Проективный объект

В теории категорий понятие проективного объекта обобщает понятие проективного модуля . Проективные объекты в абелевых категориях используются в гомологической алгебре . Двойственное понятие проективного объекта — это понятие инъективного объекта .

Определение

Объект в категории проективен , если для любого эпиморфизма и морфизма существует морфизм такой, что , т.е. следующая диаграмма коммутативна : ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle e:E\twoheadrightarrow X}$ ${\displaystyle f:P\to X}$ ${\displaystyle {\overline {f}}:P\to E}$ ${\displaystyle e\circ {\overline {f}}=f}$

То есть, каждый морфизм проходит через каждый эпиморфизм . ^[1] ${\displaystyle P\to X}$ ${\displaystyle E\twoheadrightarrow X}$

Если C локально мал , т.е., в частности, является множеством для любого объекта X из C , это определение эквивалентно условию, что функтор hom (также известный как функтор corepresentable ) ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{C}(P,X)}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} (P,-)\colon {\mathcal {C}}\to \mathbf {Set} }$

сохраняет эпиморфизмы . ^[2]

Проективные объекты в абелевых категориях

Если категория C является абелевой категорией, такой как, например, категория абелевых групп , то P проективен тогда и только тогда, когда

${\displaystyle \operatorname {Hom} (P,-)\colon {\mathcal {C}}\to \mathbf {Ab} }$

— точный функтор , где Ab — категория абелевых групп .

Говорят, что абелева категория имеет достаточно проективных объектов , если для каждого объекта из существует проективный объект из и эпиморфизм из P в A или, что эквивалентно, короткая точная последовательность ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle 0\to K\to P\to A\to 0.}$

Цель этого определения — гарантировать, что любой объект A допускает проективное разрешение , т. е. (длинную) точную последовательность

${\displaystyle \dots P_{2}\to P_{1}\to P_{0}\to A\to 0}$

где объекты проективны. ${\displaystyle P_{0},P_{1},\dots }$

Проективность относительно ограниченных классов

Семадени (1963) обсуждает понятие проективных (и дуально инъективных) объектов относительно так называемой бикатегории, которая состоит из пары подкатегорий «инъекций» и «сюръекций» в данной категории C. Эти подкатегории подчиняются определенным формальным свойствам, включая требование, чтобы любая сюръекция была эпиморфизмом. Проективный объект (относительно фиксированного класса сюръекций) является тогда объектом P, так что Hom( P , −) превращает фиксированный класс сюръекций (в отличие от всех эпиморфизмов) в сюръекции множеств (в обычном смысле).

Характеристики

• Копроизведение двух проективных объектов является проективным. ^[3 ]
• Ретракт проективного объекта является проективным. ^[4 ]

Примеры

Утверждение, что все множества проективны, эквивалентно аксиоме выбора .

Проективными объектами в категории абелевых групп являются свободные абелевы группы .

Пусть будет кольцом с единицей. Рассмотрим (абелеву) категорию - Mod левых -модулей. Проективные объекты в - Mod являются в точности проективными левыми R-модулями . Следовательно, само является проективным объектом в - Mod . Двойственно, инъективные объекты в - Mod являются в точности инъективными левыми R-модулями . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

Категория левых (правых) -модулей также имеет достаточно проективных. Это верно, поскольку для каждого левого (правого) -модуля мы можем взять в качестве свободного (и, следовательно, проективного) -модуля, порождённого порождающим набором для (например, мы можем взять в качестве ). Тогда каноническая проекция является требуемой сюръекцией . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \pi \colon F\to M}$

Проективные объекты в категории компактных хаусдорфовых пространств — это как раз экстремально несвязные пространства . Этот результат принадлежит Глисону (1958), а упрощенное доказательство дал Рейнвотер (1959).

В категории банаховых пространств и контракций (т.е. функционалов, норма которых не больше 1) эпиморфизмы — это в точности отображения с плотным образом . Вивегер (1969) показывает, что нулевое пространство — единственный проективный объект в этой категории. Однако существуют нетривиальные пространства, которые проективны относительно класса сюръективных контракций. В категории нормированных векторных пространств со контракциями (и сюръективных отображений как «сюръекций») проективными объектами являются в точности -пространства. ^[5]ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFWiweger1969 ( помощь ) ${\displaystyle l^{1}}$

${\displaystyle l^{1}(S)=\{(x_{s})_{s\in S},\sum _{s\in S}||x_{s}||<\infty \}.}$

Ссылки

1. Аводей (2010, §2.1)
2. Мак Лейн (1978, стр. 118)
3. Аводей (2010, стр. 72)
4. Аводей (2010, стр. 33)
5. Семадени (1963)

• Аводей, Стив (2010), Теория категорий (2-е изд.), Оксфорд: Oxford University Press, ISBN 9780199237180, OCLC  740446073
• Глисон, Эндрю М. (1958), «Проективные топологические пространства», Illinois Journal of Mathematics , 2 (4A): 482–489, doi : 10.1215/ijm/1255454110 , MR  0121775
• Mac Lane, Saunders (1978), Категории для работающего математика (второе издание), Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York, стр. 114, ISBN 1441931236, OCLC  851741862
• Митчелл, Барри (1965). Теория категорий . Чистая и прикладная математика. Т. 17. Academic Press. ISBN 978-0-124-99250-4. МР  0202787.
• Потховен, Кеннет (1969), «Проективные и инъективные объекты в категории банаховых пространств», Труды Американского математического общества , 22 (2): 437–438, doi : 10.2307/2037073 , JSTOR  2037073
• Рейнуотер, Джон (1959), «Заметка о проективных резолюциях», Труды Американского математического общества , 10 (5): 734–735, doi : 10.2307/2033466 , JSTOR  2033466
• Семадени, З. (1963), "Проективность, инъективность и двойственность", Rozprawy Mat. , 35 , MR  0154832

Внешние ссылки

проективный объект в n Lab