Изоморфизм порядка

Эквивалентность частично упорядоченных множеств

В математической области теории порядка изоморфизм порядка — это особый вид монотонной функции , которая представляет собой подходящее понятие изоморфизма для частично упорядоченных множеств (посетов). Всякий раз, когда два посета являются порядково изоморфными, их можно считать «по существу одинаковыми» в том смысле, что любой из порядков может быть получен из другого просто переименованием элементов. Два строго более слабых понятия, которые относятся к изоморфизмам порядка, — это вложения порядка и связи Галуа . ^[1]

Определение

Формально, если заданы два частично упорядоченных множества и , изоморфизм порядка из в является биективной функцией из в со свойством, что для любого и в , тогда и только тогда, когда . То есть, это биективное вложение порядка . ^[2] ${\displaystyle (S,\leq _{S})}$ ${\displaystyle (T,\leq _{T})}$ ${\displaystyle (S,\leq _{S})}$ ${\displaystyle (T,\leq _{T})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x\leq _{S}y}$ ${\displaystyle f(x)\leq _{T}f(y)}$

Также возможно определить изоморфизм порядка как сюръективное вложение порядка. Двух предположений, которые охватывают все элементы и что он сохраняет упорядочения, достаточно, чтобы гарантировать, что также является однозначным, поскольку если то (по предположению, что сохраняет порядок) это будет следовать, что и , подразумевая по определению частичного порядка, что . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)=f(y)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle y\leq x}$ ${\displaystyle x=y}$

Еще одна характеристика порядковых изоморфизмов состоит в том, что они являются в точности монотонными биекциями , имеющими монотонную обратную. ^[3]

Порядковый изоморфизм частично упорядоченного множества на себя называется порядковым автоморфизмом . ^[4]

Когда дополнительная алгебраическая структура накладывается на частично упорядоченные множества и , функция из в должна удовлетворять дополнительным свойствам, чтобы рассматриваться как изоморфизм. Например, если заданы две частично упорядоченные группы (po-группы) и , изоморфизм po-групп из в является изоморфизмом порядка, который также является изоморфизмом группы , а не просто биекцией, которая является вложением порядка . ^[5] ${\displaystyle (S,\leq _{S})}$ ${\displaystyle (T,\leq _{T})}$ ${\displaystyle (S,\leq _{S})}$ ${\displaystyle (T,\leq _{T})}$ ${\displaystyle (G,\leq _{G})}$ ${\displaystyle (H,\leq _{H})}$ ${\displaystyle (G,\leq _{G})}$ ${\displaystyle (H,\leq _{H})}$

Примеры

• Функция тождества на любом частично упорядоченном множестве всегда является порядковым автоморфизмом.
• Отрицание является порядковым изоморфизмом от до (где — множество действительных чисел , а обозначает обычное числовое сравнение), поскольку − x ≥ − y тогда и только тогда, когда x ≤ y . ^[6] ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\leq )}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\geq )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \leq }$
• Открытый интервал (опять же, упорядоченный численно) не имеет порядкового изоморфизма с или из замкнутого интервала : замкнутый интервал имеет наименьший элемент, а открытый интервал — нет, и порядковые изоморфизмы должны сохранять существование наименьших элементов. ^[7] ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle [0,1]}$
• По теореме Кантора об изоморфизме , любой неограниченный счетный плотный линейный порядок изоморфен порядку рациональных чисел . ^[8] Явные изоморфизмы порядка между квадратичными алгебраическими числами, рациональными числами и двоично-рациональными числами обеспечиваются функцией вопросительного знака Минковского . ^[9]

Типы заказов

Если — изоморфизм порядка, то также является его обратной функцией . Кроме того, если — изоморфизм порядка из в и — изоморфизм порядка из в , то композиция функций и сама является изоморфизмом порядка из в . ^[10] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (S,\leq _{S})}$ ${\displaystyle (T,\leq _{T})}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle (T,\leq _{T})}$ ${\displaystyle (U,\leq _{U})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle (S,\leq _{S})}$ ${\displaystyle (U,\leq _{U})}$

Говорят, что два частично упорядоченных множества являются упорядоченно изоморфными , когда существует упорядоченный изоморфизм одного из них на другой. ^[11] Функции тождества, обратные функции и композиции функций соответствуют, соответственно, трем определяющим характеристикам отношения эквивалентности : рефлексивности , симметрии и транзитивности . Следовательно, упорядоченный изоморфизм является отношением эквивалентности. Класс частично упорядоченных множеств может быть разделен им на классы эквивалентности , семейства частично упорядоченных множеств, которые все изоморфны друг другу. Эти классы эквивалентности называются упорядоченными типами .

Смотрите также

• Шаблон перестановки — перестановка, которая по порядку изоморфна подпоследовательности другой перестановки.

Примечания

1. Блох (2011); Чесельский (1997).
2. Это определение использовал Цесельски (1997). Для Блоха (2011) и Шредера (2003) это следствие другого определения.
3. Это определение использовали Блох (2011) и Шредер (2003).
4. Шредер (2003), стр. 13.
5. Это определение эквивалентно определению, данному в работе Фукса (1963).
6. См. пример 4 в Ciesielski (1997), стр. 39, где представлен аналогичный пример с целыми числами вместо действительных чисел.
7. Ciesielski (1997), пример 1, с. 39.
8. Бхаттачарджи, Минакси; Макферсон, Дугалд; Мёллер, Рёгнвалдур Г.; Нойманн, Питер М. (1997), «Рациональные числа», Заметки о бесконечных группах перестановок , Тексты и чтения по математике, т. 12, Берлин: Springer-Verlag, стр. 77–86, doi :10.1007/978-93-80250-91-5_9, ISBN 81-85931-13-5, г-н  1632579
9. Girgensohn, Roland (1996), «Построение сингулярных функций с помощью дробей Фарея», Журнал математического анализа и приложений , 203 (1): 127–141, doi : 10.1006/jmaa.1996.0370 , MR  1412484
10. Чесельский (1997); Шредер (2003).
11. Цесельский (1997).

Ссылки

• Блох, Итан Д. (2011), Доказательства и основы: Первый курс абстрактной математики, Бакалаврские тексты по математике (2-е изд.), Springer, стр. 276–277, ISBN 9781441971265.
• Цесельский, Кшиштоф (1997), Теория множеств для практикующего математика, Студенческие тексты Лондонского математического общества, т. 39, Cambridge University Press, стр. 38–39, ISBN 9780521594653.
• Шрёдер, Бернд Зигфрид Вальтер (2003), Упорядоченные множества: Введение, Springer, стр. 11, ISBN 9780817641283.
• Фукс, Ласло (1963), Частично упорядоченные алгебраические системы, Dover Publications; Переиздание (5 марта 2014 г.), стр. 2–3, ISBN 0486483878.