\\cos C&=-\cos A\,\cos B+\sin A\,\sin B\,\cos c.\end{aligned}}$

Формулы котангенса из четырех частей

Шесть частей треугольника можно записать в циклическом порядке как ( $aCbAcB$ ). Формулы котангенса, или четырехчастные, связывают две стороны и два угла, образуя четыре последовательные части вокруг треугольника, например ( $aCbA$ ) или $BaCb$ ). В таком наборе есть внутренние и внешние части: например, в наборе ( $BaCb$ ) внутренний угол равен $C$ , внутренняя сторона равна $a$ , внешний угол равен $B$ , внешняя сторона равна $b$ . Правило котангенса можно записать как (Todhunter, ^[1] Art.44) , а шесть возможных уравнений (соответствующий набор показан справа): Чтобы доказать первую формулу, начните с первого правила косинусов и в правой части подставьте $cos$ $c$ из третьего правила косинусов: Результат следует за делением на $sin$ $a$ $sin$ $b$ . Аналогичные методы с двумя другими правилами косинусов дают CT3 и CT5. Остальные три уравнения следуют, применяя правила 1, 3 и 5 к полярному треугольнику. $\cos \!{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}{\text{inner}}\\{\text{side}}\end{smallmatrix}}{\Bigr )}\cos \!{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}{\text{inner}}\\{\text{angle}}\end{smallmatrix}}{\Bigr )}=\cot \!{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}{\text{outer}}\\{\text{side}}\end{smallmatrix}}{\Bigr )}\sin \!{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}{\text{inner}}\\{\text{side}}\end{smallmatrix}}{\Bigr )}-\cot \!{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}{\text{outer}}\\{\text{angle}}\end{smallmatrix}}{\Bigr )}\sin \!{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}{\text{inner}}\\{\text{angle}}\end{smallmatrix}}{\Bigr )},$ ${\begin{alignedat}{5}{\text{(CT1)}}&&\qquad \cos b\,\cos C&=\cot a\,\sin b-\cot A\,\sin C\qquad &&(aCbA)\\[0ex]{\text{(CT2)}}&&\cos b\,\cos A&=\cot c\,\sin b-\cot C\,\sin A&&(CbAc)\\[0ex]{\text{(CT3)}}&&\cos c\,\cos A&=\cot b\,\sin c-\cot B\,\sin A&&(bAcB)\\[0ex]{\text{(CT4)}}&&\cos c\,\cos B&=\cot a\,\sin c-\cot A\,\sin B&&(AcBa)\\[0ex]{\text{(CT5)}}&&\cos a\,\cos B&=\cot c\,\sin a-\cot C\,\sin B&&(cBaC)\\[0ex]{\text{(CT6)}}&&\cos a\,\cos C&=\cot b\,\sin a-\cot B\,\sin C&&(BaCb)\end{alignedat}}$ ${\begin{aligned}\cos a&=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A\\&=\cos b\ (\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C)+\sin b\sin C\sin a\cot A\\\cos a\sin ^{2}b&=\cos b\sin a\sin b\cos C+\sin b\sin C\sin a\cot A.\end{aligned}}$

Формулы половинного угла и половинной стороны

С и $2s=(a+b+c)$ $2S=(A+B+C),$ ${\begin{alignedat}{5}\sin {\tfrac {1}{2}}A&={\sqrt {\frac {\sin(s-b)\sin(s-c)}{\sin b\sin c}}}&\qquad \qquad \sin {\tfrac {1}{2}}a&={\sqrt {\frac {-\cos S\cos(S-A)}{\sin B\sin C}}}\\[2ex]\cos {\tfrac {1}{2}}A&={\sqrt {\frac {\sin s\sin(s-a)}{\sin b\sin c}}}&\cos {\tfrac {1}{2}}a&={\sqrt {\frac {\cos(S-B)\cos(S-C)}{\sin B\sin C}}}\\[2ex]\tan {\tfrac {1}{2}}A&={\sqrt {\frac {\sin(s-b)\sin(s-c)}{\sin s\sin(s-a)}}}&\tan {\tfrac {1}{2}}a&={\sqrt {\frac {-\cos S\cos(S-A)}{\cos(S-B)\cos(S-C)}}}\end{alignedat}}$

Еще двенадцать тождеств следуют путем циклической перестановки.

Доказательство (Тодхантер, ^[1] Статья 49) первой формулы начинается с тождества, использующего теорему косинусов для выражения $A$ через стороны и заменяющего сумму двух косинусов произведением. (См. тождества преобразования суммы в произведение .) Вторая формула начинается с тождества, третья представляет собой частное, а остаток получается путем применения результатов к полярному треугольнику. $2\sin ^{2}\!{\tfrac {A}{2}}=1-\cos A,$ $2\cos ^{2}\!{\tfrac {A}{2}}=1+\cos A,$

Аналогии Деламбре

Аналогии Деламбра (также называемые аналогиями Гаусса) были опубликованы независимо Деламбром, Гауссом и Мольвейде в 1807–1809 годах. ^[6]

${\begin{aligned}{\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(A+B)}{\cos {\tfrac {1}{2}}C}}={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(a-b)}{\cos {\tfrac {1}{2}}c}}&\qquad \qquad &{\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(A-B)}{\cos {\tfrac {1}{2}}C}}={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(a-b)}{\sin {\tfrac {1}{2}}c}}\\[2ex]{\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(A+B)}{\sin {\tfrac {1}{2}}C}}={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(a+b)}{\cos {\tfrac {1}{2}}c}}&\qquad &{\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(A-B)}{\sin {\tfrac {1}{2}}C}}={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(a+b)}{\sin {\tfrac {1}{2}}c}}\end{aligned}}$ Еще восемь тождеств следуют путем циклической перестановки.

Доказано путем раскрытия числителей и использования формул половинного угла. (Тодхантер, ^[1] Ст.54 и Деламбр ^[7] )

Аналогии Нейпира

${\begin{aligned}\tan {\tfrac {1}{2}}(A+B)={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(a-b)}{\cos {\tfrac {1}{2}}(a+b)}}\cot {\tfrac {1}{2}}C&\qquad &\tan {\tfrac {1}{2}}(a+b)={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(A-B)}{\cos {\tfrac {1}{2}}(A+B)}}\tan {\tfrac {1}{2}}c\\[2ex]\tan {\tfrac {1}{2}}(A-B)={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(a-b)}{\sin {\tfrac {1}{2}}(a+b)}}\cot {\tfrac {1}{2}}C&\qquad &\tan {\tfrac {1}{2}}(a-b)={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(A-B)}{\sin {\tfrac {1}{2}}(A+B)}}\tan {\tfrac {1}{2}}c\end{aligned}}$

Еще восемь тождеств следуют путем циклической перестановки.

Эти тождества следуют из деления формул Деламбра. (Тодхантер, ^[1] Статья 52)

Взяв эти частные, получаем закон касательных , впервые сформулированный персидским математиком Насир ад-Дином ат-Туси (1201–1274),

${\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}(A-B)}{\tan {\tfrac {1}{2}}(A+B)}}={\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}(a-b)}{\tan {\tfrac {1}{2}}(a+b)}}$

Правила Непера для прямоугольных сферических треугольников

Когда один из углов, скажем $C$ , сферического треугольника равен $π$ /2, различные тождества, приведенные выше, значительно упрощаются. Существует десять тождеств, связывающих три элемента, выбранных из множества $a$ , $b$ , $c$ , $A$ , и $B$ .

Нейпир ^[8] предоставил элегантную мнемоническую схему для десяти независимых уравнений: эта мнемоника называется кругом Нейпира или пятиугольником Нейпира (когда круг на рисунке выше, справа, заменен пятиугольником).

Сначала запишите шесть частей треугольника (три угла вершины, три угла дуги для сторон) в том порядке, в котором они встречаются вокруг любой цепи треугольника: для треугольника, показанного выше слева, движение по часовой стрелке, начиная с $a$ , дает $aCbAcB$ . Затем замените части, которые не примыкают к $C$ (то есть $A$ , $c$ и $B$ ), их дополнениями, а затем удалите угол $C$ из списка. Оставшиеся части затем можно нарисовать как пять упорядоченных, равных частей пентаграммы или круга, как показано на рисунке выше (справа). Для любого выбора из трех смежных частей одна (средняя часть ) будет примыкать к двум частям и находиться напротив двух других частей. Десять правил Непера задаются как

синус средней части = произведение тангенсов смежных частей
синус средней части = произведению косинусов противолежащих частей

Ключ к запоминанию того, какая тригонометрическая функция соответствует какой части, заключается в том, чтобы посмотреть на первую гласную вида части: средние части берут синус, соседние части берут тангенс, а противоположные части берут косинус. Например, начиная с сектора, содержащего $a,$ мы имеем: Полный набор правил для прямоугольного сферического треугольника (Todhunter, ^[1] Art.62) ${\begin{aligned}\sin a&=\tan({\tfrac {\pi }{2}}-B)\,\tan b\\[2pt]&=\cos({\tfrac {\pi }{2}}-c)\,\cos({\tfrac {\pi }{2}}-A)\\[2pt]&=\cot B\,\tan b\\[4pt]&=\sin c\,\sin A.\end{aligned}}$ ${\begin{alignedat}{4}&{\text{(R1)}}&\qquad \cos c&=\cos a\,\cos b,&\qquad \qquad &{\text{(R6)}}&\qquad \tan b&=\cos A\,\tan c,\\&{\text{(R2)}}&\sin a&=\sin A\,\sin c,&&{\text{(R7)}}&\tan a&=\cos B\,\tan c,\\&{\text{(R3)}}&\sin b&=\sin B\,\sin c,&&{\text{(R8)}}&\cos A&=\sin B\,\cos a,\\&{\text{(R4)}}&\tan a&=\tan A\,\sin b,&&{\text{(R9)}}&\cos B&=\sin A\,\cos b,\\&{\text{(R5)}}&\tan b&=\tan B\,\sin a,&&{\text{(R10)}}&\cos c&=\cot A\,\cot B.\end{alignedat}}$

Правила Непера для квадрантных треугольников

Квадрантный сферический треугольник определяется как сферический треугольник, в котором одна из сторон стягивает угол $π$ /2 радиан в центре сферы: на единичной сфере сторона имеет длину $π$ /2. В случае, если сторона $c$ имеет длину $π$ /2 на единичной сфере, уравнения, управляющие оставшимися сторонами и углами, могут быть получены путем применения правил для прямоугольного сферического треугольника из предыдущего раздела к полярному треугольнику $△ A'B'C'$ со сторонами $a', b', c'$ такими, что $A' = π - a$ , $a' = π - A$ и т. д. Результаты таковы: ${\begin{alignedat}{4}&{\text{(Q1)}}&\qquad \cos C&=-\cos A\,\cos B,&\qquad \qquad &{\text{(Q6)}}&\qquad \tan B&=-\cos a\,\tan C,\\&{\text{(Q2)}}&\sin A&=\sin a\,\sin C,&&{\text{(Q7)}}&\tan A&=-\cos b\,\tan C,\\&{\text{(Q3)}}&\sin B&=\sin b\,\sin C,&&{\text{(Q8)}}&\cos a&=\sin b\,\cos A,\\&{\text{(Q4)}}&\tan A&=\tan a\,\sin B,&&{\text{(Q9)}}&\cos b&=\sin a\,\cos B,\\&{\text{(Q5)}}&\tan B&=\tan b\,\sin A,&&{\text{(Q10)}}&\cos C&=-\cot a\,\cot b.\end{alignedat}}$

Правила из пяти частей

Подставляя вторую теорему косинусов в первую и упрощая, получаем: Отказ от множителя $sin$ $c$ дает ${\begin{aligned}\cos a&=(\cos a\,\cos c+\sin a\,\sin c\,\cos B)\cos c+\sin b\,\sin c\,\cos A\\[4pt]\cos a\,\sin ^{2}c&=\sin a\,\cos c\,\sin c\,\cos B+\sin b\,\sin c\,\cos A\end{aligned}}$ $\cos a\sin c=\sin a\,\cos c\,\cos B+\sin b\,\cos A$

Подобные замены в других формулах косинуса и дополнительного косинуса дают большое разнообразие правил из 5 частей. Они редко используются.

Уравнение Каньоли

Умножение первой теоремы косинусов на $cos A$ дает Аналогично умножение первой дополнительной теоремы косинусов на $cos$ $a$ дает Вычитая два и отмечая, что это следует из теоремы синусов, получаем уравнение Каньоли , которое представляет собой соотношение между шестью частями сферического треугольника. ^[9] $\cos a\cos A=\cos b\,\cos c\,\cos A+\sin b\,\sin c-\sin b\,\sin c\,\sin ^{2}A.$ $\cos a\cos A=-\cos B\,\cos C\,\cos a+\sin B\,\sin C-\sin B\,\sin C\,\sin ^{2}a.$ $\sin b\,\sin c\,\sin ^{2}A=\sin B\,\sin C\,\sin ^{2}a$ $\sin b\,\sin c+\cos b\,\cos c\,\cos A=\sin B\,\sin C-\cos B\,\cos C\,\cos a$

Решение треугольников

Наклонные треугольники

Решение треугольников является основной целью сферической тригонометрии: если даны три, четыре или пять элементов треугольника, определите остальные. Случай пяти данных элементов тривиален, требуя только одного применения правила синуса. Для четырех данных элементов есть один нетривиальный случай, который обсуждается ниже. Для трех данных элементов есть шесть случаев: три стороны, две стороны и включенный или противолежащий угол, два угла и включенная или противолежащая сторона или три угла. (Последний случай не имеет аналога в плоской тригонометрии.) Ни один единый метод не решает все случаи. На рисунке ниже показаны семь нетривиальных случаев: в каждом случае заданные стороны отмечены перекладиной, а заданные углы — дугой. (Заданные элементы также перечислены под треугольником). В сводной нотации здесь, такой как ASA, A относится к заданному углу, а S относится к заданной стороне, а последовательность A и S в нотации относится к соответствующей последовательности в треугольнике.

Случай 1: даны три стороны (SSS). Теорема косинусов может быть использована для определения углов $A$ , $B$ и $C$ , но, чтобы избежать двусмысленности, предпочтительны формулы половинного угла.
Случай 2: даны две стороны и прилежащий угол (SAS). Теорема косинусов дает $a$ , и затем мы возвращаемся к случаю 1.
Случай 3: даны две стороны и противолежащий угол (SSA). Теорема синусов дает $C$ , а затем мы имеем Случай 7. Существует одно или два решения.
Случай 4: даны два угла и включенная сторона (ASA). Четырехчастные формулы котангенса для множеств ( $cBaC$ ) и ( $BaCb$ ) дают $c$ и $b$ , тогда $A$ следует из правила синусов.
Случай 5: даны два угла и противолежащая сторона (AAS). Теорема синусов дает $b$ , и тогда мы имеем Случай 7 (повернутый). Есть одно или два решения.
Случай 6: даны три угла (AAA). Дополнительную формулу косинуса можно использовать для определения сторон $a$ , $b$ и $c$ , но, чтобы избежать двусмысленности, предпочтительны формулы для половинных сторон.
Случай 7: даны два угла и две противоположные стороны (SSAA). Используйте аналогии Нейпира для $a$ и $A$ ; или используйте случай 3 (SSA) или случай 5 (AAS).

Перечисленные здесь методы решения не являются единственными возможными вариантами: возможны и многие другие. В общем случае лучше выбирать методы, которые избегают взятия арксинуса из-за возможной неоднозначности между углом и его дополнением. Использование формул половинного угла часто целесообразно, поскольку половинные углы будут меньше $π$ /2 и, следовательно, свободны от неоднозначности. Полное обсуждение есть в Todhunter. Статья Solution of triangles#Solvingspheric triangles представляет варианты этих методов с немного иной нотацией.

Полное обсуждение решения косоугольных треугольников есть в книге Тодхантера. ^[1]^{: Глава VI.} См. также обсуждение в книге Росса. ^[10] Насир ад-Дин ат-Туси был первым, кто перечислил шесть различных случаев (2-7 на диаграмме) прямоугольного треугольника в сферической тригонометрии. ^[11]

Решение с помощью прямоугольных треугольников

Другой подход — разбить треугольник на два прямоугольных треугольника. Например, возьмем пример Case 3, где даны $b$ , $c$ и $B. Постройте большую окружность из$ $A$ , которая перпендикулярна стороне $BC$ в точке $D.$ Используйте правила Непера для решения треугольника $△ ABD$ : используйте $c$ и $B$ для нахождения сторон $AD$ и $BD$ и угла $∠ BAD$ . Затем используйте правила Непера для решения треугольника $△ ACD$ : то есть используйте $AD$ и $b$ для нахождения стороны $DC$ и углов $C$ и $∠ DAC$ . Угол $A$ и сторона $a$ получаются путем сложения.

Числовые соображения

Не все полученные правила численно надежны в экстремальных примерах, например, когда угол приближается к нулю или $π$ . Проблемы и решения, возможно, придется тщательно изучить, особенно при написании кода для решения произвольного треугольника.

Площадь и сферический избыток

Рассмотрим $N$ -сторонний сферический многоугольник и пусть $A n$ обозначает $n$ -й внутренний угол. Площадь такого многоугольника определяется как (Todhunter, ^[1] Art.99) ${{\text{Area of polygon}} \atop {\text{(on the unit sphere)}}}\equiv E_{N}=\left(\sum _{n=1}^{N}A_{n}\right)-(N-2)\pi .$

Для случая сферического треугольника с углами $A$ , $B$ и $C$ это сводится к теореме Жирара , где $E$ — величина, на которую сумма углов превышает $π$ радиан, называемая сферическим избытком треугольника. Эта теорема названа в честь ее автора, Альберта Жирара . ^[12] Более раннее доказательство было получено, но не опубликовано, английским математиком Томасом Харриотом . На сфере радиуса $R$ оба приведенных выше выражения площади умножаются на $R2$ $.$ Определение избытка не зависит от радиуса сферы. ${{\text{Area of triangle}} \atop {\text{(on the unit sphere)}}}\equiv E=E_{3}=A+B+C-\pi ,$

Обратный результат можно записать как

$A+B+C=\pi +{\frac {4\pi \times {\text{Area of triangle}}}{\text{Area of the sphere}}}.$

Поскольку площадь треугольника не может быть отрицательной, сферический избыток всегда положителен. Он не обязательно мал, поскольку сумма углов может достигать 5 $π$ (3 $π$ для правильных углов). Например, октант сферы — это сферический треугольник с тремя прямыми углами, так что избыток равен $π$ /2. В практических приложениях он часто мал: например, треугольники геодезической съемки обычно имеют сферический избыток намного меньше 1' дуги. ^[13] На Земле избыток равностороннего треугольника со сторонами 21,3 км (и площадью 393 км2 ⁾ составляет приблизительно 1 угловую секунду.

Существует много формул для избытка. Например, Тодхантер ^[1] (ст. 101—103) приводит десять примеров, включая пример Л'Юилье : где $\tan {\tfrac {1}{4}}E={\sqrt {\tan {\tfrac {1}{2}}s\,\tan {\tfrac {1}{2}}(s-a)\,\tan {\tfrac {1}{2}}(s-b)\,\tan {\tfrac {1}{2}}(s-c)}}$ $s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)$

Поскольку некоторые треугольники плохо характеризуются своими ребрами (например, если ), часто лучше использовать формулу для избытка в терминах двух ребер и их внутреннего угла ${\textstyle a=b\approx {\frac {1}{2}}c}$ $\tan {\tfrac {1}{2}}E={\frac {\tan {\frac {1}{2}}a\tan {\frac {1}{2}}b\sin C}{1+\tan {\frac {1}{2}}a\tan {\frac {1}{2}}b\cos C}}.$

Если треугольник $△ ABC$ — прямоугольный треугольник с прямым углом $C$ , то $cos C = 0$ и $sin C = 1$ , поэтому это сводится к $\tan {\tfrac {1}{2}}E=\tan {\tfrac {1}{2}}a\tan {\tfrac {1}{2}}b.$

Дефицит угла определяется аналогично для гиперболической геометрии .

От широты и долготы

Сферический избыток сферического четырехугольника, ограниченного экватором, двумя меридианами долготы и и дугой большого круга между двумя точками с долготой и широтой и равен $\lambda _{1}$ $\lambda _{2},$ $(\lambda _{1},\varphi _{1})$ $(\lambda _{2},\varphi _{2})$ $\tan {\tfrac {1}{2}}E_{4}={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(\varphi _{2}+\varphi _{1})}{\cos {\tfrac {1}{2}}(\varphi _{2}-\varphi _{1})}}\tan {\tfrac {1}{2}}(\lambda _{2}-\lambda _{1}).$

Этот результат получен из одной из аналогий Непера. В пределе, где все малы, это сводится к знакомой трапециевидной области, . $\varphi _{1},\varphi _{2},\lambda _{2}-\lambda _{1}$ ${\textstyle E_{4}\approx {\frac {1}{2}}(\varphi _{2}+\varphi _{1})(\lambda _{2}-\lambda _{1})}$

Площадь многоугольника может быть рассчитана из отдельных четырехугольников указанного выше типа, из (аналогично) отдельного треугольника, ограниченного сегментом многоугольника и двумя меридианами, ^[14] с помощью линейного интеграла с теоремой Грина , ^[15] или с помощью равновеликой проекции, как это обычно делается в ГИС. Другие алгоритмы по-прежнему могут быть использованы с длинами сторон, рассчитанными с помощью формулы расстояния по большому кругу .

Смотрите также

Ссылки

^ abcdefghijklmnop Тодхантер, И. (1886). Сферическая тригонометрия (5-е изд.). Макмиллан. Архивировано из оригинала 2020-04-14 . Получено 2013-07-28 .
^ Кларк, Александр Росс (1880). Геодезия. Оксфорд: Clarendon Press. OCLC 2484948 – через Интернет-архив .
^ Смарт, В. М. (1977). Учебник по сферической астрономии (6-е изд.). Cambridge University Press. Глава 1 – через Интернет- архив .
^ Weisstein, Eric W. "Сферическая тригонометрия". MathWorld . Получено 8 апреля 2018 г.
^ Банерджи, Судипто (2004), «Пересмотр сферической тригонометрии с ортогональными проекторами», The College Mathematics Journal , 35 (5), Математическая ассоциация Америки: 375–381, doi : 10.1080/07468342.2004.11922099, JSTOR 4146847, S2CID 122277398, заархивировано из оригинала 22.07.2020 , извлечено 10.01.2016
↑ Тодхантер, Айзек (1873). «Заметка об истории некоторых формул в сферической тригонометрии». The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science . 45 (298): 98–100. doi :10.1080/14786447308640820.
^ Delambre, JBJ (1807). Connaissance des Tems 1809. стр. 445. Архивировано из оригинала 2020-07-22 . Получено 2016-05-14 .
^ Нэпьер, Дж (1614). Мирифичи Логарифморум Канонис Конструктио. п. 50. Архивировано из оригинала 30 апреля 2013 г. Проверено 14 мая 2016 г.Перевод 1889 года « Построение чудесного канона логарифмов» доступен в виде электронной книги от Abe Books. Архивировано 03.03.2020 на Wayback Machine.
^ Шовене, Уильям (1867). Трактат о плоской и сферической тригонометрии. Филадельфия: JB Lippincott & Co. стр. 165. Архивировано из оригинала 2021-07-11 . Получено 2021-07-11 .
^ Росс, Дебра Энн. Мастер математики: тригонометрия , Career Press, 2002.
^ О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Насир ад-Дин ат-Туси», Архив истории математики Мактьютора , Университет Сент-Эндрюс«Одним из важнейших математических вкладов ат-Туси было создание тригонометрии как самостоятельной математической дисциплины, а не просто инструмента для астрономических приложений. В «Трактате о четырехугольнике» ат-Туси дал первое сохранившееся изложение всей системы плоской и сферической тригонометрии. Эта работа действительно является первой в истории по тригонометрии как независимой ветви чистой математики и первой, в которой изложены все шесть случаев для прямоугольного сферического треугольника».
^ Другое доказательство теоремы Жирара можно найти в [1]. Архивировано 31 октября 2012 г. на Wayback Machine .
^ Это следует из теоремы Лежандра о сферических треугольниках, когда площадь треугольника мала по сравнению с площадью поверхности всей Земли; см. Кларк, Александр Росс (1880). Геодезия. Clarendon Press.(Главы 2 и 9).
^ Чемберлен, Роберт Г.; Дюкетт, Уильям Х. (17 апреля 2007 г.). Некоторые алгоритмы для многоугольников на сфере. Ежегодное собрание Ассоциации американских географов. Лаборатория реактивного движения NASA. Архивировано из оригинала 22 июля 2020 г. Получено 7 августа 2020 г.
^ "Площадь поверхности многоугольника на сфере или эллипсоиде – MATLAB areaint". www.mathworks.com . Архивировано из оригинала 2021-05-01 . Получено 2021-05-01 .

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Сферическая тригонометрия». MathWorld .более полный список идентичностей, с некоторыми выводами
Вайсштейн, Эрик В. «Сферический треугольник». MathWorld .более полный список идентичностей, с некоторыми выводами
TriSph Бесплатное программное обеспечение для решения сферических треугольников, настраиваемое для различных практических приложений и настроенное для гномонических задач.
"Revisiting Spherical Trigonometry with Orthogonal Projectors" Судипто Баннерджи. В статье выводятся сферические законы косинусов и синусов с использованием элементарной линейной алгебры и проекционных матриц.
«Визуальное доказательство теоремы Жирара». Проект демонстраций Вольфрама .автор: Окей Арик
«Книга наставлений о девиантных и простых плоскостях», рукопись на арабском языке, датируемая 1740 годом, в которой рассказывается о сферической тригонометрии с диаграммами.
Некоторые алгоритмы для многоугольников на сфере Роберт Г. Чемберлен, Уильям Х. Дюкетт, Лаборатория реактивного движения. В статье разрабатываются и объясняются многие полезные формулы, возможно, с упором на навигацию и картографию.
Онлайн-расчет сферических треугольников