Преобразование Прандтля–Глауэрта

Преобразование Прандтля –Глауэрта — это математический метод, позволяющий решать некоторые задачи сжимаемого потока методами расчета несжимаемого потока. Он также позволяет применять данные несжимаемого потока к случаям сжимаемого потока.

Математическая формулировка

График обратного фактора Прандтля-Глауэрта как функции числа Маха набегающего потока . Обратите внимание на бесконечный предел при числе Маха 1. ${\displaystyle 1/\beta }$

Невязкий сжимаемый поток над тонкими телами регулируется линеаризованным уравнением сжимаемого потенциала с малыми возмущениями: ^[1]

${\displaystyle \phi _{xx}+\phi _{yy}+\phi _{zz}=M_{\infty }^{2}\phi _{xx}\quad {\mbox{(in flow field)}}}$

вместе с граничным условием касательного потока с малым возмущением.

${\displaystyle V_{\infty }n_{x}+\phi _{y}n_{y}+\phi _{z}n_{z}=0\quad {\mbox{(on body surface)}}}$

${\displaystyle M_{\infty }}$— число Маха свободного потока, а — компоненты вектора нормали к поверхности. Неизвестная переменная — потенциал возмущения , а полная скорость определяется его градиентом плюс скорость свободного потока , которая здесь предполагается направленной вдоль . ${\displaystyle n_{x},n_{y},n_{z}}$ ${\displaystyle \phi (x,y,z)}$ ${\displaystyle V_{\infty }}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\vec {V}}=\nabla \phi +V_{\infty }{\hat {x}}=(V_{\infty }+\phi _{x}){\hat {x}}+\phi _{y}{\hat {y}}+\phi _{z}{\hat {z}}}$

Приведенная выше формулировка верна только в том случае, если применяется приближение малых возмущений, ^[2]

${\displaystyle |\nabla \phi |\ll V_{\infty }}$

и, кроме того, что не существует трансзвукового течения, приблизительно определяемого требованием, чтобы локальное число Маха не превышало единицы.

${\displaystyle \left[1+(\gamma +1){\frac {\phi _{x}}{V_{\infty }}}\right]M_{\infty }^{2}<1}$

Преобразование Прандтля–Глауэрта (ПГ) использует фактор Прандтля–Глауэрта . Оно состоит из уменьшения всех измерений y и z и угла атаки на фактор потенциала по и компонента x нормальных векторов по : ${\displaystyle \beta \equiv {\sqrt {1-M_{\infty }^{2}}}}$ ${\displaystyle \beta ,}$ ${\displaystyle \beta ^{2},}$ ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {x}}&=x\\{\bar {y}}&=\beta y\\{\bar {z}}&=\beta z\\{\bar {\alpha }}&=\beta \alpha \\{\bar {\phi }}&=\beta ^{2}\phi \end{aligned}}}$

Тогда эта геометрия будет иметь нормальные векторы, компоненты x которых уменьшены по сравнению с исходными: ${\displaystyle {\bar {x}}{\bar {y}}{\bar {z}}}$ ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {n}}_{\bar {x}}&=\beta n_{x}\\{\bar {n}}_{\bar {y}}&=n_{y}\\{\bar {n}}_{\bar {z}}&=n_{z}\end{aligned}}}$

Уравнение потенциала малых возмущений затем преобразуется в уравнение Лапласа:

${\displaystyle {\bar {\phi }}_{{\bar {x}}{\bar {x}}}+{\bar {\phi }}_{{\bar {y}}{\bar {y}}}+{\bar {\phi }}_{{\bar {z}}{\bar {z}}}=0\quad {\mbox{(in flow field)}}}$

и граничное условие касания потока сохраняет ту же форму.

${\displaystyle V_{\infty }{\bar {n}}_{\bar {x}}+{\bar {\phi }}_{\bar {y}}{\bar {n}}_{\bar {y}}+{\bar {\phi }}_{\bar {z}}{\bar {n}}_{\bar {z}}=0\quad {\mbox{(on body surface)}}}$

Это задача о несжимаемом потенциальном потоке относительно преобразованной геометрии. Она может быть решена несжимаемыми методами, такими как теория тонкого аэродинамического профиля, методы вихревой решетки, панельные методы и т. д. Результатом является преобразованный потенциал возмущения или его градиентные компоненты в преобразованном пространстве. Физический линеаризованный коэффициент давления затем получается обратным преобразованием ${\displaystyle {\bar {x}}{\bar {y}}{\bar {z}}}$ ${\displaystyle {\bar {\phi }}}$ ${\displaystyle {\bar {\phi }}_{\bar {x}},{\bar {\phi }}_{\bar {y}},{\bar {\phi }}_{\bar {z}}}$

${\displaystyle C_{p}=-2{\frac {\phi _{x}}{V_{\infty }}}=-{\frac {2}{\beta ^{2}}}{\frac {{\bar {\phi }}_{\bar {x}}}{V_{\infty }}}={\frac {1}{\beta ^{2}}}{\bar {C}}_{p}}$

которое известно как правило Гетерта ^[3]

Результаты

Для двумерного потока конечный результат таков, что коэффициенты подъемной силы и момента увеличиваются на коэффициент : ${\displaystyle C_{p}}$ ${\displaystyle c_{l},c_{m}}$ ${\displaystyle 1/\beta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{p}&={\frac {C_{p0}}{\beta }}\\c_{l}&={\frac {c_{l0}}{\beta }}\\c_{m}&={\frac {c_{m0}}{\beta }}\end{aligned}}}$

где — значения несжимаемого потока для исходной (немасштабированной) геометрии. Этот двумерный результат известен как правило Прандтля. ^[4] ${\displaystyle C_{p0},c_{l0},c_{m0}}$ ${\displaystyle xyz}$

Для трехмерных потоков эти простые масштабирования НЕ применяются. Вместо этого необходимо работать с масштабированной геометрией, как указано выше, и использовать правило Гетерта для вычисления и, следовательно, сил и моментов. Простые результаты невозможны, за исключением особых случаев. Например, используя теорию подъемной линии для плоского эллиптического крыла, коэффициент подъемной силы равен ${\displaystyle 1/\beta }$ ${\displaystyle {\bar {x}}{\bar {y}}{\bar {z}}}$ ${\displaystyle C_{p}}$

${\displaystyle C_{L}={\frac {2\pi \alpha }{\beta +2/AR}}}$

где AR — удлинение крыла. Обратите внимание, что в двумерном случае, когда AR → ∞, это сводится к двумерному случаю, поскольку в несжимаемом двумерном потоке для плоского аэродинамического профиля мы имеем, как указано в теории тонкого аэродинамического профиля . ${\displaystyle c_{l0}=2\pi \alpha ,}$

Ограничения

Преобразование PG хорошо работает для всех чисел Маха набегающего потока вплоть до 0,7 или около того, или как только начинает появляться трансзвуковой поток. ^[2]

История

Интерес к исследованию сжимаемости возник после Первой мировой войны, когда кончики винтов самолетов начали достигать M=0,8. Людвиг Прандтль преподавал это преобразование в своих лекциях около 1922 года, однако первое строгое доказательство было опубликовано в 1928 году Германом Глауэртом . ^[5] Введение этого соотношения позволило проектировать самолеты, которые могли работать в областях более высоких дозвуковых скоростей. ^[6] Первоначально все эти результаты были разработаны для двумерного потока. В конце концов, в 1946 году Гетерт понял, что геометрическое искажение, вызванное преобразованием PG, делает простое двумерное правило Прандтля недействительным для трехмерного, и правильно сформулировал полную трехмерную задачу, как описано выше.

Преобразование PG было распространено Якобом Аккеретом на сверхзвуковые течения в 1925 году. Как и в случае с дозвуковой скоростью, сверхзвуковой случай справедлив только при отсутствии трансзвукового эффекта, что требует, чтобы тело было тонким, а число Маха набегающего потока было значительно больше единицы.

Сингулярность

Вблизи звуковой скорости преобразование PG имеет особенность . Сингулярность также называется особенностью Прандтля–Глауэрта , и сопротивление потоку рассчитывается так, чтобы стремиться к бесконечности. В действительности аэродинамические и термодинамические возмущения сильно усиливаются вблизи звуковой скорости, но сингулярности не возникает. Объяснением этого является то, что линеаризованное уравнение потенциала малых возмущений выше недействительно, поскольку оно предполагает, что существуют только небольшие изменения числа Маха в потоке и отсутствие скачков уплотнения, и, таким образом, в нем отсутствуют некоторые нелинейные члены. Однако они становятся значимыми, как только какая-либо часть поля потока ускоряется выше скорости звука, и становятся существенными вблизи Более правильное нелинейное уравнение не демонстрирует сингулярности. ${\displaystyle M_{\infty }\simeq 1}$ ${\displaystyle M_{\infty }\simeq 1.}$

Смотрите также

• Людвиг Прандтль
• Герман Глауэрт
• Якоб Акерет

Ссылки

Цитаты

1. Кюте и Чоу 1976, стр. 248-.
2. Шапиро 1953.
3. Гётерт 1940.
4. Тракенбродт 1996, стр. 178–9.
5. Глауэрт 1928, стр. 113–119.
6. Мейер 2005.

Источники

• Гётерт, Б.Х. (1940), «Ebene und räumliche Strömung bei hohen Unterschallgeschwindigkeiten: Erweiterung der Prandtl'schen Regel» [Плоский и трехмерный поток при высоких дозвуковых скоростях: расширение правила Прандтля], Lilienthal Gesellschaft (на немецком языке) (127 ), Берлин: Zentrale fuer Wissenschaftliches Berichtswesen
• Глауэрт, Х. (1928). «Влияние сжимаемости на подъемную силу аэродинамического крыла». Труды Королевского общества A: математические, физические и инженерные науки . 118 (779): 113–119. Bibcode : 1928RSPSA.118..113G. doi : 10.1098/rspa.1928.0039 . ISSN  1364-5021.
• Кюте, Арнольд Мартин; Чоу, Чуэнь-Йен (1976). Основы аэродинамики: основы аэродинамического проектирования . Wiley. ISBN 978-0-471-50953-0.
• Мейер, Х.-У. (2005), «Die Entwicklung des Pfeilflügels, eine technische Herausforderung» [Эволюция стреловидного крыла, техническая задача] (PDF) , лекция памяти Людвига Прандтля, GAMM 2005, 28 марта - 1 апреля 2005 г. (на немецком языке), Университет Люксембурга
• Шапиро, Эшер Х. (1953). Динамика и термодинамика потока сжимаемой жидкости. Т. 1. Wiley. ISBN 9780471066910.
• Тракенбродт, Эрих (1996). Fluidmechanik [ Механика жидкости ] (на немецком языке). Том. 2 (4-е изд.). Спрингер Верлаг.