«О числах и играх» — этокнига Джона Хортона Конвея по математике , впервые опубликованная в 1976 году . [1] Книга написана выдающимся математиком и предназначена для других математиков. Однако материал изложен в игровой и простой форме, и многие главы доступны нематематикам. Мартин Гарднер подробно обсуждал книгу, в частности конструкцию сюрреалистических чисел Конвея , в своей колонке «Математические игры» в журнале Scientific American в сентябре 1976 года .
Книга условно разделена на два раздела: первая половина (или Нулевая часть ), посвященная числам , вторая половина (или Первая часть ), посвященная играм . В « Нулевой части » Конвей приводит аксиомы арифметики: сложение, вычитание, умножение, деление и неравенство. Это позволяет аксиоматическое построение чисел и порядковой арифметики , а именно целых чисел , действительных чисел , счетной бесконечности и целых башен бесконечных порядковых чисел . Объект, к которому применяются эти аксиомы, принимает форму {L|R}, которую можно интерпретировать как специализированный вид множества ; своего рода двусторонний набор. Настаивая на том, что L<R, это двустороннее множество напоминает разрез Дедекинда . В результате конструкции получается поле , называемое теперь сюрреалистическими числами . Порядковые номера встраиваются в это поле. Конструкция уходит корнями в аксиоматическую теорию множеств и тесно связана с аксиомами Цермело-Френкеля . В оригинальной книге Конвей просто называет это поле «числами». Термин « сюрреалистические числа » принят позже, по предложению Дональда Кнута .
В первой части Конвей отмечает, что, отбросив ограничение L<R, аксиомы по-прежнему применяются и конструкция выполняется, но полученные объекты больше нельзя интерпретировать как числа. Их можно интерпретировать как класс всех игр для двух игроков. Аксиомы « больше» и «меньше» считаются естественным упорядочением игр, соответствующим тому, кто из двух игроков может выиграть. Оставшаяся часть книги посвящена изучению ряда различных (нетрадиционных, математически вдохновленных) игр для двух игроков, таких как nim , hackenbush и игры-раскраски карт col и snort . Разработка включает в себя их подсчет очков, обзор теоремы Спрага-Грунди и взаимосвязей с числами, включая их отношение к бесконечно малым .
Книга была впервые опубликована Academic Press Inc в 1976 году, ISBN 0-12-186350-6 , и переиздана AK Peters в 2000 году ( ISBN 1-56881-127-6 ).
В нулевой части главы 0 Конвей вводит специализированную форму обозначения множеств , имеющую форму {L|R}, где L и R снова имеют эту форму, построенную рекурсивно и заканчивающуюся на {|}, которую следует читать как аналог пустого множества. Учитывая эту цель, могут быть даны аксиоматические определения сложения, вычитания, умножения, деления и неравенства. Пока кто-то настаивает на том, что L<R (это утверждение не совсем верно, когда L или R — пустое множество), тогда полученный класс объектов можно интерпретировать как числа, сюрреалистические числа . Обозначение {L|R} тогда напоминает разрез Дедекинда .
Порядковый номер строится методом трансфинитной индукции . Как и в случае с обычными порядковыми номерами, можно определить. Благодаря аксиоматическому определению вычитание также может быть последовательно определено: оно строго меньше , и подчиняется «очевидному» равенству . Тем не менее, оно все же больше любого натурального числа .
Конструкция представляет собой целый зоопарк своеобразных чисел, сюрреалистов, образующих поле . Примеры включают , , и подобные .
В первой части Конвей отказывается от ограничения L<R, а затем интерпретирует форму {L|R} как игру для двух игроков: позицию в соревновании между двумя игроками, Левым и Правым . У каждого игрока есть набор игр, называемых опциями , из которых он может выбирать по очереди. Игры обозначаются {L|R}, где L — набор вариантов Левого , а R — набор вариантов Правого . [3] В начале игр вообще нет, поэтому пустой набор (т. е. набор без участников) — единственный набор опций, который мы можем предоставить игрокам. Это определяет игру {|}, которая называется . Мы рассматриваем игрока, который должен сыграть ход, но не имеет возможности проиграть игру. Учитывая, что в этой игре 0, теперь есть два возможных набора вариантов: пустой набор и набор, единственный элемент которого равен нулю. Игра {0|} называется 1, а игра {|0} называется -1. Игра {0|0} называется * (звездочка) и является первой игрой, которая не является числом.
Все числа положительные, отрицательные или нулевые , и мы говорим, что игра положительна, если у левого игрока есть выигрышная стратегия, отрицательная, если у правого есть выигрышная стратегия, или ноль, если у второго игрока есть выигрышная стратегия. У игр, в которых нет чисел, есть четвертая возможность: они могут быть нечеткими , а это означает, что у первого игрока есть выигрышная стратегия. * — нечеткая игра. [4]
