Полиадическое пространство

В математике полиадическое пространство — это топологическое пространство , которое является образом непрерывной функции топологической степени александровской одноточечной компактификации дискретного пространства .

История

Полиадические пространства были впервые изучены С. Мрувкой в ​​1970 как обобщение диадических пространств . ^[1] Дальнейшее развитие теории получили Р. Х. Марти, Янош Герлитс и Мюррей Г. Белл, ^[2] последний из которых ввел концепцию более общего центрированного пространства. ^[1]

Фон

Подмножество K топологического пространства X называется компактным, если каждое открытое покрытие K содержит конечное подпокрытие. Говорят, что оно локально компактно в точке x ∈ X , если x лежит внутри некоторого компактного подмножества X . X является локально компактным пространством , если оно локально компактно в каждой точке пространства. ^[3]

Собственное подмножество A ⊂ X называется плотным, если замыкание Ā = X . Пространство, множество которого имеет счетное плотное подмножество, называется сепарабельным пространством .

Для некомпактного, локально компактного топологического пространства Хаусдорфа мы определяем одноточечную компактификацию Александрова как топологическое пространство с множеством , обозначенным , где , с топологией, определенной следующим образом: ^{[2] [4]} ${\displaystyle (X,\tau _{X})}$ ${\displaystyle \left\{\omega \right\}\cup X}$ ${\displaystyle \omega X}$ ${\displaystyle \omega \notin X}$ ${\displaystyle \tau _{\omega X}}$

• ${\displaystyle \tau _{X}\subseteq \tau _{\omega X}}$
• ${\displaystyle X\setminus C\cup \left\{\omega \right\}\in \tau _{\omega X}}$, для каждого компактного подмножества . ${\displaystyle C\subseteq X}$

Определение

Пусть – дискретное топологическое пространство, и пусть – одноточечная компактификация Александрова пространства . Пространство Хаусдорфа является полиадическим, если для некоторого кардинального числа существует непрерывная сюръективная функция , где - пространство произведения, полученное умножением на себя раз. ^[5] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \omega X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle f:\omega X^{\lambda }\rightarrow P}$ ${\displaystyle \omega X^{\lambda }}$ ${\displaystyle \omega X}$ ${\displaystyle \lambda }$

Примеры

Возьмем набор натуральных чисел с дискретной топологией. Его одноточечная компактификация по Александрову равна . Выберите и определите гомеоморфизм с отображением ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$ ${\displaystyle \omega \mathbb {Z} ^{+}}$ ${\displaystyle \lambda =1}$ ${\displaystyle h:\omega \mathbb {Z} ^{+}\rightarrow \left[0,1\right]}$

${\displaystyle h(x)={\begin{cases}1/x,&{\text{if }}x\in \mathbb {Z} +\\0,&{\text{if }}x=\omega \end{cases}}}$

Из определения следует, что пространство образов полиадично и компактно непосредственно из определения компактности, без использования Гейне-Бореля. ${\displaystyle h[\omega \mathbb {Z} ]=\left\{0\right\}\cup \left\{1/n\,:\,n\in \mathbb {N} \right\}}$

Всякое диадическое пространство (компакт, являющийся непрерывным образом канторова множества ^[6] ) является полиадическим пространством. ^[7]

Пусть X — сепарабельный компакт. Если X — метризуемое пространство , то оно полиадично (верно и обратное). ^[2]

Характеристики

Ячеистость пространства – это ${\displaystyle c(X)}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle c(X)=\sup \left\{\vert B\vert :B{\text{ is a disjoint collection of open sets of }}X\right\}}$$

Тесность пространства определяется следующим образом: пусть , и . Определите тогда ^[8] ${\displaystyle t(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle p\in {\bar {A}}}$ $${\displaystyle a(p,A):=\min \left\{\vert B\vert :p\in \mathrm {cl} _{X}(B),B\subset A\right\}}$$ $${\displaystyle t(p,X):=\sup \left\{a(p,A):A\subseteq X,p\in \mathrm {cl} _{X}(A)\right\}}$$ ${\displaystyle t(X):=\sup \left\{t(p,X):p\in X\right\}.}$

Топологический вес полиадического пространства удовлетворяет равенству . ^[9] ${\displaystyle w(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle w(X)=c(X)\cdot t(X)}$

Пусть – полиадическое пространство, и пусть . Тогда существует полиадическое пространство такое, что и . ^[9] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle P\subseteq X}$ ${\displaystyle A\subseteq P}$ ${\displaystyle c(P)\leq c(A)}$

Полиадические пространства — это наименьший класс топологических пространств, которые содержат метрические компакты и замкнуты относительно произведений и непрерывных образов. ^[10] Каждое полиадическое пространство веса является непрерывным образом . ^[10] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \leq 2^{\omega }}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$

Топологическое пространство обладает свойством Суслина, если не существует несчетного семейства попарно непересекающихся непустых открытых подмножеств . ^[11] Предположим, что оно обладает свойством Суслина и является полиадическим. Тогда это диадично. ^[12] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Пусть – наименьшее количество дискретных множеств, необходимых для покрытия , и пусть обозначает наименьшую мощность непустого открытого множества в . Если – полиадическое пространство, то . ^[9] ${\displaystyle dis(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Delta (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle dis(X)\geq \Delta (X)}$

Теорема Рамсея

Существует аналог теоремы Рамсея из комбинаторики для полиадических пространств. Для этого мы опишем связь между булевыми пространствами и полиадическими пространствами. Пусть обозначает открыто-замкнутую алгебру всех открыто-замкнутых подмножеств . Мы определяем булево пространство как компактное хаусдорфово пространство, базой которого является . Такой элемент называется порождающим набором для . Мы говорим, что это -непересекающаяся коллекция, если она представляет собой объединение не более чем подколлекций , где для каждой является непересекающейся совокупностью не более мощности. Петр Саймон доказал, что это булево пространство с порождающим набором, являющимся -непересекающимся , если и только если гомеоморфно замкнутому подпространству . ^[8] Свойство, подобное Рамсею, для полиадических пространств, сформулированное Мюрреем Беллом для булевых пространств, заключается в следующем: каждая несчетная открыто-замкнутая коллекция содержит несчетную подколлекцию, которая либо связана, либо не пересекается. ^[13] ${\displaystyle CO(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle CO(X)}$ ${\displaystyle G\in CO(X)'}$ ${\displaystyle \langle \langle G\rangle \rangle =CO(X)}$ ${\displaystyle CO(X)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (\tau ,\kappa )}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle G_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle G_{\alpha }}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle CO(X)}$ ${\displaystyle (\tau ,\kappa )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \alpha \kappa ^{\tau }}$

Компактность

Мы определяем число компактности пространства , обозначаемое как наименьшее число такое, что оно имеет n-арную замкнутую подбазу . Мы можем построить полиадические пространства с произвольным числом компактности. Мы продемонстрируем это, используя две теоремы, доказанные Мюрреем Беллом в 1985 году. Пусть – совокупность множеств, и пусть – множество. Обозначим множество через ; все подмножества размера на ; и все подмножества размером не более . Если и для всех , то мы говорим, что n-связно. Если каждое n-связное подмножество имеет непустое пересечение, то мы говорим, что оно n-арно. Обратите внимание, что если n-арна, то и , и поэтому каждое пространство с имеет замкнутую n-арную подбазу с . Заметим, что совокупность замкнутых подмножеств компакта является замкнутой подбазой тогда и только тогда, когда для каждого замкнутого в открытом множестве существует конечное такое, что и . ^[14] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {cmpn} \,X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \{\bigcap {\mathcal {F}}:{\mathcal {F}}{\text{ is a finite subset of }}{\mathcal {S}}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{\widehat {\mathcal {F}}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle [S]^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle [S]^{<=n}}$ ${\displaystyle 2\leq n<\omega }$ ${\displaystyle \bigcap {\mathcal {F}}\neq \emptyset }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\in [{\mathcal {S}}]^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{\widehat {\mathcal {F}}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {cmpn} \,X\leq n}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}={\mathcal {S}}^{\widehat {\mathcal {F}}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}={\mathcal {S}}^{\widehat {\mathcal {F}}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subset {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle K\subset \bigcup {\mathcal {F}}\subset U}$

Позвольте быть бесконечным набором и пусть число такое, что . Мы определяем топологию произведения на следующим образом: for , let и let . Пусть будет коллекция . В качестве закрытой подбазы мы возьмем для нашей топологии на . Эта топология компактна и хаусдорфова. Для и таких, что , мы имеем, что это дискретное подпространство , и, следовательно, это объединение дискретных подпространств. ^[14] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1\leq n<\omega }$ ${\displaystyle [S]^{\leq n}}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle s^{-}=\{F\in [S]^{\leq n}:s\in F\}}$ ${\displaystyle s^{+}=\{F\in [S]^{\leq n}:s\notin F\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}=\bigcup _{s\in S}\{s^{+},s^{-}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle [S]^{\leq n}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 0\leq k\leq n}$ ${\displaystyle [S]^{k}}$ ${\displaystyle [S]^{\leq n}}$ ${\displaystyle [S]^{\leq n}}$ ${\displaystyle n+1}$

Теорема (верхняя оценка ): Для каждого полного порядка существует -арная замкнутая подбаза в . ${\displaystyle \operatorname {cmpn} \,[S]^{\leq n}}$ ${\displaystyle <}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle [S]^{\leq 2n}}$

Доказательство : Для , определите и . Набор . Для , и такое, что , пусть такое, которое является -связанным подмножеством . Покажи то . ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle L_{s}=\{F\in s^{+}:|\{t\in F:t<s\}|\leq n-1\}}$ ${\displaystyle R_{s}=\{F\in s^{+}:|\{t\in F:t>s\}|\leq n-1\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}=\bigcup _{s\in S}\{L_{s},R_{s},s^{+}\}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A\cup B\cup C\neq \emptyset }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{L_{s}:s\in A\}\cup \{R_{s}:s\in B\}\cup \{s^{-}:s\in C\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle A\cup B\in \bigcap {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Для топологического пространства и подпространства мы говорим, что непрерывная функция является ретракцией, если является тождественным отображением на . Мы говорим, что это отказ от . Если существует такое открытое множество , что и является ретрактом , то мы говорим, что это ретракт окрестностей . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\in X}$ ${\displaystyle r:X\rightarrow A}$ ${\displaystyle r|_{A}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle A\subset U\subset X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$

Теорема (нижняя оценка ) Пусть таково, что . Тогда его нельзя вложить как ретракт окрестностей в любое пространство с . ${\displaystyle \operatorname {cmpn} \,[S]^{\leq n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2\leq n<\omega }$ ${\displaystyle [\omega _{1}]^{\leq 2n-1}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \operatorname {cmpn} \,K\leq n}$

Из двух приведенных выше теорем можно вывести, что для такого , что мы имеем, что . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1\leq n<\omega }$ ${\displaystyle \operatorname {cmpn} \,[\omega _{1}]^{\leq 2n-1}=n+1=\operatorname {cmpn} \,[\omega _{1}]^{\leq 2n}}$

Пусть – одноточечная компактификация Александрова дискретного пространства , так что . Определим непрерывную сюръекцию через . Отсюда следует, что это полиадическое пространство. Следовательно, – полиадическое пространство с числом компактности . ^[14] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A=S\cup \{\infty \}}$ ${\displaystyle g:A^{n}\rightarrow [S]^{\leq n}}$ ${\displaystyle g((x_{1},...,x_{n}))=\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}\cap S}$ ${\displaystyle [S]^{\leq n}}$ ${\displaystyle [\omega _{1}]^{\leq 2n-1}}$ ${\displaystyle \operatorname {cmpn} \,[\omega _{1}]^{\leq 2n-1}=n+1}$

Обобщения

Центрированные пространства, AD-компакты ^[15] и ξ-адические пространства ^[16] являются обобщениями полиадических пространств.

Центрированное пространство

Пусть это совокупность множеств. Мы говорим, что центрировано, если для всех конечных подмножеств . ^[17] Определите булево пространство с топологией подпространства из . Мы говорим, что пространство является центрированным пространством, если существует набор, такой, что является непрерывным образом . ^[18] ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle \bigcap {\mathcal {F}}\neq \emptyset }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle Cen({\mathcal {S}})=\{\chi _{T}:T{\text{ is a centred subcollection of }}{\mathcal {S}}\}}$ ${\displaystyle 2^{\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Cen({\mathcal {S}})}$

Центрированные пространства были предложены Мюрреем Беллом в 2004 году.

AD-компактное пространство

Пусть – непустое множество, и рассмотрим семейство его подмножеств . Мы говорим, что это адекватная семья, если: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

• ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}\land B\subseteq {\mathcal {A}}\Rightarrow B\in {\mathcal {A}}}$
• учитывая , если каждое конечное подмножество находится в , то . ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$

Мы можем рассматривать его как топологическое пространство, считая его подмножеством канторового куба , и в этом случае мы обозначаем его . ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle D^{X}}$ ${\displaystyle K({\mathcal {A}})}$

Пусть – компактное пространство. Если существуют множество и адекватное семейство , такое, что является непрерывным образом , то мы говорим, что это AD-компактное пространство. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle K}$

AD-компакты были введены Гжегожем Плебанеком. Он доказал, что они замкнуты относительно произвольных произведений и компактификаций Александрова непересекающихся объединений . Отсюда следует, что всякое полиадическое пространство является AD-компактным пространством. Обратное неверно, поскольку существуют AD-компакты, которые не являются полиадическими. ^[15]

ξ-адическое пространство

Пусть и – кардиналы, и пусть – хаусдорфово пространство. Если существует непрерывная сюръекция из в , то пространство называется ξ-адическим. ^[16] ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (\kappa +1)^{\tau }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

ξ-адические пространства были предложены С. Мровкой, а следующие результаты о них дал Янош Герлитс (они применимы и к полиадическим пространствам, поскольку являются частным случаем ξ-адических пространств). ^[19]

Пусть – бесконечный кардинал, и пусть – топологическое пространство. Мы говорим, что обладает свойством, если для любого семейства непустых открытых подмножеств , где , мы можем найти набор и точку такие, что и для каждой окрестности , мы имеем это . ${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbf {B} ({\mathfrak {n}})}$ ${\displaystyle \{G_{\alpha }:\alpha \in A\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle |A|={\mathfrak {n}}}$ ${\displaystyle B\subset A}$ ${\displaystyle p\in X}$ ${\displaystyle |B|={\mathfrak {n}}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle |\{\beta \in B:N\cap G_{\beta }=\emptyset \}|<{\mathfrak {n}}}$

Если является ξ-адическим пространством, то обладает свойством для каждого бесконечного кардинала . Из этого результата следует, что никакое бесконечное ξ-адическое хаусдорфово пространство не может быть экстремально несвязным пространством . ^[19] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbf {B} ({\mathfrak {n}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$

Гиадическое пространство

Гиадические пространства были введены Эриком ван Даувеном . ^[20] Они определяются следующим образом.

Пусть – хаусдорфово пространство. Обозначим через гиперпространство . Мы определяем подпространство через . Базой является семейство всех множеств вида , где – любое целое число, и открытых в . Если компактно, то мы говорим, что Хаусдорфово пространство гиадично, если существует непрерывная сюръекция из в . ^[21] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle J_{2}(X)}$ ${\displaystyle H(X)}$ ${\displaystyle \{F\in H(X):|F|\leq 2\}}$ ${\displaystyle H(X)}$ ${\displaystyle \langle U_{0},\dots ,U_{n}\rangle =\{F\in H(X):F\subseteq U_{0}\cup \dots \cup U_{n},F\cap U_{i}\neq \emptyset {\text{ for }}0\leq i\leq n\}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle H(X)}$ ${\displaystyle Y}$

Полиадические пространства гиадичны. ^[22]

Смотрите также

• Диадическое пространство
• Компакт Эберлейна
• Каменное пространство
• Компактификация Стоуна-Чеха
• Суперкомпактное пространство

Рекомендации

1. Харт, Клаас Питер; Нагата, Джун-ити ; Воган, Джерри Э. (2003). «Диадическая компакта». Энциклопедия общей топологии . Эльзевир Наука . п. 193. ИСБН 978-0444503558.
2. Аль-Махруки, Шарифа (2013). Компактные топологические пространства, вдохновленные комбинаторными конструкциями (Диссертация). Университет Восточной Англии . стр. 8–13.
3. Мёллер, Йеспер М. (2014). «Топологические пространства и непрерывные отображения». Общая топология . п. 58. ИСБН 9781502795878.
4. Ткачук, Владимир В. (2011). «Основные понятия топологии и функциональных пространств». Сборник задач по Cp-теории: топологические и функциональные пространства . Springer Science+Business Media . п. 35. ISBN 9781441974426.
5. Туржанский, Мариан (1996). Канторовы кубы: условия цепочки . Wydawnictwo Uniwersytetu Śląskiego . п. 19. ISBN 978-8322607312.
6. Нагата, Джун-Ити (15 ноября 1985). «Темы, связанные с сопоставлениями». Современная общая топология . п. 298. ИСБН 978-0444876553.
7. Дикранжан, Дикран; Сальсе, Луиджи (1998). Абелевы группы, теория модулей и топология . ЦРК Пресс . п. 339. ИСБН 9780824719371.
8. Белл, Мюррей (2005). «Тесность в полиадических пространствах» (PDF) . Труды по топологии . 25 . Обернский университет : 2–74.
9. Спадаро, Санти (22 мая 2009 г.). «Заметка о дискретных множествах». Комментарии Mathematicae Universitatis Carolinae . 50 (3): 463–475. arXiv : 0905.3588 .
10. Кошмидер, Петр (2012). «Универсальные объекты и связи между классами банаховых пространств и классами компактных пространств». arXiv : 1209.4294 [math.FA].
11. «Комплексный экзамен по топологии» (PDF) . Университет Огайо . 2005. Архивировано из оригинала (PDF) 14 февраля 2015 г. Проверено 14 февраля 2015 г.
12. Туржанский, Мариан (1989). «Об обобщениях диадических пространств». Acta Universitatis Carolinae. Математика и физика . 30 (2): 154. ISSN  0001-7140.
13. Белл, Мюррей (11 января 1996 г.). «Теорема Рамсея для полиадических пространств». Университет Теннесси в Мартине . Проверено 14 февраля 2015 г.
14. Белл, Мюррей (1985). «Полиадические пространства произвольных чисел компактности». Комментарии Mathematicae Universitatis Carolinae . 26 (2). Карлов университет в Праге : 353–361 . Проверено 27 февраля 2015 г.
15. Плебанек, Гжегож (25 августа 1995 г.). «Компактные пространства, возникающие из адекватных семейств множеств». Топология и ее приложения . 65 (3). Эльзевир: 257–270. дои : 10.1016/0166-8641(95)00006-3 .
16. Белл, Мюррей (1998). «О характере и условиях цепи в изображениях продуктов» (PDF) . Фундамента Математика . 158 (1). Польская академия наук : 41–49.
17. Белл, Мюррей Г. (1985). «Обобщенные диадические пространства». Фундамента Математика . 125 (1): 47–58. дои : 10.4064/fm-125-1-47-58. МР  0813988.
18. Белл, Мюррей (2004). «Функциональные пространства на τ-корсоновских компактах и ​​теснота полиадических пространств». Чехословацкий математический журнал . 54 (4): 899–914. doi : 10.1007/s10587-004-6439-z. S2CID  123078792.
19. Герлитс, Янош (1971). Новак, Йозеф (ред.). «О м-адических пространствах». Общая топология и ее связь с современным анализом и алгеброй, Труды третьего Пражского топологического симпозиума . Прага : Издательство «Академия» Чехословацкой академии наук: 147–148.
20. Белл, Мюррей (1988). «Gk подпространства гиадических пространств» (PDF) . Труды Американского математического общества . 104 (2). Американское математическое общество : 635–640. дои : 10.2307/2047025. JSTOR  2047025. S2CID  201914041.
21. ван Даувен, Эрик К. (1990). «Отображения гиперпространств и сходящиеся последовательности». Топология и ее приложения . 34 (1). Эльзевир: 35–45. дои : 10.1016/0166-8641(90)90087-i .
22. Банах, Тарас (2003). «О кардинальных инвариантах и ​​метризуемости топологических обратных полугрупп Клиффорда». Топология и ее приложения . 128 (1). Elsevier: 38. doi : 10.1016/S0166-8641(02)00083-4 .