Характеристика (алгебра)

В математике характеристика кольца $R$ , часто обозначаемая как char $($ $R$ $) , определяется как наименьшее положительное число копий$ мультипликативного тождества кольца ( $1$ ), которое в сумме даст аддитивное тождество ( $0 ). Если такого числа не существует, говорят$ , что кольцо имеет нулевую характеристику.

То есть, $char(R)$ — это наименьшее положительное число $n$ такое, что: ^[1]^{(стр. 198, Теория 23.14)}

\underbrace {1+\cdots +1} _{n{\text{ слагаемые}}}=0

если такое число $n$ существует, и $0$ в противном случае.

Мотивация

Специальное определение нулевой характеристики мотивировано эквивалентными определениями, охарактеризованными в следующем разделе, где нулевую характеристику не требуется рассматривать отдельно.

Характеристику можно также принять за показатель аддитивной группы кольца , то есть наименьшее положительное целое число $n,$ такое что: ^[1]^{(стр. 198, определение 23.12)}

\underbrace {a+\cdots +a} _{n{\text{ слагаемые}}}=0

для каждого элемента $a$ кольца (опять же, если $n$ существует; в противном случае ноль). Это определение применимо к более общему классу rngs (см. Кольцо (математика) § Мультипликативное тождество и термин «кольцо» ); для (унитальных) колец два определения эквивалентны из-за их дистрибутивного закона .

Эквивалентные характеристики

Характеристикой кольца $R$ является натуральное число $n$ такое , что $\mathbb {Z}$ является ядром единственного гомоморфизма колец из в $R.$ ^[a] $\mathbb {Z}$
Характеристикой является натуральное число $n$ такое, что $R$ содержит подкольцо , изоморфное фактор -кольцу , которое является образом указанного выше гомоморфизма. $\mathbb {Z} / n\mathbb {Z}$
Когда неотрицательные целые числа ${0, 1, 2, 3, ...}$ частично упорядочены по делимости, то $1$ является наименьшим, а $0$ — наибольшим. Тогда характеристика кольца — это наименьшее значение $n$ , для которого $n \cdot 1 = 0.$ Если ничего «меньшего» (в этом порядке) чем $0$ не будет достаточно, то характеристика равна $0.$ Это подходящее частичное упорядочение из-за таких фактов, как то, что $char(A \times B)$ является наименьшим общим кратным char $A$ и $char$ $B$ , и что не существует кольцевого гомоморфизма $f$ $:$ $A$ $\to$ $B ,$ $если$ char $B$ $не$ делит $char$ $A$ .
Характеристика кольца $R$ равна $n$ в точности тогда, когда из утверждения $ka = 0$ для всех $a \in R$ следует, что $k$ кратно $n$ .

Дело о кольцах

Если $R$ и $S$ — кольца и существует гомоморфизм колец $R \to S$ , то характеристика кольца $S$ делит характеристику кольца $R$ . Иногда это можно использовать для исключения возможности некоторых гомоморфизмов колец. Единственное кольцо с характеристикой $1$ — это нулевое кольцо , которое имеет только один элемент $0$ . Если нетривиальное кольцо $R$ не имеет нетривиальных делителей нуля , то его характеристика равна либо $0$ , либо простому числу . В частности, это применимо ко всем полям , ко всем областям целостности и ко всем телам . Любое кольцо характеристики $0$ бесконечно.

Кольцо целых чисел по модулю $n$ имеет характеристику $n$ . Если $R$ является подкольцом S , то $R$ и $S$ имеют одинаковую характеристику. Например, если $p является простым$ $числом$ , а $q$ $($ $X$ $)$ является неприводимым многочленом с коэффициентами в поле с $p$ элементами, то фактор-кольцо является полем характеристики $p$ . Другой пример: Поле комплексных чисел содержит , поэтому характеристика равна $0$ . $\mathbb {Z} / n\mathbb {Z}$ $\mathbb {F} _{p}$ $\mathbb {F} _{p}[X]/(q(X))$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {C}$

A -алгебра эквивалентно кольцу, характеристика которого делит $n$ . Это происходит потому, что для каждого кольца $R$ существует кольцевой гомоморфизм , и это отображение факторизуется тогда и только тогда, когда характеристика $R$ делит $n$ . В этом случае для любого $r$ в кольце, то прибавление $r$ к себе $n$ раз дает $nr$ $= 0$ . $\mathbb {Z} / n\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z} \to R$ $\mathbb {Z} / n\mathbb {Z}$

Если коммутативное кольцо $R$ имеет простую характеристику $p$ , то мы имеем $(x + y) p = x p + y p$ для всех элементов $x$ и $y$ в $R$ – обычно неверная « мечта первокурсника » справедлива для степени $p$ . Отображение $x \mapsto x p$ тогда определяет кольцевой гомоморфизм $R \to R$ , который называется гомоморфизмом Фробениуса . Если $R$ – область целостности, то она инъективна .

Случай полей

Как упоминалось выше, характеристика любого поля равна либо $0$ , либо простому числу. Поле с ненулевой характеристикой называется полем с конечной характеристикой или положительной характеристикой или простой характеристикой . Характеристический показатель определяется аналогично, за исключением того, что он равен $1$ , когда характеристика равна $0$ ; в противном случае он имеет то же значение, что и характеристика. ^[2]

Любое поле $F$ имеет уникальное минимальное подполе , также называемое егопростое поле . Это подполе изоморфно либополюрациональных чисел, либо конечному полюпростого порядка. Два простых поля одной и той же характеристики изоморфны, и этот изоморфизм уникален. Другими словами, по сути, в каждой характеристике существует уникальное простое поле. $\mathbb {Q}$ $\mathbb {F} _{p}$

Поля нулевой характеристики

Наиболее распространенными полями нулевой характеристики являются подполя комплексных чисел . P-адические поля являются полями нулевой характеристики, которые широко используются в теории чисел. Они имеют абсолютные значения, которые сильно отличаются от значений комплексных чисел.

Для любого упорядоченного поля , такого как поле рациональных чисел или поле действительных чисел , характеристика равна $0.$ Таким образом, каждое поле алгебраических чисел и поле комплексных чисел имеют характеристику ноль. $\mathbb {Q}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$

Поля основной характеристики

Конечное поле $GF(p n)$ имеет характеристику $p$ .

Существуют бесконечные поля простой характеристики. Например, поле всех рациональных функций над , алгебраическое замыкание или поле формальных рядов Лорана . $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} ((T))$

Размер любого конечного кольца простой характеристики $p$ является степенью $p$ . Поскольку в этом случае оно содержит , оно также является векторным пространством над этим полем, и из линейной алгебры мы знаем, что размеры конечных векторных пространств над конечными полями являются степенью размера поля. Это также показывает, что размер любого конечного векторного пространства является степенью простого числа. ^[b] $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$

Примечания

^ Требования кольцевых гомоморфизмов таковы, что может быть только один (фактически, ровно один) гомоморфизм из кольца целых чисел в любое кольцо; на языке теории категорий — начальный объект категории колец . Опять же, это применимо, когда кольцо имеет мультипликативный единичный элемент (который сохраняется кольцевыми гомоморфизмами). $\mathbb {Z}$
^ Это векторное пространство над конечным полем, которое, как мы показали, имеет размер $p n$ , поэтому его размер равен $(p n) m = p nm$ .

Ссылки

^ ab Fraleigh, John B.; Brand, Neal E. (2020). Первый курс абстрактной алгебры (8-е изд.). Pearson Education .
^ Бурбаки, Николас (2003). "5. Характеристический показатель поля. Совершенные поля". Алгебра II, главы 4–7 . Springer. стр. AV7. doi :10.1007/978-3-642-61698-3.

Источники

В Википедии по дискретной математике есть страница на тему: Конечные поля

Маккой, Нил Х. (1973) [1964]. Теория колец . Chelsea Publishing . стр. 4. ISBN 978-0-8284-0266-8.