Plimpton 322 — вавилонская глиняная табличка , примечательная тем, что содержит пример вавилонской математики . Она имеет номер 322 в коллекции GA Plimpton в Колумбийском университете . [1] Эта табличка, предположительно написанная около 1800 г. до н. э., содержит таблицу из четырех столбцов и 15 рядов цифр клинописным шрифтом того периода.
В этой таблице перечислены два из трех чисел, которые сейчас называются пифагорейскими тройками , то есть целые числа a , b и c, удовлетворяющие уравнению a2 + b2 = c2 . С современной точки зрения, метод построения таких троек является значительным ранним достижением, известным задолго до того, как греческие и индийские математики нашли решения этой задачи.
Существовали значительные научные дебаты о природе и назначении таблички. Для читаемых популярных трактовок этой таблички см. Robson (2002), получивший премию Лестера Р. Форда за выдающиеся достижения в области математики, или, более кратко, Conway & Guy (1996). Robson (2001) представляет собой более подробное и техническое обсуждение интерпретации чисел таблички с обширной библиографией.
Plimpton 322 частично сломан, примерно 13 см в ширину, 9 см в высоту и 2 см в толщину. Нью-йоркский издатель Джордж Артур Плимптон приобрел табличку у археологического торговца Эдгара Дж. Бэнкса примерно в 1922 году и завещал ее вместе с остальной частью своей коллекции Колумбийскому университету в середине 1930-х годов. По словам Бэнкса, табличка была привезена из Сенкереха, места на юге Ирака, соответствующего древнему городу Ларса . [2]
Считается, что табличка была написана около 1800 г. до н. э. (по средней хронологии ) [3] , что отчасти основано на стиле почерка, использованном для ее клинописи : Робсон (2002) пишет, что этот почерк «типичен для документов из южного Ирака возрастом 4000–3500 лет». Более конкретно, основываясь на сходстве форматирования с другими табличками из Ларсы, на которых указаны явные даты, Plimpton 322 вполне может относиться к периоду 1822–1784 гг. до н. э. [4] Робсон указывает, что Plimpton 322 был написан в том же формате, что и другие административные, а не математические документы того периода. [5]
Основное содержание Plimpton 322 представляет собой таблицу чисел с четырьмя столбцами и пятнадцатью строками в вавилонской шестидесятеричной системе счисления. Четвертый столбец — это просто номер строки, в порядке от 1 до 15. Второй и третий столбцы полностью видны на сохранившейся табличке. Однако край первого столбца был отломан, и есть две последовательные экстраполяции того, какими могли быть отсутствующие цифры; эти интерпретации различаются только тем, начинается ли каждое число с дополнительной цифры, равной 1.
С учетом различных экстраполяций, показанных в скобках, поврежденных частей первого и четвертого столбцов, чье содержание предполагается, выделенных курсивом, и шести предполагаемых ошибок, выделенных жирным шрифтом вместе с обычно предлагаемыми исправлениями в квадратных скобках ниже, эти цифры являются
Показаны два возможных варианта исправления в строке 15: либо 53 в третьем столбце следует заменить на удвоенное его значение, 1 46, либо 56 во втором столбце следует заменить на половину его значения, 28.
Возможно, что в отломанной части таблички слева от этих столбцов присутствовали дополнительные столбцы. Вавилонская шестидесятеричная система счисления не указывала степень 60, умножающую каждое число, что делает интерпретацию этих чисел неоднозначной. Числа во втором и третьем столбцах обычно считаются целыми числами. Числа в первом столбце можно понимать только как дроби, и все их значения лежат между 1 и 2 (предполагая, что присутствует начальная 1 — они лежат между 0 и 1, если она отсутствует).
Эти дроби являются точными, а не усечениями или округленными приближениями. Ниже показан десятичный перевод таблички при этих предположениях. Большинство точных шестидесятеричных дробей в первом столбце не имеют конечных десятичных расширений и округлены до семи десятичных знаков.
* Как и прежде, альтернативная возможная коррекция строки 15 имеет 28 во втором столбце и 53 в третьем столбце. Записи во втором и третьем столбцах строки 11, в отличие от записей всех других строк, за исключением, возможно, строки 15, содержат общий множитель. Возможно, что 45 и 1 15 следует понимать как 3/4 и 5/4, что согласуется со стандартным (0,75,1,1,25) масштабированием знакомого (3,4,5) прямоугольного треугольника в вавилонской математике.
В каждой строке число во втором столбце можно интерпретировать как короткую сторону прямоугольного треугольника, а число в третьем столбце можно интерпретировать как гипотенузу треугольника. Во всех случаях длинная сторона также является целым числом, что делает и два элемента пифагорейской тройки . Число в первом столбце является либо дробью (если «1» не включено), либо (если «1» включено). В каждом случае длинная сторона является правильным числом , то есть целым делителем степени 60 или, что эквивалентно, произведением степеней 2, 3 и 5. Именно по этой причине числа в первом столбце являются точными, так как деление целого числа на обычное число дает конечное шестидесятеричное число. Например, строку 1 таблицы можно интерпретировать как описание треугольника с короткой стороной 119 и гипотенузой 169, подразумевая длинную сторону , которая является правильным числом (2 3 ·3 ·5). Число в столбце 1 равно (169/120) 2 или (119/120) 2 .
Каждый столбец имеет заголовок, написанный на аккадском языке . Некоторые слова являются шумерскими логограммами , которые читатели могли бы понять как заменяющие аккадские слова. К ним относятся ÍB.SI 8 , для аккадского mithartum («квадрат»), MU.BI.IM, для аккадского šumšu («его линия»), и SAG, для аккадского pūtum («ширина»). Каждому числу в четвертом столбце предшествует шумерограмма KI, которая, по словам Нойгебауэра и Сакса (1945), «придает им характер порядковых числительных». В шестидесятеричной таблице выше выделенные курсивом слова и части слов представляют собой части текста, которые невозможно прочитать из-за повреждения таблички или неразборчивости, и которые были реконструированы современными учеными. Термины ÍB.SI 8 и takiltum остались непереведенными, поскольку продолжаются споры об их точном значении.
Заголовки столбцов 2 и 3 можно перевести как «квадрат ширины» и «квадрат диагонали», но Робсон (2001) (стр. 173–174) утверждает, что термин ÍB.SI 8 может относиться как к площади квадрата, так и к стороне квадрата, и что в этом случае его следует понимать как «„сторона квадрата“ или, возможно, „квадратный корень“». Аналогично Бриттон, Пруст и Шнайдер (2011) (стр. 526) отмечают, что этот термин часто появляется в задачах, где завершение квадрата используется для решения того, что сейчас понимается как квадратные уравнения, в этом контексте он относится к стороне завершенного квадрата, но что он также может служить для указания «на то, что подразумевается линейное измерение или отрезок линии». Нойгебауэр и Сакс (1945) (стр. 35, 39), с другой стороны, приводят примеры, когда этот термин относится к результатам самых разных математических операций, и предлагают перевод «решающее число ширины (или диагонали)». Аналогично Фриберг (1981) (стр. 300) предлагает перевод «корень».
В столбце 1 повреждены первые части обеих строк заголовка. Нойгебауэр и Сакс (1945) реконструировали первое слово как takilti (форма takiltum ), прочтение, которое было принято большинством последующих исследователей. Заголовок в целом считался непереводимым, пока Робсон (2001) не предложил вставить 1 в оторванную часть строки 2 и не преуспел в расшифровке неразборчивого последнего слова, получив прочтение, приведенное в таблице выше. На основе детального лингвистического анализа Робсон предлагает переводить takiltum как «держать квадрат». [6]
Бриттон, Пруст и Шнайдер (2011) рассматривают относительно немногочисленные известные случаи употребления этого слова в древневавилонской математике. Хотя они отмечают, что почти во всех случаях оно относится к линейному размеру вспомогательного квадрата, добавленного к фигуре в процессе завершения квадрата, и является величиной, вычитаемой на последнем этапе решения квадратного уравнения, они согласны с Робсоном, что в этом случае его следует понимать как относящееся к площади квадрата. Фриберг (2007), с другой стороны, предполагает, что в оторванной части заголовка takiltum могло предшествовать a-ša («площадь»). В настоящее время широко распространено мнение, что заголовок описывает соотношение между квадратами по ширине (короткая сторона) и диагонали прямоугольника с длиной (длинная сторона) 1: вычитание («вырывание») площади 1 из квадрата по диагонали оставляет площадь квадрата по ширине.
Как указано в таблице выше, большинство ученых считают, что табличка содержит шесть ошибок, и, за исключением двух возможных исправлений в строке 15, существует широко распространенное согласие относительно того, какими должны быть правильные значения. Менее единодушно мнение о том, как возникли ошибки и что они подразумевают в отношении метода вычисления таблички. Ниже приводится сводка ошибок.
Ошибки в строке 2, столбце 1 (игнорирование пробелов между 50 и 6 для отсутствующих единиц и десятков) и строке 9, столбце 2 (написание 9 вместо 8) повсеместно считаются незначительными ошибками при копировании с рабочей таблички (или, возможно, с более ранней копии таблицы). Ошибка в строке 8, столбце 1 (замена двух шестидесятеричных цифр 45 14 на их сумму 59), по-видимому, не была замечена в некоторых ранних работах на табличке. Иногда ее рассматривали (например, в Robson (2001)) как простую ошибку, допущенную писцом в процессе копирования с рабочей таблички.
Однако, как обсуждалось в Britton, Proust & Shnider (2011), ряд ученых предположили, что эта ошибка гораздо более правдоподобно объясняется ошибкой в расчетах, ведущих к числу, например, пропуском писцом среднего нуля (пустого места, представляющего нулевую цифру) при выполнении умножения. Это объяснение ошибки совместимо с обоими основными предложениями по методу построения таблицы. (См. ниже.)
Оставшиеся три ошибки имеют последствия для способа, которым была вычислена табличка. Число 7 12 1 в строке 13, столбце 2, является квадратом правильного значения, 2 41. Предполагая, что либо длины в столбце 2 были вычислены путем извлечения квадратного корня из площади соответствующего квадрата, либо что длина и площадь были вычислены вместе, эту ошибку можно объяснить либо пренебрежением извлечением квадратного корня, либо копированием неправильного числа с рабочей таблички. [7]
Если ошибка в строке 15 понимается как запись 56 вместо 28 в столбце 2, то ошибка может быть объяснена как результат неправильного применения алгоритма завершающей части, который требуется, если таблица была вычислена с помощью обратных пар, как описано ниже. Эта ошибка представляет собой применение итеративной процедуры для удаления регулярных множителей, общих для чисел в столбцах 2 и 3, неправильное количество раз в одном из столбцов. [8]
Число в строке 2, столбце 3 не имеет очевидной связи с правильным числом, и все объяснения того, как это число было получено, предполагают множественные ошибки. Брюинз (1957) заметил, что 3 12 01 могло быть простым неточным копированием 3 13. Если бы это было так, то объяснение неправильного числа 3 13 было бы похоже на объяснение ошибки в строке 15. [9]
Исключением из общего консенсуса является Фриберг (2007), где, в отличие от более раннего анализа того же автора (Фриберг (1981)), выдвигается гипотеза, что числа в строке 15 не являются ошибкой, а были записаны так, как и предполагалось, и что единственной ошибкой в строке 2, столбце 3 была неправильная запись 3 13 как 3 12 01. Согласно этой гипотезе, необходимо переосмыслить столбцы 2 и 3 как «сократимые ядра фронта и диагонали». Сократимое ядро числа — это число с удаленными правильными квадратными множителями; вычисление сократимого ядра было частью процесса вычисления квадратных корней в древневавилонской математике. По словам Фриберга, «автор Plimpton 322 никогда не ставил себе целью свести свою серию нормализованных диагональных троек (с длиной, равной 1 в каждой тройке) к соответствующей серии примитивных диагональных троек (с фронтом, длиной и диагональю, равными целым числам без общих множителей)» [10] .
Ученые до сих пор расходятся во мнениях о том, как были получены эти числа. Бак (1980) и Робсон (2001) оба выделяют два основных предложения по методу построения таблицы: метод генерации пар, предложенный в работе Нойгебауэра и Сакса (1945), и метод взаимных пар, предложенный Брюинзом [11] и разработанный Войлсом [12] , Шмидтом (1980) и Фрибергом. [13]
Используя современную терминологию, если p и q — натуральные числа, такие, что p > q, то ( p 2 − q 2 , 2 pq , p 2 + q 2 ) образует пифагорову тройку. Тройка является примитивной, то есть три стороны треугольника не имеют общего множителя, если p и q взаимно просты и не оба нечетны. Нойгебауэр и Сакс предполагают, что табличка была сгенерирована путем выбора p и q как взаимно простых обычных чисел (но оба могут быть нечетными — см. строку 15) и вычисления d = p 2 + q 2 , s = p 2 − q 2 и l = 2 pq (так что l также является обычным числом).
Например, строка 1 будет сгенерирована установкой p = 12 и q = 5. Бак и Робсон оба отмечают, что наличие столбца 1 загадочно в этом предложении, поскольку он не играет никакой роли в построении, и что предложение не объясняет, почему строки таблицы упорядочены так, как они есть, а не, скажем, в соответствии со значением или , которое, согласно этой гипотезе, могло быть указано в столбцах слева в оторванной части таблички. Робсон также утверждает, что предложение не объясняет, как ошибки в таблице могли правдоподобно возникнуть, и не соответствует математической культуре того времени.
В предложении о взаимной паре отправной точкой является одна правильная шестидесятеричная дробь x вместе с ее обратной дробью 1/ x . «Правильная шестидесятеричная дробь» означает, что x является произведением (возможно, отрицательных) степеней 2, 3 и 5. Величины ( x −1/ x )/2, 1 и ( x +1/ x )/2 затем образуют то, что сейчас называется рациональной пифагорейской тройкой. Более того, все три стороны имеют конечные шестидесятеричные представления.
Сторонники этого предложения указывают, что регулярные взаимные пары ( x ,1/ x ) появляются в другой задаче примерно того же времени и места, что и Plimpton 322, а именно в задаче нахождения сторон прямоугольника площадью 1, длинная сторона которого превышает его короткую сторону на заданную длину c (которая в настоящее время может быть вычислена как решение квадратного уравнения ). Робсон (2002) анализирует табличку YBC 6967, в которой такая задача решается путем вычисления последовательности промежуточных значений v 1 = c /2, v 2 = v 1 2 , v 3 = 1 + v 2 и v 4 = v 3 1/2 , из которых можно вычислить x = v 4 + v 1 и 1/ x = v 4 − v 1 .
В то время как необходимость вычисления квадратного корня из v 3 в общем случае приведет к ответам, не имеющим конечных шестидесятеричных представлений, задача на YBC 6967 была поставлена — то есть значение c было выбрано соответствующим образом — чтобы дать хороший ответ. Это, по сути, источник спецификации выше, что x будет правильной шестидесятеричной дробью: выбор x таким образом гарантирует, что и x , и 1/ x будут иметь конечные шестидесятеричные представления. Чтобы спроектировать задачу с хорошим ответом, постановщику задачи нужно будет просто выбрать такой x и позволить исходному элементу данных c быть равным x − 1/ x . В качестве побочного эффекта это создает рациональную пифагорову тройку с катетами v 1 и 1 и гипотенузой v 4 .
Следует отметить, что задача на YBC 6967 фактически решает уравнение , что влечет за собой замену выражения для v 3 выше на v 3 = 60 + v 2 . Побочный эффект получения рациональной тройки при этом теряется, поскольку стороны становятся v 1 , , и v 4 . В этом предложении следует предположить, что вавилоняне были знакомы с обоими вариантами задачи.
Робсон утверждает, что столбцы Плимптона 322 можно интерпретировать следующим образом:
В этой интерпретации x и 1/ x (или, возможно, v 1 и v 4 ) должны были появиться на табличке в оторванной части слева от первого столбца. Поэтому наличие столбца 1 объясняется как промежуточный шаг в расчетах, а порядок строк определяется убывающими значениями x (или v 1 ). Множитель a, используемый для вычисления значений в столбцах 2 и 3, который можно рассматривать как изменение масштаба длин сторон, возникает из применения «алгоритма конечной части», в котором оба значения многократно умножаются на обратную величину любого регулярного множителя, общего для последних шестидесятеричных цифр обоих, до тех пор, пока не останется ни одного общего множителя. [14]
Как обсуждалось выше, все ошибки в табличке имеют естественные объяснения в предложении о взаимной паре. С другой стороны, Робсон указывает, что роль столбцов 2 и 3 и необходимость множителя a остаются необъясненными этим предложением, и предполагает, что целью автора таблички было предоставить параметры не для квадратичных задач типа решенных на YBC 6967, а скорее «для какого-то рода задач с прямоугольным треугольником». Она также отмечает, что метод, используемый для создания таблицы, и ее использование, для которого она была предназначена, не обязательно должны быть одинаковыми. [15]
Сильное дополнительное подтверждение идеи о том, что числа на табличке были получены с использованием обратных пар, получено из двух табличек, MS 3052 и MS 3971, из коллекции Шойена . Йоран Фриберг перевел и проанализировал две таблички и обнаружил, что обе содержат примеры расчета диагонали и длины сторон прямоугольника с использованием обратных пар в качестве отправной точки. Обе таблички являются старовавилонскими, примерно того же возраста, что и Plimpton 322, и обе, как полагают, происходят из Урука, недалеко от Ларсы. [16]
Дальнейший анализ двух табличек был проведен в Britton, Proust & Shnider (2011). MS 3971 содержит список из пяти задач, третья из которых начинается с «Чтобы вы увидели пять диагоналей» и заканчивается словами «пять диагоналей». Приведенные данные для каждой из пяти частей задачи состоят из обратной пары. Для каждой части вычисляются длины как диагонали, так и ширина (короткая сторона) прямоугольника. Длина (длинная сторона) не указана, но расчет подразумевает, что она принимается равной 1. В современных терминах расчет выполняется следующим образом: заданы x и 1/ x , сначала вычисляется ( x +1/ x )/2, диагональ. Затем вычисляется
ширина. Из-за повреждения части таблички, содержащей первую из пяти частей, формулировка задачи для этой части, за исключением следов исходных данных, и решение были утеряны. Остальные четыре части, по большей части, нетронуты, и все содержат очень похожий текст. Причина, по которой диагональ принимается равной половине суммы обратной пары, не указана в неповрежденном тексте. Вычисление ширины эквивалентно ( x −1/ x )/2, но этот более прямой метод вычисления не использовался, поскольку предпочтение было отдано правилу, связывающему квадрат диагонали с суммой квадратов сторон.
Текст второй задачи MS 3052 также был сильно поврежден, но то, что осталось, структурировано аналогично пяти частям MS 3971, задача 3. Задача содержит фигуру, которая, по словам Фриберга, вероятно, является «прямоугольником без диагоналей». [17] Бриттон, Пруст и Шнайдер (2011) подчеркивают, что сохранившиеся части текста явно указывают длину как 1 и явно вычисляют 1, которая вычитается из квадрата диагонали в процессе вычисления ширины как квадрата длины. Исходные данные и вычисленные ширина и диагональ для шести задач на двух табличках приведены в таблице ниже.
Параметры MS 3971 § 3a неопределенны из-за повреждения таблички. Параметры задачи из MS 3052 соответствуют перемасштабированию стандартного прямоугольного треугольника (3,4,5), который отображается как строка 11 Plimpton 322. Ни один из параметров в задачах из MS 3971 не соответствует ни одной из строк Plimpton 322. Как обсуждается ниже, все строки Plimpton 322 имеют x ≥9/5, в то время как все задачи из MS 3971 имеют x <9/5. Однако все параметры MS 3971 соответствуют строкам предложенного де Соллой Прайсом расширения таблицы Plimpton 322, также обсуждаемого ниже.
Следует подчеркнуть, что роль обратной пары в задаче по YBC 6967 отличается от роли в задачах по MS 3052 и MS 3971 (и, соответственно, в задаче по Plimpton 322). В задаче по YBC 6967 членами обратной пары являются длины сторон прямоугольника площадью 1. Геометрическое значение x и 1/ x не указано в сохранившемся тексте задач по MS 3052 и MS 3971. Цель, по-видимому, состояла в том, чтобы применить известную процедуру для создания прямоугольников с конечной шестидесятеричной шириной и диагональю. [18] Следует также отметить, что алгоритм конечной точки не использовался для изменения масштаба длин сторон в этих задачах.
Количество x в предложении о взаимной паре соответствует отношению p / q в предложении о порождающей паре. Действительно, хотя два предложения различаются по методу расчета, между результатами мало математической разницы, поскольку оба дают одни и те же тройки, за исключением общего множителя 2 в случае, когда p и q оба нечетные. (К сожалению, единственное место, где это встречается в табличке, — это строка 15, которая содержит ошибку и поэтому не может использоваться для различения предложений.) Сторонники предложения о взаимной паре расходятся во мнениях относительно того, было ли x вычислено из базовых p и q , но только с комбинациями p / q и q / p, используемыми в вычислениях на табличке [19] или же x было получено напрямую из других источников, таких как обратные таблицы. [20]
Одна из трудностей с последней гипотезой заключается в том, что некоторые из необходимых значений x или 1/ x являются четырехзначными шестидесятеричными числами, а четырехзначные обратные таблицы неизвестны. Нойгебауэр и Сакс, по сути, отметили возможность использования обратных пар в своей оригинальной работе и отвергли ее по этой причине. Робсон, однако, утверждает, что известные источники и вычислительные методы древневавилонского периода могут объяснить все используемые значения x .
Нойгебауэр и Сакс отмечают, что размеры треугольника в табличке варьируются от размеров почти равнобедренного прямоугольного треугольника (с коротким катетом 119, почти равным длинному катету 120) до размеров прямоугольного треугольника с острыми углами, близкими к 30° и 60°, и что угол уменьшается довольно равномерно с шагом примерно 1°. Они предполагают, что пары p , q были выбраны намеренно с этой целью.
Де Солла Прайс (1964), работая в рамках порождающей пары, заметил, что каждая строка таблицы генерируется q , которая удовлетворяет условию 1 ≤ q <60, то есть q всегда является однозначным шестидесятеричным числом. Отношение p / q принимает наибольшее значение, 12/5=2,4, в строке 1 таблицы и, следовательно, всегда меньше , условие, которое гарантирует, что p 2 − q 2 является длинной стороной, а 2 pq является короткой стороной треугольника, и которое, выражаясь современным языком, подразумевает, что угол, противолежащий стороне длины p 2 − q 2, меньше 45°.
Наименьшее отношение наблюдается в строке 15, где p / q = 9/5 для угла около 31,9°. Кроме того, существует ровно 15 правильных соотношений между 9/5 и 12/5 включительно, для которых q является однозначным шестидесятеричным числом, и они находятся во взаимно однозначном соответствии со строками таблички. Он также указывает, что равномерное расположение чисел могло быть не намеренным: оно также могло возникнуть просто из-за плотности правильных соотношений чисел в диапазоне чисел, рассматриваемых в таблице.
Де Солла Прайс утверждал, что естественная нижняя граница для отношения будет равна 1, что соответствует углу 0°. Он обнаружил, что, сохраняя требование, чтобы q было однозначным шестидесятеричным числом, есть 23 пары в дополнение к тем, которые представлены на табличке, что в общей сложности составляет 38 пар. Он отмечает, что вертикальная разметка между столбцами на табличке была продолжена на обороте, что предполагает, что писец мог намереваться расширить таблицу. Он утверждает, что имеющееся пространство правильно вместит 23 дополнительных строки. Сторонники предложения о взаимных парах также отстаивали эту схему. [21]
Робсон (2001) не рассматривает это предложение напрямую, но соглашается, что таблица не была «полной». Она отмечает, что в предложении о взаимной паре каждый x , представленный в табличке, является не более чем четырехзначным шестидесятеричным числом с не более чем четырехзначной обратной величиной, и что общее количество мест в x и 1/ x вместе никогда не превышает 7. Если эти свойства рассматривать как требования, то в табличке «отсутствуют» ровно три значения x , которые, как она утверждает, могли быть опущены, поскольку они непривлекательны в различных отношениях. Она признает «шокирующе ситуативную » природу этой схемы, которая служит в основном риторическим приемом для критики всех попыток угадать критерии отбора автора таблички. [22]
Отто Э. Нойгебауэр (1957) отстаивал теоретико-числовую интерпретацию, но также считал, что записи в таблице являются результатом преднамеренного процесса отбора, направленного на достижение достаточно регулярного уменьшения значений в столбце 1 в некоторых заданных пределах.
Бак (1980) и Робсон (2002) оба упоминают о существовании тригонометрического объяснения, которое Робсон приписывает авторам различных общих историй и неопубликованных работ, но которое может вытекать из наблюдения в работе Нойгебауэра и Сакса (1945) о том, что значения первого столбца можно интерпретировать как квадрат секанса или тангенса (в зависимости от отсутствующей цифры) угла, противоположного короткой стороне прямоугольного треугольника, описываемого каждой строкой, и строки сортируются по этим углам с шагом примерно в один градус. [23]
Другими словами, если взять число в первом столбце, вычтя (1), и вывести его квадратный корень, а затем разделить его на число во втором столбце, результатом будет длина длинной стороны треугольника. Следовательно, квадратный корень числа (минус единица) в первом столбце — это то, что мы сегодня называем тангенсом угла , противолежащего короткой стороне. Если (1) включено, квадратный корень этого числа — это секанс .
В противовес этим более ранним объяснениям таблички, Робсон (2002) утверждает, что исторические, культурные и лингвистические свидетельства показывают, что табличка, скорее всего, была построена из «списка регулярных обратных пар ». [24] Робсон утверждает на лингвистических основаниях, что тригонометрическая теория «концептуально анахронична»: она зависит от слишком многих других идей, не представленных в записях вавилонской математики того времени. В 2003 году MAA наградила Робсон премией Лестера Р. Форда за ее работу, заявив, что «маловероятно, что автор Plimpton 322 был либо профессиональным, либо любителем математики. Скорее всего, он был учителем, а Plimpton 322 — набором упражнений». [25] Робсон использует подход, который в современных терминах можно было бы охарактеризовать как алгебраический , хотя она описывает его в конкретных геометрических терминах и утверждает, что вавилоняне также интерпретировали этот подход геометрически.
Таким образом, табличку можно интерпретировать как последовательность отработанных упражнений. Она использует математические методы, типичные для школ писцов того времени, и написана в формате документа, который использовался администраторами в тот период. [26] Поэтому Робсон утверждает, что автор, вероятно, был писцом, бюрократом в Ларсе. [27] Повторяющаяся математическая установка таблички и подобных табличек, таких как BM 80209, была бы полезна, позволяя учителю ставить задачи в том же формате, что и друг у друга, но с разными данными.
![{\displaystyle {\sqrt {\left[{\frac {1}{2}}\left(x+{\frac {1}{x}}\right)\right]^{2}-1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14d3b25ad6aaaf2f3ed5d6e9805646cd8f0d5954)
