Параболическое уравнение в частных производных

Класс линейных уравнений в частных производных второго порядка

Параболическое уравнение в частных производных — это разновидность уравнения в частных производных (УЧП). Параболические PDE используются для описания широкого спектра зависящих от времени явлений, включая теплопроводность , диффузию частиц и ценообразование на производные инвестиционные инструменты .

Определение

Чтобы определить простейший вид параболического УЧП, рассмотрим вещественную функцию двух независимых действительных переменных и . Линейное УЧП с постоянным коэффициентом второго порядка для принимает форму ${\displaystyle u(x,y)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle u}$

${\displaystyle Au_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy}+Du_{x}+Eu_{y}+F=0,}$

и это УЧП классифицируется как параболическое , если коэффициенты удовлетворяют условию

${\displaystyle B^{2}-AC=0.}$

Обычно представляет одномерное положение и время, а УЧП решается с учетом заданных начальных и граничных условий. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Название «параболический» используется потому, что предположение о коэффициентах такое же, как и условие, при котором уравнение аналитической геометрии определяет плоскую параболу . ${\displaystyle Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0}$

Основным примером параболического УЧП является одномерное уравнение теплопроводности :

${\displaystyle u_{t}=\alpha \,u_{xx},}$

где – температура во времени и в определенном положении вдоль тонкого стержня, – положительная константа ( температуропроводность ). Символ обозначает частную производную по переменной времени и аналогично является второй частной производной по . В этом примере играет роль в общем линейном УЧП второго порядка: , , а остальные коэффициенты равны нулю. ${\displaystyle u(x,t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle u_{t}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle u_{xx}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle A=\alpha }$ ${\displaystyle E=-1}$

Уравнение теплопроводности, грубо говоря, гласит, что температура в данный момент времени и в данной точке повышается или падает со скоростью, пропорциональной разнице между температурой в этой точке и средней температурой вблизи этой точки. Величина измеряет, насколько далека температура от удовлетворения свойства среднего значения гармонических функций . ${\displaystyle u_{xx}}$

Понятие параболического PDE можно обобщить несколькими способами. Например, поток тепла через материальное тело определяется трехмерным уравнением теплопроводности :

${\displaystyle u_{t}=\alpha \,\Delta u,}$

где

${\displaystyle \Delta u:={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}}$

обозначает оператор Лапласа , действующий на . Это уравнение является прототипом многомерного параболического УЧП. ${\displaystyle u}$

Учитывая, что это эллиптический оператор, можно предложить более широкое определение параболического УЧП: ${\displaystyle -\Delta }$

${\displaystyle u_{t}=-Lu,}$

где — эллиптический оператор второго порядка (подразумевается, что он должен быть положительным ; случай рассматривается ниже). ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle u_{t}=+Lu}$

Система уравнений в частных производных для вектора также может быть параболической. Например, такая система скрыта в уравнении вида ${\displaystyle u}$

${\displaystyle \nabla \cdot (a(x)\nabla u(x))+b(x)^{\text{T}}\nabla u(x)+cu(x)=f(x)}$

если матрица-функция имеет ядро ​​размерности 1. ${\displaystyle a(x)}$

Параболические УЧП также могут быть нелинейными. Например, уравнение Фишера представляет собой нелинейный УЧП, который включает в себя тот же член диффузии, что и уравнение теплопроводности, но включает член линейного роста и член нелинейного затухания.

Решение

При широких предположениях начально-краевая задача для линейного параболического УЧП имеет решение на все времена. Решение как функция от для фиксированного времени , как правило, более гладкое, чем исходные данные . ${\displaystyle u(x,t)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t>0}$ ${\displaystyle u(x,0)=u_{0}(x)}$

Для нелинейного параболического УЧП решение начально-краевой задачи может взорваться в сингулярность за конечный промежуток времени. Может быть трудно определить, существует ли решение на все времена, или понять возникающие особенности. Такие интересные вопросы возникают при решении гипотезы Пуанкаре с помощью потока Риччи . ^{[ нужна цитата ]}

Обратное параболическое уравнение

Иногда встречается так называемое обратное параболическое УЧП , которое принимает вид (обратите внимание на отсутствие знака минус). ${\displaystyle u_{t}=Lu}$

Начальная задача для обратного уравнения теплопроводности:

${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=-\Delta u&{\textrm {on}}\ \ \Omega \times (0,T),\\u=0&{\textrm {on}}\ \ \partial \Omega \times (0,T),\\u=f&{\textrm {on}}\ \ \Omega \times \left\{0\right\}.\end{cases}}}$

эквивалентно конечной задаче для обычного уравнения теплопроводности:

${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=\Delta u&{\textrm {on}}\ \ \Omega \times (0,T),\\u=0&{\textrm {on}}\ \ \partial \Omega \times (0,T),\\u=f&{\textrm {on}}\ \ \Omega \times \left\{T\right\}.\end{cases}}}$

Подобно задаче конечного значения для параболического УЧП, задача начального значения для обратного параболического УЧП обычно не является корректной (решения часто неограниченно растут за конечное время или даже не существуют). Тем не менее эти проблемы важны для изучения отражения особенностей решений различных других УЧП. ^[1]

Примеры

• Уравнение Блэка – Шоулза
• Уравнение теплопроводности
• Средняя кривизна потока
• Риччи поток

Смотрите также

• Гиперболическое уравнение в частных производных
• Эллиптическое уравнение в частных производных
• Автозавивка

Рекомендации

1. Тейлор, М.Э. (1975), "Отражение особенностей решений систем дифференциальных уравнений", Comm. Чистое приложение. Математика. , 28 (4): 457–478, CiteSeerX  10.1.1.697.9255 , doi :10.1002/cpa.3160280403

дальнейшее чтение

• Пертем, Бенуа (2015), Параболические уравнения в биологии: рост, реакция, движение и диффузия , Springer, ISBN 978-3-319-19499-8
• Эванс, Лоуренс К. (2010) [1998], Уравнения в частных производных , Аспирантура по математике , том. 19 (2-е изд.), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , номер документа : 10.1090/gsm/019, ISBN 978-0-8218-4974-3, МР  2597943
• «Параболическое уравнение в частных производных», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• «Параболическое уравнение в частных производных, численные методы», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]