Ортогональный базис

В математике , особенно в линейной алгебре , ортогональный базис пространства внутреннего продукта — это базис , векторы которого взаимно ортогональны . Если векторы ортогонального базиса нормализованы , результирующий базис является ортонормированным базисом . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

В качестве координат

Для определения системы ортогональных координат можно использовать любой ортогональный базис. Ортогональные (не обязательно ортонормированные) базисы важны из-за их появления из криволинейных ортогональных координат в евклидовых пространствах , а также в римановых и псевдоримановых многообразиях. ${\displaystyle V.}$

В функциональном анализе

В функциональном анализе ортогональный базис — это любой базис, полученный из ортонормированного базиса (или базиса Гильберта) с помощью умножения на ненулевые скаляры .

Расширения

Симметричная билинейная форма

Понятие ортогонального базиса применимо к векторному пространству (над любым полем ), снабженному симметричной билинейной формой , где ортогональность двух векторов и означает . Для ортогонального базиса : ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \langle v,w\rangle =0}$ ${\displaystyle \left\{e_{k}\right\}}$

$${\displaystyle \langle e_{j},e_{k}\rangle ={\begin{cases}q(e_{k})&j=k\\0&j\neq k,\end{cases}}}$$

квадратичная форма ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :}$ ${\displaystyle q(v)=\langle v,v\rangle }$ ${\displaystyle q(v)=\Vert v\Vert ^{2}}$

Следовательно , для ортогонального базиса ${\displaystyle \left\{e_{k}\right\}}$

$${\displaystyle \langle v,w\rangle =\sum _{k}q(e_{k})v^{k}w^{k},}$$

${\displaystyle v_{k}}$ ${\displaystyle w_{k}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle w}$

Квадратичная форма

Понятие ортогональности может быть расширено на векторное пространство над любым полем характеристики, отличной от 2, снабженной квадратичной формой . Начиная с наблюдения, что, когда характеристика основного поля не равна 2, соответствующая симметричная билинейная форма позволяет определить векторы и как ортогональные относительно момента . ${\displaystyle q(v)}$ ${\displaystyle \langle v,w\rangle ={\tfrac {1}{2}}(q(v+w)-q(v)-q(w))}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q(v+w)-q(v)-q(w)=0}$

Смотрите также

• Базис (линейная алгебра)  - набор векторов, используемых для определения координат.
• Ортонормированный базис  - Конкретный линейный базис (математика)
• Ортонормальная система координат  – Евклидово пространство без расстояний и углов.
• Базис Шаудера  – вычислительный инструмент
• Общее множество  - подмножество топологического векторного пространства, линейная оболочка которого плотна.Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта

Рекомендации

• Ланг, Серж (2004), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , том. 211 (Исправленное четвертое издание, исправленное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 572–585, ISBN. 978-0-387-95385-4
• Милнор, Дж .; Хусемоллер, Д. (1973). Симметричные билинейные формы . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . Том. 73. Шпрингер-Верлаг . п. 6. ISBN 3-540-06009-Х. Збл  0292.10016.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Ортогональный базис». Математический мир .