Процесс точки Пуассона

Тип случайного математического объекта

Визуальное изображение запуска точечного процесса Пуассона.

В теории вероятности , статистике и смежных областях точечный процесс Пуассона представляет собой тип случайного математического объекта , который состоит из точек , случайно расположенных в математическом пространстве, с той важной особенностью, что точки возникают независимо друг от друга. ^[1] Точечный процесс Пуассона также называют случайной мерой Пуассона , полем случайных точек Пуассона или точечным полем Пуассона . Когда процесс определен на действительной прямой , его часто называют просто процессом Пуассона.

Этот точечный процесс обладает удобными математическими свойствами, ^[2] что привело к тому, что его часто определяют в евклидовом пространстве и используют в качестве математической модели для, казалось бы, случайных процессов во многих дисциплинах, таких как астрономия , ^[3] биология , ^[4] экология, ^{[ 5]} геология, ^[6] сейсмология , ^[7] физика , ^[8] экономика, ^[9] обработка изображений , ^{[10] [11]} и телекоммуникации. ^{[12] [13]}

Процесс назван в честь французского математика Симеона Дени Пуассона, несмотря на то, что Пуассон никогда не изучал этот процесс. Его название происходит от того факта, что если набор случайных точек в некотором пространстве образует процесс Пуассона, то количество точек в области конечного размера является случайной величиной с распределением Пуассона . Этот процесс был обнаружен независимо и неоднократно в нескольких ситуациях, включая эксперименты по радиоактивному распаду , телефонным звонкам и страховой математике. ^{[14] [15]}

Точечный процесс Пуассона часто определяют на действительной линии , где его можно рассматривать как случайный процесс . В этом случае он используется, например, в теории массового обслуживания ^[16] для моделирования случайных событий, таких как приход покупателей в магазин, телефонные звонки на бирже или возникновение землетрясений, распределенных во времени. На плоскости точечный процесс, также известный как пространственный процесс Пуассона , ^[17] может представлять местоположения рассеянных объектов, таких как передатчики в беспроводной сети , ^{[12] [18] [19] [20]} частицы , сталкивающиеся в детектор или деревья в лесу. ^[21] В этой ситуации этот процесс часто используется в математических моделях и в смежных областях пространственных точечных процессов, ^[22] стохастической геометрии , ^[1] пространственной статистики ^{[22] [23]} и теории перколяции континуума . ^[24] Точечный процесс Пуассона можно определить на более абстрактных пространствах. Помимо приложений, точечный процесс Пуассона сам по себе является объектом математического исследования. ^[2] В любых условиях точечный процесс Пуассона обладает тем свойством, что каждая точка стохастически независима от всех других точек процесса, поэтому его иногда называют чисто или полностью случайным процессом. ^[25] Моделирование системы как процесса Пуассона недостаточно, когда взаимодействия между точками слишком сильны (т.е. точки не являются стохастически независимыми). Такую систему лучше моделировать с помощью другого точечного процесса. ^[26]

Точечный процесс зависит от одного математического объекта, который, в зависимости от контекста, может быть константой , локально интегрируемой функцией или, в более общих условиях, мерой Радона . ^[27] В первом случае константа, известная как скорость или интенсивность , представляет собой среднюю плотность точек пуассоновского процесса, расположенных в некоторой области пространства. Результирующий точечный процесс называется однородным или стационарным точечным процессом Пуассона . ^[28] Во втором случае точечный процесс называется неоднородным или неоднородным точечным процессом Пуассона , а средняя плотность точек зависит от местоположения основного пространства точечного процесса Пуассона. ^[29] Слово точка часто опускается, ^[2] но существуют и другие процессы Пуассона объектов, которые вместо точек состоят из более сложных математических объектов, таких как линии и многоугольники , и такие процессы могут быть основаны на точке Пуассона. процесс. ^[30] Как однородные, так и неоднородные точечные процессы Пуассона являются частными случаями обобщенного процесса восстановления .

Обзор определений

В зависимости от ситуации этот процесс имеет несколько эквивалентных определений ^[31] , а также определений различной общности из-за его многочисленных применений и характеристик. ^[32] Точечный процесс Пуассона можно определить, изучить и использовать в одном измерении, например, на реальной линии, где его можно интерпретировать как процесс подсчета или часть модели массового обслуживания; ^{[33] [34]} в более высоких измерениях, таких как плоскость, где он играет роль в стохастической геометрии ^[1] и пространственной статистике ; ^[35] или на более общих математических пространствах. ^[36] Следовательно, обозначения, терминология и уровень математической строгости, используемые для определения и изучения точечного процесса Пуассона и точечных процессов в целом, различаются в зависимости от контекста. ^[37]

Несмотря на все это, точечный процесс Пуассона имеет два ключевых свойства — свойство Пуассона и свойство независимости, — которые играют важную роль во всех ситуациях, где используется точечный процесс Пуассона. ^{[27] [38]} Эти два свойства не являются логически независимыми; действительно, распределение Пуассона количества точек подразумевает свойство независимости, ^[a] в то время как в обратном направлении предположения о том, что: (i) точечный процесс прост, (ii) не имеет фиксированных атомов и (iii) является ограниченно конечным необходимы. ^[39]

Распределение Пуассона количества точек

Точечный процесс Пуассона характеризуется распределением Пуассона . Распределение Пуассона — это распределение вероятностей случайной величины (называемой случайной величиной Пуассона ), такое, что вероятность которой равна : ${\textstyle N}$ ${\displaystyle \textstyle N}$ ${\displaystyle \textstyle n}$

${\displaystyle \Pr\{N=n\}={\frac {\Lambda ^{n}}{n!}}e^{-\Lambda }}$

где обозначает факториал , а параметр определяет форму распределения. (Фактически, равно ожидаемому значению .) ${\textstyle n!}$ ${\textstyle \Lambda }$ ${\textstyle \Lambda }$ ${\textstyle N}$

По определению, точечный процесс Пуассона обладает тем свойством, что количество точек в ограниченной области основного пространства процесса является случайной величиной, распределенной по Пуассону. ^[38]

Полная независимость

Рассмотрим набор непересекающихся и ограниченных подобластей основного пространства. По определению число точек точечного процесса Пуассона в каждой ограниченной подобласти будет совершенно независимо от всех остальных.

Это свойство известно под несколькими названиями, такими как полная случайность , полная независимость ^[40] или независимое рассеяние ^{[41] [42]} и является общим для всех точечных процессов Пуассона. Другими словами, отсутствует взаимодействие между различными областями и точками в целом ^[43] , что заставляет пуассоновский процесс иногда называть чисто или полностью случайным процессом. ^[40]

Однородный точечный процесс Пуассона

Если точечный процесс Пуассона имеет параметр вида , где – мера Лебега (т. е. он присваивает множествам длину, площадь или объем) и является константой, то точечный процесс называется однородным или стационарным точечным процессом Пуассона. Параметр, называемый скоростью или интенсивностью , связан с ожидаемым (или средним) количеством точек Пуассона, существующих в некоторой ограниченной области, ^{[44] [45]} , где скорость обычно используется, когда основное пространство имеет одно измерение. ^[44] Параметр можно интерпретировать как среднее количество точек на некоторую единицу протяженности, такую ​​как длина , площадь, объем или время, в зависимости от лежащего в основе математического пространства, и его также называют средней плотностью или средней скоростью ; ^[46] см. Терминология. ${\textstyle \Lambda =\nu \lambda }$ ${\textstyle \nu }$ ${\textstyle \lambda }$ ${\textstyle \lambda }$

Интерпретируется как процесс подсчета

Однородный точечный процесс Пуассона, если рассматривать его на положительной полупрямой, можно определить как счетный процесс , тип случайного процесса, который можно обозначить как . ^{[31] [34]} Процесс подсчета представляет собой общее количество происшествий или событий, которые произошли до времени включительно . Процесс счета является однородным пуассоновским процессом счета со скоростью, если он обладает следующими тремя свойствами: ^{[31] [34]} ${\textstyle \{N(t),t\geq 0\}}$ ${\textstyle t}$ ${\textstyle \lambda >0}$

• ${\textstyle N(0)=0;}$
• имеет независимые приращения ; и
• количество событий (или точек) в любом интервале длины является случайной величиной Пуассона с параметром (или средним значением) . ${\textstyle t}$ ${\textstyle \lambda t}$

Последнее свойство подразумевает:

${\displaystyle \operatorname {E} [N(t)]=\lambda t.}$

Другими словами, вероятность того, что случайная величина равна, определяется выражением: ${\textstyle N(t)}$ ${\textstyle n}$

${\displaystyle \Pr\{N(t)=n\}={\frac {(\lambda t)^{n}}{n!}}e^{-\lambda t}.}$

Процесс подсчета Пуассона также можно определить, заявив, что разницы во времени между событиями процесса подсчета являются экспоненциальными переменными со средним значением . ^[47] Разница во времени между событиями или прибытиями известна как время между прибытиями ^[48] или временем взаимодействия . ^[47] ${\textstyle 1/\lambda }$

Интерпретируется как точечный процесс на реальной линии

Интерпретируемый как точечный процесс , точечный процесс Пуассона может быть определен на действительной линии , учитывая количество точек процесса в интервале . Для однородного точечного процесса Пуассона на действительной прямой с параметром вероятность того, что это случайное число точек, записанное здесь как , будет равно некоторому счетному числу , определяется как: ^[49] ${\textstyle (a,b]}$ ${\textstyle \lambda >0}$ ${\textstyle N(a,b]}$ ${\textstyle n}$

${\displaystyle \Pr\{N(a,b]=n\}={\frac {[\lambda (b-a)]^{n}}{n!}}e^{-\lambda (b-a)},}$

Для некоторого положительного целого числа однородный точечный процесс Пуассона имеет конечномерное распределение, определяемое формулой: ^[49] ${\textstyle k}$

${\displaystyle \Pr\{N(a_{i},b_{i}]=n_{i},i=1,\dots ,k\}=\prod _{i=1}^{k}{\frac {[\lambda (b_{i}-a_{i})]^{n_{i}}}{n_{i}!}}e^{-\lambda (b_{i}-a_{i})},}$

где реальные цифры . ${\textstyle a_{i}<b_{i}\leq a_{i+1}}$

Другими словами, – случайная величина Пуассона со средним значением , где . Более того, число точек в любых двух непересекающихся интервалах, скажем, и не зависит друг от друга, и это распространяется на любое конечное число непересекающихся интервалов. ^[49] В контексте теории массового обслуживания можно рассматривать точку, существующую (в интервале) как событие , но это отличается от слова « событие» в смысле теории вероятностей. ^[b] Отсюда следует, что это ожидаемое количество прибытий , происходящих в единицу времени. ^[34] ${\textstyle N(a,b]}$ ${\textstyle \lambda (b-a)}$ ${\textstyle a\leq b}$ ${\textstyle (a_{1},b_{1}]}$ ${\textstyle (a_{2},b_{2}]}$ ${\textstyle \lambda }$

Ключевые свойства

Предыдущее определение имеет две важные особенности, общие для точечных процессов Пуассона в целом: ^{[49] [27]}

• число прибывших в каждом конечном интервале имеет распределение Пуассона;
• количество вступлений в непересекающиеся интервалы является независимыми случайными величинами.

Кроме того, у него есть третья особенность, связанная именно с однородным точечным процессом Пуассона: ^[50]

• Распределение Пуассона числа вступлений в каждый интервал зависит только от длины интервала . ${\textstyle (a+t,b+t]}$ ${\textstyle b-a}$

Другими словами, для любого конечного случайная величина не зависит от , поэтому его также называют стационарным процессом Пуассона. ^[49] ${\textstyle t>0}$ ${\textstyle N(a+t,b+t]}$ ${\textstyle t}$

Закон больших чисел

Величину можно интерпретировать как ожидаемое или среднее количество точек, встречающихся на интервале , а именно: ${\textstyle \lambda (b_{i}-a_{i})}$ ${\textstyle (a_{i},b_{i}]}$

${\displaystyle \operatorname {E} [N(a_{i},b_{i}]]=\lambda (b_{i}-a_{i}),}$

где обозначает оператор ожидания . Другими словами, параметр процесса Пуассона совпадает с плотностью точек. Более того, однородный точечный процесс Пуассона придерживается своей собственной формы (сильного) закона больших чисел. ^[51] Точнее, с вероятностью один: ${\displaystyle \operatorname {E} }$ ${\textstyle \lambda }$

${\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }{\frac {N(t)}{t}}=\lambda ,}$

где обозначает предел функции и ожидаемое количество поступлений, произошедших в единицу времени. ${\textstyle \lim }$ ${\displaystyle \lambda }$

Свойство без памяти

Расстояние между двумя последовательными точками точечного процесса на реальной линии будет экспоненциальной случайной величиной с параметром (или, что то же самое, средним значением ). Это означает, что точки обладают свойством отсутствия памяти : существование одной точки на конечном интервале не влияет на вероятность (распределение) существования других точек, ^{[52] [53]} , но это свойство не имеет естественной эквивалентности, когда пуассоновский процесс определяется в пространстве с более высокими размерностями. ^[54] ${\textstyle \lambda }$ ${\textstyle 1/\lambda }$

Упорядоченность и простота

Точечный процесс со стационарными приращениями иногда называют упорядоченным [ ^55] или регулярным , если: ^[56]

${\displaystyle \Pr\{N(t,t+\delta ]>1\}=o(\delta ),}$

где используется обозначение Little-o . Точечный процесс называется простым точечным процессом , если вероятность совпадения любой из двух его точек в одном и том же положении в базовом пространстве равна нулю. Для точечных процессов на действительной прямой вообще свойство упорядоченности означает, что процесс прост, ^[57] что и имеет место для однородного точечного пуассоновского процесса. ^[58]

Характеристика Мартингейла

На реальной линии однородный точечный процесс Пуассона связан с теорией мартингалов посредством следующей характеристики: точечный процесс является однородным точечным пуассоновским процессом тогда и только тогда, когда

${\displaystyle N(-\infty ,t]-\lambda t,}$

это мартингейл. ^{[59] [60]}

Связь с другими процессами

В действительности процесс Пуассона представляет собой разновидность марковского процесса с непрерывным временем , известного как процесс рождения , частный случай процесса рождения-смерти (с только рождением и нулевым числом смертей). ^{[61] [62]} Были определены более сложные процессы с марковским свойством , такие как процессы прибытия Маркова , где процесс Пуассона является особым случаем. ^[47]

Ограничено полулинией

Если однородный процесс Пуассона рассматривать только на полупрямой , что может иметь место, когда представляет время ^[31] , то результирующий процесс не является истинно инвариантным относительно перевода. ^[54] В этом случае процесс Пуассона больше не является стационарным, согласно некоторым определениям стационарности. ^[28] ${\textstyle [0,\infty )}$ ${\textstyle t}$

Приложения

Было много применений однородного процесса Пуассона на реальной линии в попытке смоделировать происходящие, казалось бы, случайные и независимые события. Он играет фундаментальную роль в теории массового обслуживания , которая представляет собой поле вероятности разработки подходящих стохастических моделей для представления случайного появления и ухода определенных явлений. ^{[16] [47]} Например, прибытие и обслуживание клиентов или телефонные звонки, поступающие на телефонную станцию, можно изучать с помощью методов теории массового обслуживания.

Обобщения

Однородный процесс Пуассона на действительной прямой считается одним из простейших стохастических процессов подсчета случайного числа точек. ^{[63] [64]} Этот процесс можно обобщить несколькими способами. Одним из возможных обобщений является расширение распределения времен между прибытиями с экспоненциального распределения на другие распределения, что вводит стохастический процесс, известный как процесс восстановления . Другое обобщение заключается в определении точечного процесса Пуассона в пространствах более высоких размерностей, таких как плоскость. ^[65]

Пространственный точечный процесс Пуассона

Пространственный процесс Пуассона — это точечный процесс Пуассона, определенный на плоскости . ^{[59] [66]} Для его математического определения сначала рассматривают ограниченную, открытую или замкнутую (точнее, измеримую по Борелю ) область плоскости. Число точек точечного процесса, существующих в этой области, является случайной величиной, обозначаемой . Если точки принадлежат однородному пуассоновскому процессу с параметром , то вероятность существования точек определяется выражением: ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\textstyle B}$ ${\displaystyle \textstyle N}$ ${\displaystyle \textstyle B\subset \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \textstyle N(B)}$ ${\displaystyle \textstyle \lambda >0}$ ${\displaystyle \textstyle n}$ ${\displaystyle \textstyle B}$

${\displaystyle \Pr\{N(B)=n\}={\frac {(\lambda |B|)^{n}}{n!}}e^{-\lambda |B|}}$

где обозначает площадь . ${\displaystyle \textstyle |B|}$ ${\displaystyle \textstyle B}$

Для некоторого конечного целого числа мы можем дать конечномерное распределение однородного точечного процесса Пуассона, сначала рассмотрев набор непересекающихся ограниченных борелевских (измеримых) множеств . Число точек точечного процесса, существующих в, можно записать как . Тогда однородный точечный процесс Пуассона с параметром имеет конечномерное распределение: ^[67] ${\displaystyle \textstyle k\geq 1}$ ${\displaystyle \textstyle B_{1},\dots ,B_{k}}$ ${\displaystyle \textstyle N}$ ${\displaystyle \textstyle B_{i}}$ ${\displaystyle \textstyle N(B_{i})}$ ${\displaystyle \textstyle \lambda >0}$

${\displaystyle \Pr\{N(B_{i})=n_{i},i=1,\dots ,k\}=\prod _{i=1}^{k}{\frac {(\lambda |B_{i}|)^{n_{i}}}{n_{i}!}}e^{-\lambda |B_{i}|}.}$

Приложения

Согласно одному статистическому исследованию, положения базовых станций сотовой или мобильной связи в австралийском городе Сидней , изображенном выше, напоминают реализацию однородного точечного процесса Пуассона, в то время как во многих других городах мира это не так, а другие точечные процессы необходимый. ^[68]

Пространственный точечный процесс Пуассона занимает видное место в пространственной статистике , ^{[22] [23]} стохастической геометрии и теории перколяции континуума . ^[24] Этот точечный процесс применяется в различных физических науках, например, в модели, разработанной для обнаружения альфа-частиц. В последние годы его часто использовали для моделирования, казалось бы, неупорядоченных пространственных конфигураций определенных сетей беспроводной связи. ^{[18] [19] [20]} Например, были разработаны модели сотовых или мобильных телефонных сетей, в которых предполагается, что передатчики телефонной сети, известные как базовые станции, расположены в соответствии с однородным точечным процессом Пуассона.

Определено в более высоких измерениях

Предыдущий однородный точечный процесс Пуассона немедленно распространяется на более высокие измерения, заменяя понятие площади (многомерным) объемом. Для некоторой ограниченной области евклидова пространства , если точки образуют однородный пуассоновский процесс с параметром , то вероятность существования точек в определяется выражением: ${\displaystyle \textstyle B}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \textstyle \lambda >0}$ ${\displaystyle \textstyle n}$ ${\displaystyle \textstyle B\subset \mathbb {R} ^{d}}$

${\displaystyle \Pr\{N(B)=n\}={\frac {(\lambda |B|)^{n}}{n!}}e^{-\lambda |B|}}$

где теперь обозначает -мерный объем . Кроме того, для набора непересекающихся ограниченных борелевских множеств через обозначим число точек, существующих в . Тогда соответствующий однородный точечный процесс Пуассона с параметром имеет конечномерное распределение: ^[69] ${\displaystyle \textstyle |B|}$ ${\displaystyle \textstyle d}$ ${\displaystyle \textstyle B}$ ${\displaystyle \textstyle B_{1},\dots ,B_{k}\subset \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \textstyle N(B_{i})}$ ${\displaystyle \textstyle N}$ ${\displaystyle \textstyle B_{i}}$ ${\displaystyle \textstyle \lambda >0}$

${\displaystyle \Pr\{N(B_{i})=n_{i},i=1,\dots ,k\}=\prod _{i=1}^{k}{\frac {(\lambda |B_{i}|)^{n_{i}}}{n_{i}!}}e^{-\lambda |B_{i}|}.}$

Однородные точечные процессы Пуассона не зависят от положения основного пространства через его параметр , что означает, что это одновременно стационарный процесс (инвариантный к перемещению) и изотропный (инвариантный к вращению) случайный процесс. ^[28] Подобно одномерному случаю, однородный точечный процесс ограничен некоторым ограниченным подмножеством , тогда в зависимости от некоторых определений стационарности процесс перестает быть стационарным. ^{[28] [54]} ${\displaystyle \textstyle \lambda }$ ${\textstyle \mathbb {R} ^{d}}$

Очки распределяются равномерно

Если однородный точечный процесс определен на реальной линии как математическая модель возникновения какого-либо явления, то его характеристикой является то, что положения этих явлений или событий на реальной линии (часто интерпретируемые как время) будут равномерно распределены. Точнее, если событие происходит (в соответствии с этим процессом) в интервале где , то его местоположение будет однородной случайной величиной, определенной на этом интервале. ^[67] Кроме того, однородный точечный процесс иногда называют равномерным точечным процессом Пуассона (см. Терминологию). Это свойство однородности распространяется на более высокие измерения в декартовой координате, но не, например, в полярных координатах. ^{[70] [71]} ${\displaystyle \textstyle (a,b]}$ ${\displaystyle \textstyle a\leq b}$

Неоднородный точечный процесс Пуассона

График неоднородного точечного процесса Пуассона на прямой. События отмечены черными крестиками, скорость, зависящая от времени, определяется функцией, отмеченной красным. ${\displaystyle \lambda (t)}$

Неоднородный или неоднородный точечный процесс Пуассона (см . Терминологию) представляет собой точечный процесс Пуассона с набором параметров Пуассона как некоторой зависящей от местоположения функции в базовом пространстве, в котором определен процесс Пуассона. Для евклидова пространства это достигается введением локально интегрируемой положительной функции , такой, что для каждой ограниченной области ( -мерный) объемный интеграл по области конечен. Другими словами, если этот интеграл, обозначаемый , равен: ^[45] ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \lambda \colon \mathbb {R} ^{d}\to [0,\infty )}$ ${\displaystyle \textstyle B}$ ${\displaystyle \textstyle d}$ ${\displaystyle \textstyle \lambda (x)}$ ${\displaystyle \textstyle B}$ ${\displaystyle \textstyle \Lambda (B)}$

${\displaystyle \Lambda (B)=\int _{B}\lambda (x)\,\mathrm {d} x<\infty ,}$

где - ( -мерный) элемент объема, ^[c] тогда для каждого набора непересекающихся ограниченных измеримых по Борелю множеств неоднородный процесс Пуассона с функцией (интенсивности) имеет конечномерное распределение: ^[69] ${\displaystyle \textstyle {\mathrm {d} x}}$ ${\displaystyle \textstyle d}$ ${\displaystyle \textstyle B_{1},\dots ,B_{k}}$ ${\displaystyle \textstyle \lambda (x)}$

${\displaystyle \Pr\{N(B_{i})=n_{i},i=1,\dots ,k\}=\prod _{i=1}^{k}{\frac {(\Lambda (B_{i}))^{n_{i}}}{n_{i}!}}e^{-\Lambda (B_{i})}.}$

Кроме того, имеет интерпретацию как ожидаемое количество точек пуассоновского процесса, расположенных в ограниченной области , а именно ${\displaystyle \textstyle \Lambda (B)}$ ${\displaystyle \textstyle B}$

${\displaystyle \Lambda (B)=\operatorname {E} [N(B)].}$

Определено на реальной линии

На действительной прямой неоднородный или неоднородный точечный процесс Пуассона имеет среднюю меру, определяемую одномерным интегралом. Для двух вещественных чисел и , где , обозначим число точек неоднородного пуассоновского процесса с функцией интенсивности, попадающего в интервал . Вероятность существования точек в указанном выше интервале определяется выражением: ${\displaystyle \textstyle a}$ ${\displaystyle \textstyle b}$ ${\displaystyle \textstyle a\leq b}$ ${\displaystyle \textstyle N(a,b]}$ ${\displaystyle \textstyle \lambda (t)}$ ${\displaystyle \textstyle (a,b]}$ ${\displaystyle \textstyle n}$ ${\displaystyle \textstyle (a,b]}$

${\displaystyle \Pr\{N(a,b]=n\}={\frac {[\Lambda (a,b)]^{n}}{n!}}e^{-\Lambda (a,b)}.}$

где среднее значение или мера интенсивности:

${\displaystyle \Lambda (a,b)=\int _{a}^{b}\lambda (t)\,\mathrm {d} t,}$

что означает, что случайная величина является случайной величиной Пуассона со средним значением . ${\displaystyle \textstyle N(a,b]}$ ${\displaystyle \textstyle \operatorname {E} [N(a,b]]=\Lambda (a,b)}$

Особенностью одномерной установки является то, что неоднородный пуассоновский процесс можно преобразовать в однородный с помощью монотонного преобразования или отображения, что достигается с помощью обратного процесса . ^{[72] [73]} ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$

Интерпретация процесса подсчета

Неоднородный точечный процесс Пуассона, если рассматривать его на положительной полупрямой, также иногда определяют как счетный процесс. При такой интерпретации процесс, который иногда записывается как , представляет собой общее количество происшествий или событий, произошедших до времени включительно . Счетный процесс называется неоднородным пуассоновским счетным процессом, если он обладает четырьмя свойствами: ^{[34] [74]} ${\displaystyle \textstyle \{N(t),t\geq 0\}}$ ${\displaystyle \textstyle t}$

• ${\displaystyle \textstyle N(0)=0;}$
• имеет независимые приращения ;
• ${\displaystyle \textstyle \Pr\{N(t+h)-N(t)=1\}=\lambda (t)h+o(h);}$и
• ${\displaystyle \textstyle \Pr\{N(t+h)-N(t)\geq 2\}=o(h),}$

где — асимптотика или обозначение «маленькое о» для as . В случае точечных процессов с рефрактерностью (например, последовательностей нейронных спайков) применяется более сильная версия свойства 4: ^[75] . ${\displaystyle \textstyle o(h)}$ ${\displaystyle \textstyle o(h)/h\rightarrow 0}$ ${\displaystyle \textstyle h\rightarrow 0}$ ${\displaystyle \Pr\{N(t+h)-N(t)\geq 2\}=o(h^{2})}$

Вышеуказанные свойства подразумевают, что это случайная величина Пуассона с параметром (или средним значением) ${\displaystyle \textstyle N(t+h)-N(t)}$

${\displaystyle \operatorname {E} [N(t+h)-N(t)]=\int _{t}^{t+h}\lambda (s)\,ds,}$

что подразумевает

${\displaystyle \operatorname {E} [N(h)]=\int _{0}^{h}\lambda (s)\,ds.}$

Пространственный процесс Пуассона

Неоднородный пуассоновский процесс, определенный на плоскости , называется пространственным пуассоновским процессом ^[17]. Он определяется с помощью функции интенсивности, а его мера интенсивности получается путем поверхностного интеграла его функции интенсивности по некоторой области. ^{[21] [76]} Например, его функция интенсивности (как функция декартовых координат и ) может быть равна ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\textstyle x}$ ${\displaystyle \textstyle y}$

${\displaystyle \lambda (x,y)=e^{-(x^{2}+y^{2})},}$

поэтому соответствующая мера интенсивности определяется поверхностным интегралом

${\displaystyle \Lambda (B)=\int _{B}e^{-(x^{2}+y^{2})}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y,}$

где – некоторая ограниченная область на плоскости . ${\textstyle B}$ ${\textstyle \mathbb {R} ^{2}}$

В высших измерениях

На плоскости соответствует поверхностному интегралу, а в интеграле становится ( -мерным) объемным интегралом. ${\textstyle \Lambda (B)}$ ${\textstyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\textstyle d}$

Приложения

Когда реальная линия интерпретируется как время, неоднородный процесс используется в области счетных процессов и теории массового обслуживания. ^{[74] [77]} Примеры явлений, которые были представлены или выглядели как неоднородный точечный процесс Пуассона, включают:

• Забитые голы в футбольном матче. ^[78]
• Дефекты печатной платы ^[79]

На плоскости точечный процесс Пуассона важен в смежных дисциплинах стохастической геометрии ^{[1] [35]} и пространственной статистики. ^{[22] [23]} Мера интенсивности этого точечного процесса зависит от местоположения подстилающего пространства, что означает, что его можно использовать для моделирования явлений с плотностью, которая варьируется в некоторой области. Другими словами, явления можно представить в виде точек, плотность которых зависит от местоположения. ^[21] Этот процесс использовался в различных дисциплинах, включая изучение лосося и морских вшей в океанах, ^[80] лесное хозяйство, ^[5] и поисковые задачи. ^[81]

Интерпретация функции интенсивности

Функция интенсивности Пуассона имеет интерпретацию, считающуюся интуитивной, ^[21] с элементом объема в бесконечно малом смысле: — бесконечно малая вероятность существования точки пуассоновского точечного процесса в области пространства с объемом, расположенной в точке . ^[21] ${\textstyle \lambda (x)}$ ${\textstyle \mathrm {d} x}$ ${\textstyle \lambda (x)\,\mathrm {d} x}$ ${\textstyle \mathrm {d} x}$ ${\textstyle x}$

Например, для однородного точечного процесса Пуассона на действительной прямой вероятность найти одну точку процесса в небольшом интервале ширины равна примерно . Фактически, именно такая интуиция иногда вводит точечный процесс Пуассона и выводит его распределение. ^{[82] [43] [83]} ${\textstyle \delta }$ ${\textstyle \lambda \delta }$

Простой точечный процесс

Если точечный процесс Пуассона имеет меру интенсивности, которая является локально конечной и диффузной (или неатомной), то это простой точечный процесс . Для простого точечного процесса вероятность существования точки в одной точке или месте в базовом пространстве (состояний) равна нулю или единице. Это означает, что с вероятностью единица никакие две (или более) точки точечного процесса Пуассона не совпадают по расположению в базовом пространстве. ^{[84] [19] [85]}

Моделирование

Моделирование процесса точки Пуассона на компьютере обычно выполняется в ограниченной области пространства, известной как окно моделирования , и требует двух шагов: соответствующего создания случайного числа точек, а затем соответствующего размещения точек случайным образом. Оба этих шага зависят от конкретного моделируемого процесса точки Пуассона. ^{[86] [87]}

Шаг 1: Количество баллов

Количество точек в окне, обозначенное здесь , необходимо смоделировать, что делается с помощью функции генерации (псевдо) случайных чисел , способной моделировать случайные величины Пуассона. ${\textstyle N}$ ${\textstyle W}$

Однородный случай

Для однородного случая с константой среднее значение случайной величины Пуассона устанавливается равным где длина, площадь или ( -мерный) объем . ${\textstyle \lambda }$ ${\textstyle N}$ ${\textstyle \lambda |W|}$ ${\textstyle |W|}$ ${\textstyle d}$ ${\textstyle W}$

Неоднородный случай

Для неоднородного случая заменяется ( -мерным) объемным интегралом ${\textstyle \lambda |W|}$ ${\textstyle d}$

${\displaystyle \Lambda (W)=\int _{W}\lambda (x)\,\mathrm {d} x}$

Шаг 2: Расположение точек

Второй этап требует случайного размещения точек в окне . ${\displaystyle \textstyle N}$ ${\displaystyle \textstyle W}$

Однородный случай

Для однородного случая в одном измерении все точки равномерно и независимо размещаются в окне или интервале . Для более высоких измерений в декартовой системе координат каждая координата равномерно и независимо размещается в окне . Если окно не является подпространством декартова пространства (например, внутри единичной сферы или на поверхности единичной сферы), то точки не будут равномерно размещены в , и потребуется подходящее изменение координат (из декартовых). ^[86] ${\displaystyle \textstyle W}$ ${\displaystyle \textstyle W}$ ${\displaystyle \textstyle W}$

Неоднородный случай

Для неоднородного случая можно использовать несколько различных методов в зависимости от характера функции интенсивности . ^[86] Если функция интенсивности достаточно проста, то можно генерировать независимые и случайные неоднородные (декартовы или другие) координаты точек. Например, моделирование точечного процесса Пуассона в круглом окне может быть выполнено для изотропной функции интенсивности (в полярных координатах и ​​), подразумевая, что она является вращательной вариацией или не зависит от , путем замены переменной в, если функция интенсивности равна достаточно просто. ^[86] ${\displaystyle \textstyle \lambda (x)}$ ${\displaystyle \textstyle r}$ ${\displaystyle \textstyle \theta }$ ${\displaystyle \textstyle \theta }$ ${\displaystyle \textstyle r}$ ${\displaystyle \textstyle r}$

Для более сложных функций интенсивности можно использовать метод принятия-отклонения , который заключается в использовании (или «принятии») только определенных случайных точек и неиспользовании (или «отклонении») других точек на основе соотношения: ^[88]

${\displaystyle {\frac {\lambda (x_{i})}{\Lambda (W)}}={\frac {\lambda (x_{i})}{\int _{W}\lambda (x)\,\mathrm {d} x.}}}$

где находится рассматриваемый момент принятия или отклонения. ${\displaystyle \textstyle x_{i}}$

Общий точечный процесс Пуассона

В теории меры точечный процесс Пуассона можно далее обобщить до того, что иногда называют общим точечным процессом Пуассона ^{[21] [89]} или общим процессом Пуассона ^[76] , используя меру Радона , которая является локально конечной мерой . В общем, эта мера Радона может быть атомарной, что означает, что несколько точек точечного процесса Пуассона могут существовать в одном и том же месте основного пространства. В этой ситуации количество точек является случайной величиной Пуассона со средним значением . ^[89] Но иногда предполагается обратное, поэтому мера Радона является диффузной или неатомарной. ^[21] ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$ ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$ ${\displaystyle \textstyle x}$ ${\displaystyle \textstyle \Lambda ({x})}$ ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$

Точечный процесс является общим точечным пуассоновским процессом с интенсивностью, если он обладает двумя следующими свойствами: ^[21] ${\displaystyle \textstyle {N}}$ ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$

• количество точек в ограниченном борелевском множестве является случайной величиной Пуассона со средним значением . Другими словами, обозначим общее количество точек, расположенных в , тогда вероятность того, что случайная величина будет равна : ${\displaystyle \textstyle B}$ ${\displaystyle \textstyle \Lambda (B)}$ ${\displaystyle \textstyle B}$ ${\displaystyle \textstyle {N}(B)}$ ${\displaystyle \textstyle {N}(B)}$ ${\displaystyle \textstyle n}$

${\displaystyle \Pr\{N(B)=n\}={\frac {(\Lambda (B))^{n}}{n!}}e^{-\Lambda (B)}}$

• количество точек в непересекающихся борелевских множествах образует независимые случайные величины. ${\displaystyle \textstyle n}$ ${\displaystyle \textstyle n}$

Мера Радона сохраняет свою предыдущую интерпретацию как ожидаемое количество точек, расположенных в ограниченной области , а именно ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$ ${\displaystyle \textstyle {N}}$ ${\displaystyle \textstyle B}$

${\displaystyle \Lambda (B)=\operatorname {E} [N(B)].}$

Более того, если оно абсолютно непрерывно и имеет плотность (которая является плотностью Радона – Никодима или производной) относительно меры Лебега, то для всех борелевских множеств его можно записать как: ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$ ${\displaystyle \textstyle B}$

${\displaystyle \Lambda (B)=\int _{B}\lambda (x)\,\mathrm {d} x,}$

где плотность известна, среди прочего, как функция интенсивности. ${\displaystyle \textstyle \lambda (x)}$

История

распределение Пуассона

Несмотря на свое название, точечный процесс Пуассона не был открыт и изучен французским математиком Симеоном Дени Пуассоном ; это имя приводится как пример закона Стиглера . ^{[14] [15]} Название происходит от его внутренней связи с распределением Пуассона , полученным Пуассоном как предельный случай биномиального распределения . ^[90] Это описывает вероятность суммы испытаний Бернулли с вероятностью , часто сравниваемую с количеством орла (или решки) после смещенного подбрасывания монеты с вероятностью выпадения орла (или решки) равным . Для некоторой положительной константы , увеличивающейся к бесконечности и уменьшающейся к нулю, так что произведение фиксировано, распределение Пуассона более близко приближается к биномиальному. ^[91] ${\displaystyle \textstyle n}$ ${\displaystyle \textstyle p}$ ${\displaystyle \textstyle n}$ ${\displaystyle \textstyle p}$ ${\displaystyle \textstyle \Lambda >0}$ ${\displaystyle \textstyle n}$ ${\displaystyle \textstyle p}$ ${\displaystyle \textstyle np=\Lambda }$

Пуассон вывел распределение Пуассона, опубликованное в 1841 году, исследуя биномиальное распределение в пределе ( до нуля) и (до бесконечности). Во всей работе Пуассона оно встречается только один раз ^[92] , и в его время результат не был широко известен. В последующие годы ряд людей использовали это распределение, не ссылаясь на Пуассона, в том числе Филипп Людвиг фон Зейдель и Эрнст Аббе . ^{[93] [14]} В конце 19-го века Ладислав Борткевич снова изучал распределение в других условиях (цитируя Пуассона), используя распределение с реальными данными для изучения количества смертей от ударов лошадьми в прусской армии . ^{[90] [94]} ${\displaystyle \textstyle p}$ ${\displaystyle \textstyle n}$

Открытие

Есть ряд заявлений о раннем использовании или открытии точечного процесса Пуассона. ^{[14] [15]} Например, Джон Мичелл в 1767 году, за десять лет до рождения Пуассона, интересовался вероятностью нахождения звезды в определенной области другой звезды, исходя из предположения, что звезды были «разбросаны по чистой случайности», и изучил пример, состоящий из шести ярчайших звезд Плеяд , без вывода распределения Пуассона. Эта работа вдохновила Саймона Ньюкомба изучить проблему и вычислить распределение Пуассона как приближение биномиального распределения в 1860 году. ^[15]

В начале 20 века процесс Пуассона (в одном измерении) возникал независимо в разных ситуациях. ^{[14] [15]} В Швеции в 1903 году Филип Лундберг опубликовал диссертацию, содержащую работу, которая теперь считается фундаментальной и новаторской, в которой он предложил моделировать страховые выплаты с помощью однородного процесса Пуассона. ^{[95] [96]}

В Дании в 1909 году произошло еще одно открытие, когда А. К. Эрланг вывел распределение Пуассона при разработке математической модели количества входящих телефонных звонков за конечный интервал времени. Эрланг в то время не знал о более ранних работах Пуассона и предполагал, что количество телефонных звонков, поступающих в каждый интервал времени, не зависит друг от друга. Затем он нашел предельный случай, который фактически превращает распределение Пуассона в предел биномиального распределения. ^[14]

В 1910 году Эрнест Резерфорд и Ганс Гейгер опубликовали экспериментальные результаты по подсчету альфа-частиц. В их экспериментальную работу математический вклад внес Гарри Бейтман , который вывел вероятности Пуассона как решение семейства дифференциальных уравнений, хотя решение было получено ранее, что привело к независимому открытию процесса Пуассона. ^[14] После этого было много исследований и применений процесса Пуассона, но его ранняя история сложна, что объясняется различными применениями этого процесса во многих областях биологами, экологами, инженерами и различными учеными-физиками. ^[14]

Ранние приложения

Годы после 1909 года привели к ряду исследований и применений точечного процесса Пуассона, однако его ранняя история сложна, что объясняется различными применениями этого процесса во многих областях биологами , экологами, инженерами и другими людьми, работающими в физические науки . Первые результаты были опубликованы на разных языках и в разных условиях, без использования стандартной терминологии и обозначений. ^[14] Например, в 1922 году шведский химик и лауреат Нобелевской премии Теодор Сведберг предложил модель, в которой пространственный точечный процесс Пуассона является основным процессом для изучения того, как растения распределяются в растительных сообществах. ^[97] Ряд математиков начали изучать этот процесс в начале 1930-х годов, и важный вклад внесли Андрей Колмогоров , Уильям Феллер и Александр Хинчин , ^[14] среди других. ^[98] В области телетрафика математики и статистики изучали и использовали Пуассоновский и другие точечные процессы. ^[99]

История терминов

Швед Конни Палм в своей диссертации 1943 года изучал пуассоновские и другие точечные процессы в одномерной обстановке, рассматривая их с точки зрения статистической или стохастической зависимости между моментами времени. ^{[100] [99]} В его работе существует первое известное зарегистрированное использование термина « точечные процессы» как Punktprozesse на немецком языке. ^{[100] [15]}

Считается ^[14] , что Уильям Феллер был первым, кто в печати 1940 года назвал его процессом Пуассона . Хотя швед Уве Лундберг использовал термин « процесс Пуассона» в своей докторской диссертации 1940 года ^[15] , в которой Феллер был признан влиятельным человеком, ^[101] утверждалось, что Феллер ввел этот термин до 1940 года. ^[91] Было отмечено что и Феллер, и Лундберг использовали этот термин так, как если бы он был хорошо известен, подразумевая, что к тому времени он уже использовался в разговорной речи. ^[15] Феллер работал с 1936 по 1939 год вместе с Харальдом Крамером в Стокгольмском университете , где Лундберг был аспирантом под руководством Крамера, который не использовал термин « процесс Пуассона» в своей книге, законченной в 1936 году, но использовал его в последующих изданиях, которые его привело к предположению, что термин « процесс Пуассона» был придуман где-то между 1936 и 1939 годами в Стокгольмском университете. ^[15]

Терминология

Терминология теории точечных процессов в целом подвергалась критике за слишком разнообразность. ^[15] В дополнение к тому, что слово « точка» часто опускается, ^{[65] [2]} однородный пуассоновский (точечный) процесс также называют стационарным пуассоновским (точечным) процессом, ^[49] а также равномерным пуассоновским (точечным) процессом. ^[44] Неоднородный точечный процесс Пуассона, помимо того, что его называют неоднородным , ^[49] также называют нестационарным пуассоновским процессом. ^{[74] [102]}

Термин « точечный процесс» подвергся критике, поскольку термин « процесс» может указывать на течение времени и пространства, поэтому поле случайных точек , ^[103] в результате чего также используются термины « поле случайных точек Пуассона» или «поле точек Пуассона ». ^[104] Точечный процесс рассматривается и иногда называется случайной считающей мерой, ^[105] поэтому точечный процесс Пуассона также называется случайной мерой Пуассона , ^[106] термин, используемый при изучении процессов Леви, ^{[104] 106] [107]} , но некоторые предпочитают использовать два термина для процессов точек Пуассона, определенных в двух разных базовых пространствах. ^[108]

Базовое математическое пространство точечного процесса Пуассона называется пространством носителей ^{[109] [110]} или пространством состояний , хотя последний термин имеет другое значение в контексте случайных процессов. В контексте точечных процессов термин «пространство состояний» может означать пространство, в котором определяется точечный процесс, например, действительная линия, ^{[111] [112]} , которая соответствует набору индексов ^[113] или набору параметров ^{[114]. ]} в терминологии случайных процессов.

Эта мера называется мерой интенсивности , ^[115] средней мерой , ^[38] или мерой параметра , ^[69] , поскольку не существует стандартных терминов. ^[38] Если имеет производную или плотность, обозначаемую , называется функцией интенсивности точечного процесса Пуассона. ^[21] Для однородного точечного процесса Пуассона производная меры интенсивности — это просто константа , которую можно назвать скоростью , обычно когда базовым пространством является действительная линия или интенсивность . ^[44] Его также называют средней скоростью , средней плотностью ^[116] или скоростью . ^[34] При соответствующий процесс иногда называют стандартным пуассоновским (точечным) процессом. ^{[45] [59] [117]} ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$ ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$ ${\displaystyle \textstyle \lambda (x)}$ ${\displaystyle \textstyle \lambda >0}$ ${\displaystyle \textstyle \lambda =1}$

Степень процесса точки Пуассона иногда называют экспозицией . ^{[118] [119]}

Обозначения

Обозначение точечного процесса Пуассона зависит от его установки и области, в которой он применяется. Например, на действительной линии процесс Пуассона, как однородный, так и неоднородный, иногда интерпретируется как счетный процесс, и используются обозначения для представления процесса Пуассона. ^{[31] [34]} ${\displaystyle \textstyle \{N(t),t\geq 0\}}$

Другая причина изменения обозначений связана с теорией точечных процессов, которая имеет несколько математических интерпретаций. Например, простой точечный процесс Пуассона можно рассматривать как случайный набор, что предполагает обозначение , подразумевающее, что это случайная точка, принадлежащая или являющаяся элементом точечного процесса Пуассона . Другая, более общая интерпретация состоит в том, чтобы рассматривать пуассоновский или любой другой точечный процесс как случайную меру счета, поэтому можно записать количество точек точечного процесса Пуассона, найденных или расположенных в некоторой (измеримой по Борелю) области , как , что случайная величина. Эти различные интерпретации приводят к использованию обозначений из математических областей, таких как теория меры и теория множеств. ^[120] ${\displaystyle \textstyle x\in N}$ ${\displaystyle \textstyle x}$ ${\displaystyle \textstyle N}$ ${\displaystyle \textstyle {N}}$ ${\displaystyle \textstyle B}$ ${\displaystyle \textstyle N(B)}$

Для общих точечных процессов иногда включается нижний индекс к символу точки, например , поэтому его пишут (с обозначением множества) вместо и можно использовать для связанной переменной в интегральных выражениях, таких как теорема Кэмпбелла, вместо обозначения случайных точек. . ^[19] Иногда прописная буква обозначает точечный процесс, а строчная — точку из процесса, поэтому, например, точка или принадлежит или является точкой точечного процесса и записывается с использованием обозначений набора как или . ^[112] ${\displaystyle \textstyle x}$ ${\displaystyle \textstyle x_{i}\in N}$ ${\displaystyle \textstyle x\in N}$ ${\displaystyle \textstyle x}$ ${\displaystyle \textstyle x}$ ${\displaystyle \textstyle x_{i}}$ ${\displaystyle \textstyle X}$ ${\displaystyle \textstyle x\in X}$ ${\displaystyle \textstyle x_{i}\in X}$

Более того, теория множеств и обозначения теории интеграла или меры могут использоваться как взаимозаменяемые. Например, для точечного процесса , определенного в евклидовом пространстве состояний, и (измеримой) функции на , выражение ${\displaystyle \textstyle N}$ ${\displaystyle \textstyle {\mathbb {R} ^{d}}}$ ${\displaystyle \textstyle f}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{d}}f(x)\,\mathrm {d} N(x)=\sum \limits _{x_{i}\in N}f(x_{i}),}$

демонстрирует два разных способа записи суммирования по точечному процессу (см. также теорему Кэмпбелла (вероятность) ). Более конкретно, интегральная запись в левой части интерпретирует точечный процесс как случайную меру подсчета, тогда как сумма в правой части предполагает интерпретацию случайного набора. ^[120]

Функционалы и моментные меры

В теории вероятностей операции применяются к случайным величинам для разных целей. Иногда эти операции представляют собой обычные ожидания, которые дают среднее значение или дисперсию случайной величины. Другие, такие как характеристические функции (или преобразования Лапласа) случайной величины, можно использовать для однозначной идентификации или характеристики случайных величин и доказательства таких результатов, как центральная предельная теорема. ^[121] В теории точечных процессов существуют аналогичные математические инструменты, которые обычно существуют в виде мер и функционалов, а не моментов и функций соответственно. ^{[122] [123]}

Функционалы Лапласа

Для точечного процесса Пуассона с мерой интенсивности в некотором пространстве функционал Лапласа определяется выражением: ^[19] ${\displaystyle \textstyle N}$ ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle L_{N}(f)=\mathbb {E} e^{-\int _{X}f(x)\,N(\mathrm {d} x)}=e^{-\int _{X}(1-e^{-f(x)})\Lambda (\mathrm {d} x)},}$

Одна из версий теоремы Кэмпбелла включает функционал Лапласа точечного процесса Пуассона.

Вероятностно-генерирующие функционалы

Производящая функция вероятности неотрицательной целочисленной случайной величины приводит к тому, что производящий функционал определяется аналогично относительно любой неотрицательной ограниченной функции на такой, что . Для точечного процесса производящий функционал вероятности определяется как: ^[124] ${\displaystyle \textstyle v}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \textstyle 0\leq v(x)\leq 1}$ ${\displaystyle \textstyle {N}}$

${\displaystyle G(v)=\operatorname {E} \left[\prod _{x\in N}v(x)\right]}$

где произведение выполняется для всех точек в . Если мера интенсивности локально конечна, то корректно определена для любой измеримой функции на . Для точечного процесса Пуассона с мерой интенсивности производящий функционал определяется выражением: ${\textstyle N}$ ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$ ${\displaystyle \textstyle {N}}$ ${\textstyle G}$ ${\displaystyle \textstyle u}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$

${\displaystyle G(v)=e^{-\int _{\mathbb {R} ^{d}}[1-v(x)]\,\Lambda (\mathrm {d} x)},}$

что в однородном случае сводится к

${\displaystyle G(v)=e^{-\lambda \int _{\mathbb {R} ^{d}}[1-v(x)]\,\mathrm {d} x}.}$

Измерение момента

Для общего точечного процесса Пуассона с мерой интенсивности первой мерой момента является его мера интенсивности: ^{[19] [20]} ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$

${\displaystyle M^{1}(B)=\Lambda (B),}$

что для однородного точечного процесса Пуассона с постоянной интенсивностью означает: ${\displaystyle \textstyle \lambda }$

${\displaystyle M^{1}(B)=\lambda |B|,}$

где длина, площадь или объем (или, в более общем плане, мера Лебега ) . ${\displaystyle \textstyle |B|}$ ${\displaystyle \textstyle B}$

Уравнение Мекке

Уравнение Мекке характеризует точечный процесс Пуассона. Пусть - пространство всех -конечных мер на некотором общем пространстве . Точечный процесс с интенсивностью on является точечным процессом Пуассона тогда и только тогда, когда для всех измеримых функций справедливо следующее ${\displaystyle \mathbb {N} _{\sigma }}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle f:{\mathcal {Q}}\times \mathbb {N} _{\sigma }\to \mathbb {R} _{+}}$

${\displaystyle \Pr \left[\int f(x,\eta )\eta (\mathrm {d} x)\right]=\int \Pr \left[f(x,\eta +\delta _{x})\right]\lambda (\mathrm {d} x)}$

Более подробную информацию см. ^[125]

Факториальная мера момента

Для общего точечного процесса Пуассона с мерой интенсивности мера -го факториального момента определяется выражением: ^[126] ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$ ${\displaystyle \textstyle n}$

${\displaystyle M^{(n)}(B_{1}\times \cdots \times B_{n})=\prod _{i=1}^{n}[\Lambda (B_{i})],}$

где – мера интенсивности или мера первого момента , которая для некоторого борелевского набора определяется выражением ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$ ${\displaystyle \textstyle {N}}$ ${\displaystyle \textstyle B}$

${\displaystyle \Lambda (B)=M^{1}(B)=\operatorname {E} [N(B)].}$

Для однородного точечного процесса Пуассона мера -го факториального момента просто: ^{[19] [20]} ${\displaystyle \textstyle n}$

${\displaystyle M^{(n)}(B_{1}\times \cdots \times B_{n})=\lambda ^{n}\prod _{i=1}^{n}|B_{i}|,}$

где длина, площадь или объем (или, в более общем смысле, мера Лебега ) . Кроме того, -я факториальная плотность момента равна: ^[126] ${\displaystyle \textstyle |B_{i}|}$ ${\displaystyle \textstyle B_{i}}$ ${\displaystyle \textstyle n}$

${\displaystyle \mu ^{(n)}(x_{1},\dots ,x_{n})=\lambda ^{n}.}$

Функция предотвращения

Функция избегания ^[71] или вероятность пустоты ^[120] точечного процесса определяется по отношению к некоторому множеству , которое является подмножеством основного пространства , как вероятность отсутствия точек, существующих в . Точнее, ^[127] для тестового набора функция избегания определяется выражением: ${\displaystyle \textstyle v}$ ${\displaystyle \textstyle {N}}$ ${\displaystyle \textstyle B}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \textstyle {N}}$ ${\displaystyle \textstyle B}$ ${\displaystyle \textstyle B}$

${\displaystyle v(B)=\Pr\{N(B)=0\}.}$

Для общего точечного процесса Пуассона с мерой интенсивности его функция избегания определяется выражением: ${\displaystyle \textstyle {N}}$ ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$

${\displaystyle v(B)=e^{-\Lambda (B)}}$

Теорема Реньи

Простые точечные процессы полностью характеризуются вероятностью пустоты. ^[128] Другими словами, полная информация о простом точечном процессе полностью фиксируется в его пустотных вероятностях, а два простых точечных процесса имеют одинаковые пустотные вероятности тогда и только тогда, когда они являются одними и теми же точечными процессами. Случай процесса Пуассона иногда называют теоремой Реньи , названной в честь Альфреда Реньи , который обнаружил результат для случая однородного точечного процесса в одномерном измерении. ^[129]

В одной из своих форм ^[129] теорема Реньи утверждает, что для диффузной (или неатомарной) меры Радона и множества, представляющего собой конечное объединение прямоугольников (то есть не Бореля ^[d] ), что if является счетным подмножеством такого, что: ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \textstyle A}$ ${\displaystyle \textstyle N}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$

${\displaystyle \Pr\{N(A)=0\}=v(A)=e^{-\Lambda (A)}}$

тогда – точечный процесс Пуассона с мерой интенсивности . ${\displaystyle \textstyle {N}}$ ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$

Точечные технологические операции

Математические операции могут выполняться над точечными процессами для получения новых точечных процессов и разработки новых математических моделей расположения определенных объектов. Один из примеров операции известен как прореживание, которая влечет за собой удаление или удаление точек некоторого точечного процесса в соответствии с правилом, создание нового процесса с оставшимися точками (удаленные точки также образуют точечный процесс). ^[131]

Истончение

Для процесса Пуассона независимые операции прореживания приводят к другому точечному процессу Пуассона. Более конкретно, операция -утонения, примененная к точечному процессу Пуассона с мерой интенсивности, дает точечный процесс удаленных точек, который также является точечным процессом Пуассона с мерой интенсивности , который для ограниченного борелевского множества определяется следующим образом: ${\displaystyle \textstyle p(x)}$ ${\displaystyle \textstyle p(x)}$ ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$ ${\displaystyle \textstyle {N}_{p}}$ ${\displaystyle \textstyle \Lambda _{p}}$ ${\displaystyle \textstyle B}$

${\displaystyle \Lambda _{p}(B)=\int _{B}p(x)\,\Lambda (\mathrm {d} x)}$

Этот результат утончения точечного процесса Пуассона иногда называют теоремой Прекопы . ^[132] Кроме того, после случайного прореживания точечного процесса Пуассона сохраненные или оставшиеся точки также образуют точечный процесс Пуассона, который имеет меру интенсивности

${\displaystyle \Lambda _{p}(B)=\int _{B}(1-p(x))\,\Lambda (\mathrm {d} x).}$

Два отдельных точечных процесса Пуассона, сформированные соответственно из удаленных и сохраненных точек, стохастически независимы друг от друга. ^[131] Другими словами, если известно, что регион содержит сохраненные точки (из исходного процесса точек Пуассона), то это не будет иметь никакого влияния на случайное количество удаленных точек в том же регионе. Эту способность случайным образом создавать два независимых точечных процесса Пуассона из одного иногда называют расщеплением ^{[133] [134]} точечного процесса Пуассона. ${\displaystyle \textstyle n}$

Суперпозиция

Если существует счетная совокупность точечных процессов , то их суперпозиция или, на языке теории множеств, их объединение, т. е. ^[135] ${\displaystyle \textstyle N_{1},N_{2},\dots }$

${\displaystyle N=\bigcup _{i=1}^{\infty }N_{i},}$

также образует точечный процесс. Другими словами, любые точки, находящиеся в любом из точечных процессов, будут также находиться в суперпозиции этих точечных процессов . ${\displaystyle \textstyle N_{1},N_{2}\dots }$ ${\displaystyle \textstyle {N}}$

Теорема суперпозиции

Теорема о суперпозиции точечного процесса Пуассона гласит, что суперпозиция независимых точечных процессов Пуассона со средней мерой также будет точечным процессом Пуассона со средней мерой ^{[136] [91]} ${\displaystyle \textstyle N_{1},N_{2}\dots }$ ${\displaystyle \textstyle \Lambda _{1},\Lambda _{2},\dots }$

${\displaystyle \Lambda =\sum _{i=1}^{\infty }\Lambda _{i}.}$

Другими словами, объединение двух (или счетного числа) пуассоновских процессов — это еще один пуассоновский процесс. Если точка выбрана из счетного объединения пуассоновских процессов, то вероятность того, что точка принадлежит пуассоновскому процессу, определяется выражением: ${\textstyle x}$ ${\textstyle n}$ ${\displaystyle \textstyle x}$ ${\textstyle j}$ ${\textstyle N_{j}}$

${\displaystyle \Pr\{x\in N_{j}\}={\frac {\Lambda _{j}}{\sum _{i=1}^{n}\Lambda _{i}}}.}$

Для двух однородных пуассоновских процессов с интенсивностями два предыдущих выражения сводятся к ${\textstyle \lambda _{1},\lambda _{2}\dots }$

${\displaystyle \lambda =\sum _{i=1}^{\infty }\lambda _{i},}$

и

${\displaystyle \Pr\{x\in N_{j}\}={\frac {\lambda _{j}}{\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}}}.}$

Кластеризация

Операция кластеризации выполняется при замене каждой точки некоторого точечного процесса другой (возможно, отличной) точечным процессом. Если исходный процесс является точечным процессом Пуассона, то результирующий процесс называется точечным процессом кластера Пуассона. ${\displaystyle \textstyle x}$ ${\displaystyle \textstyle {N}}$ ${\displaystyle \textstyle {N}}$ ${\displaystyle \textstyle {N}_{c}}$

Случайное смещение

Математическая модель может требовать случайного перемещения точек точечного процесса в другие места основного математического пространства, что приводит к операции точечного процесса, известной как смещение ^[137] или перенос. ^[138] Точечный процесс Пуассона использовался, например, для моделирования движения растений между поколениями благодаря теореме о смещении, ^[137] которая в общих чертах гласит, что случайное независимое смещение точек точечного процесса Пуассона (на то же самое пространство) образует другой точечный процесс Пуассона.

Теорема о смещении

Одна из версий теоремы о смещении ^[137] включает точечный процесс Пуассона с функцией интенсивности . Затем предполагается, что точки случайным образом смещаются куда-то еще, так что смещение каждой точки независимо и что смещение точки, ранее расположенной в, представляет собой случайный вектор с плотностью вероятности . ^[e] Тогда новый точечный процесс также является точечным процессом Пуассона с функцией интенсивности. ${\displaystyle \textstyle {N}}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \textstyle \lambda (x)}$ ${\displaystyle \textstyle {N}}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \textstyle x}$ ${\displaystyle \textstyle \rho (x,\cdot )}$ ${\displaystyle \textstyle N_{D}}$

${\displaystyle \lambda _{D}(y)=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\lambda (x)\rho (x,y)\,\mathrm {d} x.}$

Если процесс Пуассона однороден с и если является функцией , то ${\displaystyle \textstyle \lambda (x)=\lambda >0}$ ${\displaystyle \rho (x,y)}$ ${\displaystyle y-x}$

${\displaystyle \lambda _{D}(y)=\lambda .}$

Другими словами, после каждого случайного и независимого перемещения точек исходный точечный процесс Пуассона все еще существует.

Теорема смещения может быть расширена таким образом, что точки Пуассона случайным образом перемещаются из одного евклидова пространства в другое евклидово пространство , где не обязательно равно . ^[19] ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d'}}$ ${\displaystyle \textstyle d'\geq 1}$ ${\displaystyle \textstyle d}$

Картирование

Еще одно свойство, которое считается полезным, — это возможность отображать точечный процесс Пуассона из одного базового пространства в другое пространство. ^[139]

Теорема об отображении

Если отображение (или преобразование) соответствует некоторым условиям, то результирующий отображенный (или преобразованный) набор точек также образует точечный процесс Пуассона, и этот результат иногда называют теоремой об отображении . ^{[139] [140]} Теорема включает в себя некоторый точечный процесс Пуассона со средней мерой в некотором базовом пространстве. Если расположение точек отображается (то есть точечный процесс преобразуется) в соответствии с некоторой функцией в другое базовое пространство, то результирующий точечный процесс также является точечным процессом Пуассона, но с другой средней мерой . ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$ ${\displaystyle \textstyle \Lambda '}$

Более конкретно, можно рассмотреть (измеримую по Борелю) функцию , которая отображает точечный процесс с мерой интенсивности из одного пространства в другое пространство таким образом, чтобы новый точечный процесс имел меру интенсивности: ${\displaystyle \textstyle f}$ ${\displaystyle \textstyle {N}}$ ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$ ${\displaystyle \textstyle S}$ ${\displaystyle \textstyle T}$ ${\displaystyle \textstyle {N}'}$

${\displaystyle \Lambda (B)'=\Lambda (f^{-1}(B))}$

без атомов, где – борелевское множество и обозначает обратную функцию . Если – точечный процесс Пуассона, то новый процесс также является точечным процессом Пуассона с мерой интенсивности . ${\displaystyle \textstyle B}$ ${\displaystyle \textstyle f^{-1}}$ ${\displaystyle \textstyle f}$ ${\displaystyle \textstyle {N}}$ ${\displaystyle \textstyle {N}'}$ ${\displaystyle \textstyle \Lambda '}$

Аппроксимации точечными процессами Пуассона.

Легкость пуассоновского процесса означает, что иногда удобно аппроксимировать непуассоновский точечный процесс пуассоновским. Общая цель состоит в том, чтобы аппроксимировать как количество точек некоторого точечного процесса, так и местоположение каждой точки с помощью точечного процесса Пуассона. ^[141] Существует ряд методов, которые можно использовать для неформального или строгого обоснования аппроксимации возникновения случайных событий или явлений подходящими точечными процессами Пуассона. Более строгие методы включают получение верхних границ вероятностных метрик между пуассоновскими и непуассоновскими точечными процессами, в то время как другие методы могут быть оправданы менее формальными эвристиками. ^[142]

Сгущающая эвристика

Один из методов аппроксимации случайных событий или явлений с помощью пуассоновских процессов называется эвристикой сгущения . ^[143] Общий эвристический принцип или принцип включает использование точечного процесса Пуассона (или распределения Пуассона) для аппроксимации событий, которые считаются редкими или маловероятными, некоторого стохастического процесса. В некоторых случаях эти редкие события близки к независимости, поэтому можно использовать точечный процесс Пуассона. Когда события не являются независимыми, а имеют тенденцию происходить в кластерах или сгустках , то, если эти сгустки определены соответствующим образом так, что они приблизительно независимы друг от друга, тогда количество возникающих сгустков будет близко к случайной величине Пуассона ^[142] а расположение сгустков будет близко к пуассоновскому процессу. ^[143]

метод Штейна

Метод Штейна — это математический метод, первоначально разработанный для аппроксимации случайных величин, таких как переменные Гаусса и Пуассона, который также применялся к точечным процессам. Метод Штейна можно использовать для получения верхних границ вероятностных метрик , которые позволяют количественно оценить, как два разных случайных математических объекта изменяются стохастически. ^{[141] [144]} Были получены верхние границы вероятностных показателей, таких как общая вариация и расстояние Вассерштейна . ^[141]

Исследователи применили метод Штейна к точечным процессам Пуассона разными способами, ^[141] например, используя исчисление Пальма . ^[110] Методы, основанные на методе Штейна, были разработаны для учета в верхних границах эффектов определенных операций точечного процесса , таких как прореживание и суперпозиция. ^{[145] [146]} Метод Стейна также использовался для получения верхних границ метрик Пуассона и других процессов, таких как точечный процесс Кокса , который представляет собой процесс Пуассона со случайной мерой интенсивности. ^[141]

Сходимость к точечному процессу Пуассона

В общем, когда операция применяется к общему точечному процессу, результирующий процесс обычно не является точечным процессом Пуассона. Например, если точки точечного процесса, отличного от пуассоновского, смещены случайно и независимо, то этот процесс не обязательно будет точечным процессом Пуассона. Однако при определенных математических условиях как для исходного точечного процесса, так и для случайного смещения с помощью предельных теорем было показано, что если точки точечного процесса неоднократно смещаются случайным и независимым образом, то конечное распределение точки процесс будет сходиться (слабо) к точечному процессу Пуассона. ^[147]

Аналогичные результаты сходимости были получены для операций прореживания и суперпозиции ^[147] , которые показывают, что такие повторяющиеся операции над точечными процессами могут при определенных условиях приводить к сходимости процесса к точечным процессам Пуассона при условии подходящего масштабирования меры интенсивности (в противном случае значения меры интенсивности результирующих точечных процессов будут приближаться к нулю или бесконечности). Такая работа по сходимости напрямую связана с результатами, известными как уравнения Палма-Хинчина [ ^f] , которые берут свое начало в работе Конни Палма и Александра Хинчина ^[148] и помогают объяснить, почему процесс Пуассона часто можно использовать в качестве математическая модель различных случайных явлений. ^[147]

Обобщения точечных процессов Пуассона

Точечный процесс Пуассона можно обобщить, например, изменив его меру интенсивности или определив более общие математические пространства. Эти обобщения можно изучать математически, а также использовать для математического моделирования или представления физических явлений.

Случайные меры пуассоновского типа

Случайные меры пуассоновского типа (PT) представляют собой семейство из трех случайных счетных мер, замкнутых при ограничении на подпространство, т.е. замкнутых при операции точечного процесса #Thinning . Эти случайные меры являются примерами смешанного биномиального процесса и разделяют свойство самоподобия распределения случайной меры Пуассона . Они являются единственными членами канонического семейства распределений неотрицательных степенных рядов , которые обладают этим свойством и включают распределение Пуассона , отрицательное биномиальное распределение и биномиальное распределение . Случайная мера Пуассона не зависит от непересекающихся подпространств, тогда как другие случайные меры PT (отрицательные биномиальные и биномиальные) имеют положительные и отрицательные ковариации. Случайные меры PT обсуждаются ^[149] и включают случайную меру Пуассона , отрицательную биномиальную случайную меру и биномиальную случайную меру.

Точечные процессы Пуассона в более общих пространствах

Для математических моделей точечный процесс Пуассона часто определяется в евклидовом пространстве, ^{[1] [38],} но он был обобщен на более абстрактные пространства и играет фундаментальную роль в изучении случайных мер, ^{[150] [151]} , что требует понимания математических областей, таких как теория вероятностей, теория меры и топология. ^[152]

В целом концепция расстояния представляет практический интерес для приложений, тогда как топологическая структура необходима для распределений Пальма, а это означает, что точечные процессы обычно определяются в математических пространствах с метрикой. ^[153] Кроме того, реализацию точечного процесса можно рассматривать как меру подсчета, поэтому точечные процессы представляют собой типы случайных мер, известных как случайные меры подсчета. ^[117] В этом контексте пуассоновский и другие точечные процессы изучались на локально компактном втором счетном хаусдорфовом пространстве. ^[154]

Процесс точки Кокса

Точечный процесс Кокса , процесс Кокса или дважды стохастический процесс Пуассона является обобщением точечного процесса Пуассона, позволяя его мере интенсивности также быть случайной и независимой от основного процесса Пуассона. Процесс назван в честь Дэвида Кокса , который представил его в 1955 году, хотя другие процессы Пуассона со случайной интенсивностью были независимо представлены ранее Люсьеном Ле Камом и Морисом Кенуем. ^[15] Мерой интенсивности может быть реализация случайной величины или случайного поля. Например, если логарифм меры интенсивности представляет собой гауссово случайное поле , то результирующий процесс известен как логгауссовский процесс Кокса . ^[155] В более общем смысле, мера интенсивности представляет собой реализацию неотрицательной локально конечной случайной меры. Точечные процессы Кокса демонстрируют кластеризацию точек, которая, как можно показать математически, больше, чем у точечных процессов Пуассона. Общность и управляемость процессов Кокса привели к тому, что их стали использовать в качестве моделей в таких областях, как пространственная статистика ^[156] и беспроводные сети. ^[20] ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$

Маркированный точечный процесс Пуассона

Иллюстрация процесса с отмеченной точкой, где процесс с немаркированной точкой определяется на положительной действительной линии, которая часто представляет время. Случайные метки принимают значения в пространстве состояний, известном как пространство меток . Любой такой процесс с отмеченной точкой можно интерпретировать как процесс с немаркированной точкой в ​​пространстве . Теорема о маркировке гласит, что если исходный процесс немаркированной точки является точечным процессом Пуассона, а метки стохастически независимы, то процесс отмеченной точки также является точечным процессом Пуассона на . Если точечный процесс Пуассона однороден, то разрывы на диаграмме рисуются из экспоненциального распределения. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle [0,\infty ]\times S}$ ${\displaystyle [0,\infty ]\times S}$ ${\displaystyle \tau _{i}}$

Для данного точечного процесса каждая случайная точка точечного процесса может иметь случайный математический объект, известный как метка , случайно назначенный ей. Эти метки могут быть такими же разнообразными, как целые числа, действительные числа, линии, геометрические объекты или другие точечные процессы. ^{[157] [158]} Пара, состоящая из точки точечного процесса и соответствующей ей метки, называется отмеченной точкой, и все отмеченные точки образуют отмеченный точечный процесс . ^[159] Часто предполагается, что случайные метки независимы друг от друга и одинаково распределены, однако метка точки все еще может зависеть от местоположения соответствующей точки в базовом пространстве (состояний). ^[160] Если базовый точечный процесс является точечным процессом Пуассона, то результирующий точечный процесс является отмеченным точечным процессом Пуассона . ^[161]

Теорема о маркировке

Если общий точечный процесс определен в некотором математическом пространстве , а случайные метки определены в другом математическом пространстве, то процесс отмеченной точки определяется в декартовом произведении этих двух пространств. Для отмеченного точечного процесса Пуассона с независимыми и одинаково распределенными метками теорема о маркировке ^{[160] [162]} утверждает, что этот процесс отмеченной точки также является (немаркированным) точечным процессом Пуассона, определенным на вышеупомянутом декартовом произведении двух математических пространств. , что неверно для общих точечных процессов.

Сложный точечный процесс Пуассона

Сложный точечный процесс Пуассона или составной пуассоновский процесс формируется путем добавления случайных значений или весов к каждой точке точечного процесса Пуассона, определенной в некотором базовом пространстве, поэтому процесс строится из отмеченного точечного процесса Пуассона, где метки образуют набор независимых и одинаково распределенные неотрицательные случайные величины. Другими словами, для каждой точки исходного пуассоновского процесса существует независимая и одинаково распределенная неотрицательная случайная величина, и тогда составной пуассоновский процесс формируется из суммы всех случайных величин, соответствующих точкам пуассоновского процесса, расположенным в некоторой области основного математического пространства. ^[163]

Если существует отмеченный точечный процесс Пуассона, сформированный из точечного процесса Пуассона (определенного, например, на ) и набора независимых и одинаково распределенных неотрицательных меток, таких, что для каждой точки пуассоновского процесса существует неотрицательная случайная переменная , результирующий составной процесс Пуассона будет тогда: ^[164] ${\displaystyle \textstyle N}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \textstyle \{M_{i}\}}$ ${\displaystyle \textstyle x_{i}}$ ${\displaystyle \textstyle N}$ ${\displaystyle \textstyle M_{i}}$

${\displaystyle C(B)=\sum _{i=1}^{N(B)}M_{i},}$

где – измеримое по Борелю множество. ${\displaystyle \textstyle B\subset \mathbb {R} ^{d}}$

Если общие случайные переменные принимают значения, например, в -мерном евклидовом пространстве , результирующий составной процесс Пуассона является примером процесса Леви при условии, что он формируется из однородного процесса Point , определенного для неотрицательных чисел . ^[165] ${\displaystyle \textstyle \{M_{i}\}}$ ${\displaystyle \textstyle d}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \textstyle N}$ ${\displaystyle \textstyle [0,\infty )}$

Процесс разрушения при экспоненциальном сглаживании функций интенсивности

Процесс разрушения с экспоненциальным сглаживанием функций интенсивности (FP-ESI) является расширением неоднородного процесса Пуассона. Функция интенсивности FP-ESI представляет собой экспоненциальную функцию сглаживания функций интенсивности в последние моменты времени возникновения событий и превосходит другие девять стохастических процессов на 8 реальных наборах данных об отказах, когда модели используются для подбора наборов данных ^{[166] . ]} , где производительность модели измеряется с точки зрения AIC ( информационный критерий Акаике ) и BIC ( байесовский информационный критерий ).

Смотрите также

• Булева модель (теория вероятностей)
• Теория перколяции континуума
• Сложный процесс Пуассона
• Процесс Кокса
• Точечный процесс
• Стохастическая геометрия
• Стохастические геометрические модели беспроводных сетей
• Марковские процессы прибытия

Примечания

1. См. раздел 2.3.2 Чиу, Стояна, Кендалла, Мекке ^[1] или раздел 1.3 Кингмана. ^[2]
2. Например, событие, не происходящее в смысле теории массового обслуживания, может быть событием в смысле теории вероятностей.
3. Вместо и можно написать, например, в (двумерных) полярных координатах и ​​, где и обозначают радиальную и угловую координаты соответственно, и в этом примере это будет элемент площади. ${\displaystyle \textstyle \lambda (x)}$ ${\displaystyle \textstyle {\mathrm {d} }x}$ ${\displaystyle \textstyle \lambda (r,\theta )}$ ${\textstyle r\,dr\,d\theta }$ ${\displaystyle \textstyle r}$ ${\displaystyle \textstyle \theta }$ ${\displaystyle \textstyle {\mathrm {d} }x}$
4. Это множество образовано конечным числом объединений, тогда как борелевское множество образовано счетным числом операций над множествами. ^[130] ${\displaystyle \textstyle A}$
5. Кингман ^[137] называет это плотностью вероятности, но в других ресурсах это называется вероятностным ядром . ^[19]
6. Также пишется Palm-Khintchine, например, в «Точечных процессах» Кокса и Ишама (1980, стр. 41).

Рекомендации

Специфический

1. Сунг Нок Чиу; Дитрих Стоян; Уилфрид С. Кендалл; Йозеф Мекке (27 июня 2013 г.). Стохастическая геометрия и ее приложения. Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-1-118-65825-3.
2. JFC Kingman (17 декабря 1992 г.). Пуассоновские процессы. Кларендон Пресс. ISBN 978-0-19-159124-2.
3. Г. Дж. Бабу и Э. Д. Фейгельсон. Пространственные точечные процессы в астрономии. Журнал статистического планирования и выводов , 50(3):311–326, 1996.
4. Х. Г. Отмер, С. Р. Данбар и В. Альт. Модели расселения в биологических системах. Журнал математической биологии , 26(3):263–298, 1988.
5. Х. Томпсон. Пространственные точечные процессы с приложениями к экологии. Биометрика , 42(1/2):102–115, 1955.
6. CB Коннор и BE Hill. Три неоднородные модели Пуассона для вероятности базальтового вулканизма: применение к горному региону Юкка, штат Невада. Журнал геофизических исследований: Solid Earth (1978–2012) , 100 (B6): 10107–10125, 1995.
7. Гарднер, Дж. К.; Кнопофф, Л. (1974). «Является ли последовательность землетрясений в Южной Калифорнии с удаленными афтершоками пуассоновской?». Бюллетень Сейсмологического общества Америки . 64 (5): 1363–1367. Бибкод : 1974BuSSA..64.1363G. дои : 10.1785/BSSA0640051363. S2CID  131035597.
8. Джей Ди Скаргл. Исследования в области анализа астрономических временных рядов. v. байесовские блоки, новый метод анализа структуры данных подсчета фотонов. Астрофизический журнал , 504(1):405, 1998.
9. П. Агион и П. Ховитт. Модель роста через созидательное разрушение. Эконометрика , 60 (2). 323–351, 1992.
10. М. Бертеро, П. Боккаччи, Г. Дезидера и Г. Висидомини. Устранение размытия изображений с помощью данных Пуассона: от ячеек до галактик. Обратные задачи , 25(12):123006, 2009.
11. «Цвет шума».
12. Ф. Баччелли и Б. Блащишин. Стохастическая геометрия и беспроводные сети, Том II-Приложения , том 4, № 1–2, «Основы и тенденции в сетевых технологиях» . Издательство NoW, 2009.
13. М. Хенгги, Дж. Эндрюс, Ф. Бачелли, О. Дусс и М. Франческетти. Стохастическая геометрия и случайные графы для анализа и проектирования беспроводных сетей. IEEE JSAC , 27(7):1029–1046, сентябрь 2009 г.
14. Стирзакер, Дэвид (2000). «Советы ежам, или Константы могут меняться». Математический вестник . 84 (500): 197–210. дои : 10.2307/3621649. ISSN  0025-5572. JSTOR  3621649. S2CID  125163415.
15. Гутторп, Питер; Тораринсдоттир, Тордис Л. (2012). «Что случилось с дискретным хаосом, процессом Кенуя и свойством Шарпа Маркова? Немного истории стохастических точечных процессов». Международный статистический обзор . 80 (2): 253–268. дои : 10.1111/j.1751-5823.2012.00181.x. ISSN  0306-7734. S2CID  80836.
16. Леонард Кляйнрок (1976). Системы массового обслуживания: теория . Уайли. ISBN 978-0-471-49110-1.
17. А. Бэддели; И. Барань; Р. Шнайдер (26 октября 2006 г.). Стохастическая геометрия: лекции, прочитанные на Летней школе CIME в Мартина Франка, Италия, 13–18 сентября 2004 г. Springer. п. 10. ISBN 978-3-540-38175-4.
18. Дж. Г. Эндрюс, Р. К. Ганти, М. Хенгги, Н. Джиндал и С. Вебер. Учебник по пространственному моделированию и анализу в беспроводных сетях. Журнал коммуникаций, IEEE , 48(11):156–163, 2010 г.
19. Ф. Бачелли и Б. Блащишин. Стохастическая геометрия и беспроводные сети, Том I – Теория , том 3, № 3–4 « Основы и тенденции в сетевых технологиях ». Издательство NoW, 2009.
20. Мартин Хэнгги (2013). Стохастическая геометрия для беспроводных сетей. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-107-01469-5.
21. Сунг Нок Чиу; Дитрих Стоян; Уилфрид С. Кендалл; Йозеф Мекке (27 июня 2013 г.). Стохастическая геометрия и ее приложения. Джон Уайли и сыновья. стр. 51–52. ISBN 978-1-118-65825-3.
22. А. Бэддели; И. Барань; Р. Шнайдер (26 октября 2006 г.). Стохастическая геометрия: лекции, прочитанные на Летней школе CIME в Мартина Франка, Италия, 13–18 сентября 2004 г. Springer. ISBN 978-3-540-38175-4.
23. Джеспер Моллер; Расмус Пленге Ваагепетерсен (25 сентября 2003 г.). Статистический вывод и моделирование пространственных точечных процессов. ЦРК Пресс. ISBN 978-0-203-49693-0.
24. Р. Мистер и Р. Рой. Проникновение континуума, 119 том кембриджских трактатов по математике, 1996.
25. Дейли и Вер-Джонс (2003), с. 27.
26. Сунг Нок Чиу; Дитрих Стоян; Уилфрид С. Кендалл; Йозеф Мекке (27 июня 2013 г.). Стохастическая геометрия и ее приложения. Джон Уайли и сыновья. стр. 35–36. ISBN 978-1-118-65825-3.
27. Сунг Нок Чиу; Дитрих Стоян; Уилфрид С. Кендалл; Йозеф Мекке (27 июня 2013 г.). Стохастическая геометрия и ее приложения. Джон Уайли и сыновья. стр. 41 и 51. ISBN. 978-1-118-65825-3.
28. Сунг Нок Чиу; Дитрих Стоян; Уилфрид С. Кендалл; Йозеф Мекке (27 июня 2013 г.). Стохастическая геометрия и ее приложения. Джон Уайли и сыновья. стр. 41–42. ISBN 978-1-118-65825-3.
29. Дейли и Вер-Джонс (2003), с. 22.
30. JFC Кингман (17 декабря 1992 г.). Пуассоновские процессы. Кларендон Пресс. стр. 73–76. ISBN 978-0-19-159124-2.
31. HC Tijms (18 апреля 2003 г.). Первый курс стохастических моделей. Джон Уайли и сыновья. стр. 1–2. ISBN 978-0-471-49880-3.
32. Дейли и Вер-Джонс (2003), стр. 26–37.
33. HC Tijms (18 апреля 2003 г.). Первый курс стохастических моделей. Джон Уайли и сыновья. стр. 1 и 9. ISBN 978-0-471-49880-3.
34. Шелдон М. Росс (1996). Случайные процессы. Уайли. стр. 59–60. ISBN 978-0-471-12062-9.
35. А. Баддели. Ускоренный курс стохастической геометрии. Стохастическая геометрия: правдоподобие и вычисления под ред. О.Э. Барндорфф-Нильсена, В.С. Кендалла, Х.Н.Н. ван Лисхаута (Лондон: Чепмен и Холл) , страницы 1–35, 1999.
36. DJ Дейли; Дэвид Вер-Джонс (12 ноября 2007 г.). Введение в теорию точечных процессов: Том II: Общая теория и структура. Springer Science & Business Media. стр. 1–2. ISBN 978-0-387-21337-8.
37. Сунг Нок Чиу; Дитрих Стоян; Уилфрид С. Кендалл; Йозеф Мекке (27 июня 2013 г.). Стохастическая геометрия и ее приложения. Джон Уайли и сыновья. стр. 110–111. ISBN 978-1-118-65825-3.
38. JFC Kingman (17 декабря 1992 г.). Пуассоновские процессы. Кларендон Пресс. стр. 11–12. ISBN 978-0-19-159124-2.
39. Дейли и Вер-Джонс (2003), стр. 34–39.
40. Дейли, Дэрил Дж.; Вер-Джонс, Дэвид (2007). Введение в теорию точечных процессов: Том II: Общая теория и структура . Спрингер. п. 26. ISBN 978-0387213378.
41. Джеспер Моллер; Расмус Пленге Ваагепетерсен (25 сентября 2003 г.). Статистический вывод и моделирование пространственных точечных процессов. ЦРК Пресс. стр. 15–16. ISBN 978-0-203-49693-0.
42. Рой Л. Стрейт (15 сентября 2010 г.). Пуассоновские точечные процессы: визуализация, отслеживание и зондирование. Springer Science & Business Media. стр. 7–8. ISBN 978-1-4419-6923-1.
43. В. Феллер. Введение в теорию вероятностей и ее приложения, вып. II под. 1974.
44. JFC Kingman (17 декабря 1992 г.). Пуассоновские процессы. Кларендон Пресс. п. 13. ISBN 978-0-19-159124-2.
45. Джеспер Моллер; Расмус Пленге Ваагепетерсен (25 сентября 2003 г.). Статистический вывод и моделирование пространственных точечных процессов. ЦРК Пресс. п. 14. ISBN 978-0-203-49693-0.
46. Дейли и Вер-Джонс (2003), с. 20.
47. HC Tijms (18 апреля 2003 г.). Первый курс стохастических моделей. Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-0-471-49880-3.
48. Шелдон М. Росс (1996). Случайные процессы. Уайли. п. 64. ИСБН 978-0-471-12062-9.
49. Дейли, Дэрил Дж.; Вер-Джонс, Дэвид (2007). Введение в теорию точечных процессов: Том II: Общая теория и структура . Спрингер. п. 19. ISBN 978-0387213378.
50. Дейли и Вер-Джонс (2003), стр. 19–23.
51. JFC Кингман (17 декабря 1992 г.). Пуассоновские процессы. Кларендон Пресс. п. 42. ИСБН 978-0-19-159124-2.
52. Хенк К. Таймс (6 мая 2003 г.). Первый курс стохастических моделей. Уайли. стр. 2–3. ISBN 978-0-471-49881-0.
53. Шелдон М. Росс (1996). Случайные процессы. Уайли. стр. 35–36. ISBN 978-0-471-12062-9.
54. JFC Kingman (17 декабря 1992 г.). Пуассоновские процессы. Кларендон Пресс. стр. 38–39. ISBN 978-0-19-159124-2.
55. Дейли и Вер-Джонс (2003), стр. 29–30.
56. Шелдон М. Росс (1996). Случайные процессы. Уайли. п. 151. ИСБН 978-0-471-12062-9.
57. Кокс и Ишам (1980), с. 25.
58. Дейли, Дэрил Дж.; Вер-Джонс, Дэвид (2007). Введение в теорию точечных процессов: Том II: Общая теория и структура . Спрингер. п. 29. ISBN 978-0387213378.
59. Э. Мерцбах и Д. Нуаларт. Характеристика пространственного пуассоновского процесса и изменения времени. Анналы вероятности , 14(4):1380–1390, 1986.
60. Фейгин, Пол Д. (1979). «О характеристике точечных процессов со свойством порядковой статистики». Журнал прикладной вероятности . 16 (2): 297–304. дои : 10.2307/3212898. JSTOR  3212898. S2CID  123904407.
61. Шелдон М. Росс (1996). Случайные процессы. Уайли. п. 235. ИСБН 978-0-471-12062-9.
62. А. Папулис и С.У. Пиллаи. Вероятность, случайные величины и случайные процессы . Тата МакГроу-Хилл Образование, 2002.
63. Кокс и Ишам (1980), с. 3.
64. Д. Снайдер и М. Миллер. Случайные точечные процессы во времени и пространстве 2e Springer-Verlag. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк , 1991 год.
65. Дейли, Дэрил Дж.; Вер-Джонс, Дэвид (2007). Введение в теорию точечных процессов: Том II: Общая теория и структура . Спрингер. ISBN 978-0387213378.
66. Лоусон, AB (1993). «Остаток отклонения для неоднородных пространственных пуассоновских процессов». Биометрия . 49 (3): 889–897. дои : 10.2307/2532210. JSTOR  2532210.
67. Дейли, Дэрил Дж.; Вер-Джонс, Дэвид (2007). Введение в теорию точечных процессов: Том II: Общая теория и структура . Спрингер. стр. 19–23. ISBN 978-0387213378.
68. Ли, CH; Ши, К.-Ю.; Чен, Ю.-С. (2012). «Модели на основе стохастической геометрии для моделирования сотовых сетей в городских районах». Беспроводная сеть . 19 (6): 1063–1072. дои : 10.1007/s11276-012-0518-0. S2CID  8409538.
69. DJ Дейли; Дэвид Вер-Джонс (12 ноября 2007 г.). Введение в теорию точечных процессов: Том II: Общая теория и структура. Springer Science & Business Media. п. 31. ISBN 978-0-387-21337-8.
70. Сунг Нок Чиу; Дитрих Стоян; Уилфрид С. Кендалл; Йозеф Мекке (27 июня 2013 г.). Стохастическая геометрия и ее приложения. Джон Уайли и сыновья. стр. 38–40 и 53–54. ISBN 978-1-118-65825-3.
71. DJ Дейли; Дэвид Вер-Джонс (12 ноября 2007 г.). Введение в теорию точечных процессов: Том II: Общая теория и структура. Springer Science & Business Media. п. 25. ISBN 978-0-387-21337-8.
72. JFC Кингман (17 декабря 1992 г.). Пуассоновские процессы. Кларендон Пресс. п. X. ISBN 978-0-19-159124-2.
73. Рой Л. Стрейт (15 сентября 2010 г.). Пуассоновские точечные процессы: визуализация, отслеживание и зондирование. Springer Science & Business Media. п. 6. ISBN 978-1-4419-6923-1.
74. HC Tijms (18 апреля 2003 г.). Первый курс стохастических моделей. Джон Уайли и сыновья. стр. 22–23. ISBN 978-0-471-49880-3.
75. Л. Сити; Д. Ба; Э. Н. Браун и Р. Барбьери (2014). «Методы правдоподобия для точечных процессов с тугоплавкостью» (PDF) . Нейронные вычисления . 26 (2): 237–263. дои : 10.1162/NECO_a_00548. hdl : 1721.1/85015 . PMID  24206384. S2CID  1436173.
76. А. Бэддели; И. Барань; Р. Шнайдер (26 октября 2006 г.). Стохастическая геометрия: лекции, прочитанные на Летней школе CIME в Мартина Франка, Италия, 13–18 сентября 2004 г. Springer. п. 12. ISBN 978-3-540-38175-4.
77. Шелдон М. Росс (1996). Случайные процессы. Уайли. стр. 78–81. ISBN 978-0-471-12062-9.
78. А. Хойер, К. Мюллер и О. Рубнер. Футбол: Является ли забивание голов предсказуемым пуассоновским процессом? ЭПЛ , 89(3):38007, 2010.
79. JY Хван, В. Куо и К. Ха. Моделирование выхода интегральных схем с использованием пространственного неоднородного процесса Пуассона. Производство полупроводников, IEEE Transactions , 24(3):377–384, 2011 г.
80. М. Крко{\vs}ек, М.А. Льюис и Дж.П. Вольпе. Динамика передачи паразитических морских вшей от фермы к дикому лососю. Труды Королевского общества B: Биологические науки , 272 (1564): 689–696, 2005.
81. П.А. Льюис и Г.С. Шедлер. Моделирование неоднородных пуассоновских процессов методом прореживания. Ежеквартальный журнал военно-морских исследований , 26 (3): 403–413, 1979.
82. JFC Кингман (17 декабря 1992 г.). Пуассоновские процессы. Кларендон Пресс. п. 10. ISBN 978-0-19-159124-2.
83. Кокс и Ишам (1980), стр. 3–6.
84. Сунг Нок Чиу; Дитрих Стоян; Уилфрид С. Кендалл; Йозеф Мекке (27 июня 2013 г.). Стохастическая геометрия и ее приложения. Джон Уайли и сыновья. п. 44. ИСБН 978-1-118-65825-3.
85. Мартин Хэнгги (2013). Стохастическая геометрия для беспроводных сетей. Издательство Кембриджского университета. п. 11. ISBN 978-1-107-01469-5.
86. Сунг Нок Чиу; Дитрих Стоян; Уилфрид С. Кендалл; Йозеф Мекке (27 июня 2013 г.). Стохастическая геометрия и ее приложения. Джон Уайли и сыновья. стр. 53–55. ISBN 978-1-118-65825-3.
87. Рой Л. Стрейт (15 сентября 2010 г.). Пуассоновские точечные процессы: визуализация, отслеживание и зондирование. Springer Science & Business Media. стр. 13–14. ISBN 978-1-4419-6923-1.
88. Рой Л. Стрейт (15 сентября 2010 г.). Пуассоновские точечные процессы: визуализация, отслеживание и зондирование. Springer Science & Business Media. стр. 14–16. ISBN 978-1-4419-6923-1.
89. Мартин Хэнгги (2013). Стохастическая геометрия для беспроводных сетей. Издательство Кембриджского университета. стр. 18–19. ISBN 978-1-107-01469-5.
90. Good, IJ (1986). «Некоторые статистические применения работ Пуассона». Статистическая наука . 1 (2): 157–170. дои : 10.1214/ss/1177013690 . ISSN  0883-4237.
91. Гриммет, Г.; Стирзакер, Д. (2001). Вероятность и случайные процессы (3-е изд.). Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-857222-0.
92. Стиглер, С.М. (1982). «Пуассон о распределении Пуассона». Статистика и вероятностные буквы . 1 (1): 33–35. дои : 10.1016/0167-7152(82)90010-4.
93. Дейли и Вер-Джонс (2003), стр. 8–9.
94. Куайн, М.; Сенета, Э. (1987). «Данные Борткевича и закон малых чисел». Международный статистический обзор . 55 (2): 173–181. дои : 10.2307/1403193. JSTOR  1403193.
95. Эмбрехтс, Пол; Фрей, Рюдигер; Фуррер, Хансйорг (2001). «Стохастические процессы в страховании и финансах». Случайные процессы: теория и методы . Справочник по статистике. Том. 19. с. 367. дои :10.1016/S0169-7161(01)19014-0. ISBN 9780444500144. ISSN  0169-7161.
96. Крамер, Харальд (1969). «Исторический обзор работ Филипа Лундберга по теории риска». Скандинавский актуарный журнал . 1969 (sup3): 6–12. дои : 10.1080/03461238.1969.10404602. ISSN  0346-1238.
97. Иллиан, Дж.; Пенттинен, А.; Стоян, Х.; Стоян, Д. (2008). Статистический анализ и моделирование пространственных точечных узоров . Том. 70. Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-0-470-01491-2.
98. Кингман, Дж. (2009). «Первый век Эрланга — и следующий». Системы массового обслуживания . 63 (1–4): 3–12. дои : 10.1007/s11134-009-9147-4. S2CID  38588726.
99. Хауген, РБ (1995). «Жизнь и творчество Конни Палм. Некоторые личные комментарии и опыт». Симпозиум ВТТ . Valtion teknillinen tutkimuskeskus. 154 : 207. ISSN  0357-9387.
100. DJ Дейли; Дэвид Вер-Джонс (12 ноября 2007 г.). Введение в теорию точечных процессов: Том II: Общая теория и структура. Springer Science & Business Media. стр. 13–14. ISBN 978-0-387-21337-8.
101. Дж. Гранделл. Смешанные пуассоновские процессы , том 77. CRC Press, 1997.
102. Кокс и Ишам (1980), с. ИКС.
103. Сунг Нок Чиу; Дитрих Стоян; Уилфрид С. Кендалл; Йозеф Мекке (27 июня 2013 г.). Стохастическая геометрия и ее приложения. Джон Уайли и сыновья. п. 109. ИСБН 978-1-118-65825-3.
104. Г. Михайлов и Т. Аверина. Статистическое моделирование неоднородных случайных функций на основе точечных полей Пуассона. В Докладах Математики , том 82, страницы 701–704. Спрингер, 2010.
105. И. Молчанов. Теория случайных множеств . Springer Science \ & Business Media, 2006.
106. К. Сато. Процессы Леви и бесконечная делимость, 1999.
107. В. Мандрекар и Б. Рюдигер. Стохастическое интегрирование в банаховых пространствах . Спрингер, 2015.
108. Д. Эпплбаум. Процессы Леви и стохастическое исчисление . Издательство Кембриджского университета, 2009.
109. Э. Ф. Хардинг и Р. Дэвидсон. Стохастическая геометрия: дань памяти Ролло Дэвидсону . Уайли, 1974 год.
110. Л. Х. Чен и А. Ся. Метод Штейна, теория Пальма и аппроксимация процесса Пуассона. Анналы вероятности , страницы 2545–2569, 2004.
111. JFC Кингман (17 декабря 1992 г.). Пуассоновские процессы. Кларендон Пресс. п. 8. ISBN 978-0-19-159124-2.
112. Джеспер Моллер; Расмус Пленге Ваагепетерсен (25 сентября 2003 г.). Статистический вывод и моделирование пространственных точечных процессов. ЦРК Пресс. п. 7. ISBN 978-0-203-49693-0.
113. Эмануэль Парзен (17 июня 2015 г.). Случайные процессы. Публикации Courier Dover. стр. 7–8 и 29–30. ISBN 978-0-486-79688-8.
114. Джон Ламперти (1977). Случайные процессы: обзор математической теории. Спрингер-Верлаг. стр. 1 и 10–11. ISBN 978-3-540-90275-1.
115. Сунг Нок Чиу; Дитрих Стоян; Уилфрид С. Кендалл; Йозеф Мекке (27 июня 2013 г.). Стохастическая геометрия и ее приложения. Джон Уайли и сыновья. п. 112. ИСБН 978-1-118-65825-3.
116. Дейли, Дэрил Дж.; Вер-Джонс, Дэвид (2007). Введение в теорию точечных процессов: Том II: Общая теория и структура . Спрингер. п. 20. ISBN 978-0387213378.
117. Дж. Гранделл. Точечные процессы и случайные меры. Достижения в области прикладной теории вероятностей , страницы 502–526, 1977.
118. Некоторые модели Пуассона, Vose Software , получено 18 января 2016 г.
119. Хельске, Йоуни (25 июня 2015 г.), «KFAS: Экспоненциальные модели пространства состояний семейства в R» (PDF) , Журнал статистического программного обеспечения , Комплексная сеть архивов R , 78 (10), arXiv : 1612.01907 , doi : 10.18637/jss. v078.i10, S2CID  14379617 , получено 18 января 2016 г.
120. Сунг Нок Чиу; Дитрих Стоян; Уилфрид С. Кендалл; Йозеф Мекке (27 июня 2013 г.). Стохастическая геометрия и ее приложения. Джон Уайли и сыновья. п. 100. ИСБН 978-1-118-65825-3.
121. А. Карр. Вероятность . Тексты Спрингера в серии «Статистика». Спрингер-Верлаг, 1993.
122. Сунг Нок Чиу; Дитрих Стоян; Уилфрид С. Кендалл; Йозеф Мекке (27 июня 2013 г.). Стохастическая геометрия и ее приложения. Джон Уайли и сыновья. стр. 120–126. ISBN 978-1-118-65825-3.
123. DJ Дейли; Дэвид Вер-Джонс (12 ноября 2007 г.). Введение в теорию точечных процессов: Том II: Общая теория и структура. Springer Science & Business Media. стр. 52–75. ISBN 978-0-387-21337-8.
124. Сунг Нок Чиу; Дитрих Стоян; Уилфрид С. Кендалл; Йозеф Мекке (27 июня 2013 г.). Стохастическая геометрия и ее приложения. Джон Уайли и сыновья. стр. 125–126. ISBN 978-1-118-65825-3.
125. Гюнтер Ласт; Мэтью Пенроуз (8 августа 2017 г.). Лекции по процессу Пуассона (PDF) .
126. Сунг Нок Чиу; Дитрих Стоян; Уилфрид С. Кендалл; Йозеф Мекке (27 июня 2013 г.). Стохастическая геометрия и ее приложения. Джон Уайли и сыновья. стр. 47–48. ISBN 978-1-118-65825-3.
127. Сунг Нок Чиу; Дитрих Стоян; Уилфрид С. Кендалл; Йозеф Мекке (27 июня 2013 г.). Стохастическая геометрия и ее приложения. Джон Уайли и сыновья. п. 42. ИСБН 978-1-118-65825-3.
128. Сунг Нок Чиу; Дитрих Стоян; Уилфрид С. Кендалл; Йозеф Мекке (27 июня 2013 г.). Стохастическая геометрия и ее приложения. Джон Уайли и сыновья. п. 43. ИСБН 978-1-118-65825-3.
129. JFC Kingman (17 декабря 1992 г.). Пуассоновские процессы. Кларендон Пресс. п. 34. ISBN 978-0-19-159124-2.
130. DJ Дейли; Дэвид Вер-Джонс (12 ноября 2007 г.). Введение в теорию точечных процессов: Том II: Общая теория и структура. Springer Science & Business Media. стр. 384–385. ISBN 978-0-387-21337-8.
131. Сунг Нок Чиу; Дитрих Стоян; Уилфрид С. Кендалл; Йозеф Мекке (27 июня 2013 г.). Стохастическая геометрия и ее приложения. Джон Уайли и сыновья. п. 158. ИСБН 978-1-118-65825-3.
132. Сунг Нок Чиу; Дитрих Стоян; Уилфрид С. Кендалл; Йозеф Мекке (27 июня 2013 г.). Стохастическая геометрия и ее приложения. Джон Уайли и сыновья. п. 160. ИСБН 978-1-118-65825-3.
133. Д. Берцекас и Дж. Цициклис . Введение в вероятность, сер. Серия Athena Scientific по оптимизации и вычислениям. Афина Сайентифик , 2008.
134. Дж. Ф. Хейс. Моделирование и анализ сетей компьютерных коммуникаций . Издательство Персей, 1984.
135. Сунг Нок Чиу; Дитрих Стоян; Уилфрид С. Кендалл; Йозеф Мекке (27 июня 2013 г.). Стохастическая геометрия и ее приложения. Джон Уайли и сыновья. п. 165. ИСБН 978-1-118-65825-3.
136. JFC Кингман (17 декабря 1992 г.). Пуассоновские процессы. Кларендон Пресс. п. 16. ISBN 978-0-19-159124-2.
137. JFC Kingman (17 декабря 1992 г.). Пуассоновские процессы. Кларендон Пресс. п. 61. ИСБН 978-0-19-159124-2.
138. DJ Дейли; Дэвид Вер-Джонс (12 ноября 2007 г.). Введение в теорию точечных процессов: Том II: Общая теория и структура. Springer Science & Business Media. стр. 166–167. ISBN 978-0-387-21337-8.
139. JFC Kingman (17 декабря 1992 г.). Пуассоновские процессы. Кларендон Пресс. п. 18. ISBN 978-0-19-159124-2.
140. Джеффри Гримметт; Дэвид Стирзакер (31 мая 2001 г.). Вероятность и случайные процессы. ОУП Оксфорд. п. 284. ИСБН 978-0-19-857222-0.
141. Л. Х. Чен, А. Рёллин и др. Аппроксимация зависимых редких событий. Бернулли , 19(4):1243–1267, 2013.
142. Р. Арратиа, С. Таваре и др. {Обзор: Д. Олдос, Вероятностные аппроксимации с помощью эвристики сгущения Пуассона; А. Д. Барбур, Л. Холст, С. Янсон, Пуассоновское приближение}. Анналы вероятности , 21(4):2269–2279, 1993.
143. Д. Олдос. Эвристика пуассоновского сгущения . Интернет-библиотека Уайли, 1989.
144. AD Барбур и TC Браун. Метод Штейна и аппроксимация точечного процесса. Случайные процессы и их приложения , 43(1):9–31, 1992.
145. Д. Шумахер. Оценки расстояний для зависимых суперпозиций точечных процессов. Случайные процессы и их приложения , 115(11):1819–1837, 2005.
146. Д. Шумахер. Оценки расстояний для аппроксимаций пуассоновского процесса зависимых утонений. Электронный журнал вероятностей , 10:165–201, 2005.
147. DJ Дейли; Дэвид Вер-Джонс (12 ноября 2007 г.). Введение в теорию точечных процессов: Том II: Общая теория и структура. Springer Science & Business Media. стр. 131–132. ISBN 978-0-387-21337-8.
148. DJ Дейли; Дэвид Вер-Джонс (12 ноября 2007 г.). Введение в теорию точечных процессов: Том II: Общая теория и структура. Springer Science & Business Media. п. 146. ИСБН 978-0-387-21337-8.
149. Калеб Бастиан, Грегори Ремпала. Бросание камней и сбор костей: В поисках пуассоновских случайных мер, Математические методы в прикладных науках, 2020. doi:10.1002/mma.6224
150. Олав Калленберг (1983). Случайные меры. Академия-Верлаг. ISBN 978-0-12-394960-8.
151. JFC Кингман (17 декабря 1992 г.). Пуассоновские процессы. Кларендон Пресс. стр. 79–84. ISBN 978-0-19-159124-2.
152. DJ Дейли; Дэвид Вер-Джонс (12 ноября 2007 г.). Введение в теорию точечных процессов: Том II: Общая теория и структура. Springer Science & Business Media. стр. 368–413. ISBN 978-0-387-21337-8.
153. А. Е. Гельфанд, П. Диггл, П. Гутторп и М. Фуэнтес. Справочник по пространственной статистике , Глава 9. CRC press, 2010.
154. О. Калленберг. Случайные меры . Академический Пр., 1983.
155. Дж. Мёллер, А. Р. Сиверсвен и Р. П. Ваагепетерсен. Логарифмировать гауссовы процессы Кокса. Скандинавский статистический журнал , 25(3):451–482, 1998.
156. Дж. Мёллер и Р.П. Ваагепетерсен. Современная статистика пространственных точечных процессов. Скандинавский статистический журнал , 34(4):643–684, 2007.
157. Джеспер Моллер; Расмус Пленге Ваагепетерсен (25 сентября 2003 г.). Статистический вывод и моделирование пространственных точечных процессов. ЦРК Пресс. п. 8. ISBN 978-0-203-49693-0.
158. Мартин Хэнгги (2013). Стохастическая геометрия для беспроводных сетей. Издательство Кембриджского университета. стр. 138–140. ISBN 978-1-107-01469-5.
159. А. Бэддели; И. Барань; Р. Шнайдер (26 октября 2006 г.). Стохастическая геометрия: лекции, прочитанные на Летней школе CIME в Мартина Франка, Италия, 13–18 сентября 2004 г. Springer. стр. 19–21. ISBN 978-3-540-38175-4.
160. JFC Kingman (17 декабря 1992 г.). Пуассоновские процессы. Кларендон Пресс. п. 55. ИСБН 978-0-19-159124-2.
161. Франсуа Бачелли; Бартломей Блащишин (2009). Стохастическая геометрия и беспроводные сети. Now Publishers Inc., стр. 291–293. ISBN 978-1-60198-264-3.
162. Рой Л. Стрейт (15 сентября 2010 г.). Пуассоновские точечные процессы: визуализация, отслеживание и зондирование. Springer Science & Business Media. стр. 205–206. ISBN 978-1-4419-6923-1.
163. Дейли и Вер-Джонс (2003), стр. 198–199.
164. Дейли, Дэрил Дж.; Вер-Джонс, Дэвид (2007). Введение в теорию точечных процессов: Том II: Общая теория и структура . Спрингер. п. 198. ИСБН 978-0387213378.
165. Дэвид Эпплбаум (5 июля 2004 г.). Процессы Леви и стохастическое исчисление. Издательство Кембриджского университета. стр. 46–47. ISBN 978-0-521-83263-2.
166. Ву, С. (2019). Модель процесса разрушения с экспоненциальным сглаживанием функций интенсивности. Европейский журнал операционных исследований , 275(2), 502–513.

Общий

Книги

• А. Баддели; И. Барань; Р. Шнайдер (26 октября 2006 г.). Стохастическая геометрия: лекции, прочитанные на Летней школе CIME в Мартина Франка, Италия, 13–18 сентября 2004 г. Springer. ISBN 978-3-540-38175-4.
• Кокс, Др . ; Ишам, Валери (1980). Точечные процессы . Чепмен и Холл. ISBN 978-0-412-21910-8.
• Дейли, Дэрил Дж.; Вер-Джонс, Дэвид (2003). Введение в теорию точечных процессов: Том I: Элементарная теория и методы . Спрингер. ISBN 978-1475781090.
• Дейли, Дэрил Дж.; Вер-Джонс, Дэвид (2007). Введение в теорию точечных процессов: Том II: Общая теория и структура . Спрингер. ISBN 978-0387213378.
• Кингман, Джон Франк (1992). Пуассоновские процессы . Кларендон Пресс. ISBN 978-0198536932.
• Моллер, Йеспер; Ваагепетерсен, Расмус П. (2003). Статистический вывод и моделирование пространственных точечных процессов . ЦРК Пресс. ISBN 978-1584882657.
• Росс, С.М. (1996). Случайные процессы . Уайли. ISBN 978-0-471-12062-9.
• Снайдер, Д.Л.; Миллер, Мичиган (1991). Случайные точечные процессы во времени и пространстве . Спрингер-Верлаг. ISBN 978-0-387-97577-1.
• Стоян, Дитрих; Кендалл, Уилфред С.; Мекке, Джозеф (1995). Стохастическая геометрия и ее приложения . Уайли. ISBN 978-0471950998.
• Стрейт, Стрейт (2010). Пуассоновские точечные процессы: визуализация, отслеживание и зондирование . Springer Science & Business Media. ISBN 978-1441969224.
• ХК Таймс (18 апреля 2003 г.). Первый курс стохастических моделей. Джон Уайли и сыновья. стр. 22–23. ISBN 978-0-471-49880-3.

Статьи

• Стирзакер, Дэвид (2000). «Советы ежам, или, константы могут меняться». Математический вестник .
• Гутторп, Питер; Тораринсдоттир, Тордис Л. (2012). «Что случилось с дискретным хаосом, процессом Кенуя и точным марковским свойством? Немного истории стохастических точечных процессов». Международный статистический обзор .