Проективная унитарная группа

В математике проективная унитарная группа PU( n ) является фактором унитарной группы U( n ) по правому умножению ее центра , U(1) , вложенного как скаляры. Абстрактно, это голоморфная группа изометрий комплексного проективного пространства , так же как проективная ортогональная группа является группой изометрий действительного проективного пространства .

В терминах матриц элементы U( n ) являются комплексными унитарными матрицами n × n , а элементы центра являются диагональными матрицами, равными e ^{i θ} I , где I — единичная матрица. Таким образом, элементы PU( n ) соответствуют классам эквивалентности унитарных матриц при умножении на постоянную фазу θ . Это пространство не является SU( n ) (которое требует только, чтобы определитель был равен единице), поскольку SU( n ) по-прежнему содержит элементы e ^{i θ} I , где e ^{i θ} — корень n-й степени из единицы (поскольку тогда det(e ^{i θ} I ) = e ^{i θn} = 1 ).

Абстрактно, если задано эрмитово пространство V , группа PU( V ) является образом унитарной группы U( V ) в группе автоморфизмов проективного пространства P ( V ) .

Проективная специальная унитарная группа

Проективная специальная унитарная группа PSU( n ) равна проективной унитарной группе, в отличие от ортогонального случая.

Связи между U( n ), SU( n ), их центрами и проективными унитарными группами показаны на рисунке справа (обратите внимание, что на рисунке вместо обозначены целые числа ). ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Центром специальной унитарной группы являются скалярные матрицы корней n-й степени из единицы: ${\displaystyle \mathrm {Z} (\mathrm {SU} (n))}$ ${\displaystyle \mathrm {SU} (n)}$

${\displaystyle \mathrm {Z} (\mathrm {SU} (n))=\mathrm {SU} (n)\cap \mathrm {Z} (\mathrm {U} (n))\cong \mathbb {Z} /n}$

Естественная карта

${\displaystyle \mathrm {PSU} (n)=\mathrm {SU} (n)/\mathrm {Z} (\mathrm {SU} (n))\to \mathrm {PU} (n)=\mathrm {U} (n)/\mathrm {Z} (\mathrm {U} (n))}$

является изоморфизмом, по второй теореме об изоморфизме , таким образом

${\displaystyle \mathrm {PU} (n)=\mathrm {PSU} (n)=\mathrm {SU} (n)/(\mathbb {Z} /n).}$

а специальная унитарная группа SU( n ) является n -кратным покрытием проективной унитарной группы.

Примеры

При n = 1 U(1) абелева и, следовательно, равна своему центру. Поэтому PU(1) = U(1)/U(1) — тривиальная группа .

При n = 2 все они могут быть представлены кватернионами единичной нормы и посредством: ${\displaystyle \mathrm {SU} (2)\cong \mathrm {Spin} (3)\cong \mathrm {Sp} (1)}$ ${\displaystyle \mathrm {PU} (2)\cong \mathrm {SO} (3)}$

${\displaystyle \mathrm {PU} (2)=\mathrm {PSU} (2)=\mathrm {SU} (2)/(\mathbb {Z} /2)\cong \mathrm {Spin} (3)/(\mathbb {Z} /2)=\mathrm {SO} (3)}$

Конечные поля

Можно также определить унитарные группы над конечными полями: задано поле порядка q , существует невырожденная эрмитова структура на векторных пространствах над , единственная с точностью до унитарной конгруэнтности, и соответственно матричная группа, обозначаемая или , а также специальные и проективные унитарные группы. Для удобства в этой статье используется соглашение. ${\displaystyle \mathbf {F} _{q^{2}},}$ ${\displaystyle \mathrm {U} (n,q)}$ ${\displaystyle \mathrm {U} (n,q^{2})}$ ${\displaystyle \mathrm {U} (n,q^{2})}$

Напомним, что группа единиц конечного поля является циклической , поэтому группа единиц и, следовательно, группа обратимых скалярных матриц в является циклической группой порядка Центр имеет порядок q + 1 и состоит из скалярных матриц, которые являются унитарными, то есть тех матриц, у которых Центр специальной унитарной группы имеет порядок gcd( n , q + 1) и состоит из тех унитарных скаляров, которые также имеют порядок, делящий n . ${\displaystyle \mathbf {F} _{q^{2}},}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,q^{2})}$ ${\displaystyle q^{2}-1.}$ ${\displaystyle \mathrm {U} (n,q^{2})}$ ${\displaystyle cI_{V}}$ ${\displaystyle c^{q+1}=1.}$

Фактор унитарной группы по ее центру является проективной унитарной группой , а фактор специальной унитарной группы по ее центру является проективной специальной унитарной группой. В большинстве случаев ( n ≥ 2 и ), является совершенной группой и является конечной простой группой (Grove 2002, Thm. 11.22 и 11.26). ${\displaystyle \mathrm {PU} (n,q^{2}),}$ ${\displaystyle \mathrm {PSU} (n,q^{2}).}$ ${\displaystyle (n,q^{2})\notin \{(2,2^{2}),(2,3^{2}),(3,2^{2})\}}$ ${\displaystyle \mathrm {SU} (n,q^{2})}$ ${\displaystyle \mathrm {PU} (n,q^{2})}$

Топология PU(ЧАС)

ПУ(ЧАС) является классифицирующим пространством для расслоений кругов

Эту же конструкцию можно применить к матрицам, действующим в бесконечномерном гильбертовом пространстве . ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

Пусть U( H ) обозначает пространство унитарных операторов в бесконечномерном гильбертовом пространстве. Когда f : X → U( H ) — непрерывное отображение компактного пространства X в унитарную группу, можно использовать конечномерную аппроксимацию его образа и простой K-теоретический трюк

${\displaystyle u\oplus 1_{\ell ^{2}}\sim u\oplus 1_{\ell ^{2}}\oplus 1_{\ell ^{2}}\oplus \cdots \sim u\oplus u^{-1}\oplus u\oplus u^{-1}\oplus \cdots \sim 1_{\ell ^{2}}\oplus 1_{\ell ^{2}}\oplus \cdots ,\qquad u\in {\rm {U}}(H),}$

чтобы показать, что оно на самом деле гомотопно тривиальному отображению на одну точку. Это означает, что U( H ) слабо стягиваемо, и дополнительный аргумент показывает, что оно на самом деле стягиваемо. Обратите внимание, что это чисто бесконечномерное явление, в отличие от конечномерных кузенов U( n ) и их предела U(∞) при отображениях включения, которые не являются стягиваемыми, допуская гомотопически нетривиальные непрерывные отображения на U(1), заданные определителем матриц.

Центр бесконечномерной унитарной группы , как и в конечномерном случае, U(1), который снова действует на унитарную группу через умножение на фазу. Поскольку унитарная группа не содержит нулевой матрицы, это действие свободно. Таким образом, является стягиваемым пространством с действием U(1), которое идентифицирует его как EU(1) , а пространство орбит U(1) как BU(1) , классифицирующее пространство для U(1). ${\displaystyle \mathrm {U} ({\mathcal {H}})}$ ${\displaystyle \mathrm {U} ({\mathcal {H}})}$

Гомотопия и (ко)гомологии PU(ЧАС)

${\displaystyle \mathrm {PU} ({\mathcal {H}})}$определяется как пространство орбит действия U(1) на , таким образом, является реализацией классифицирующего пространства BU(1). В частности, используя изоморфизм ${\displaystyle \mathrm {U} ({\mathcal {H}})}$ ${\displaystyle \mathrm {PU} ({\mathcal {H}})}$

${\displaystyle \pi _{n}(X)=\pi _{n+1}(BX)}$

между гомотопическими группами пространства X и гомотопическими группами его классифицирующего пространства BX, объединенными с гомотопическим типом окружности U(1)

${\displaystyle \pi _{k}(\mathrm {U} (1))={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=1\\0&k\neq 1\end{cases}}}$

мы находим гомотопические группы ${\displaystyle \mathrm {PU} ({\mathcal {H}})}$

${\displaystyle \pi _{k}(\mathrm {PU} ({\mathcal {H}}))={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=2\\0&k\neq 2\end{cases}}}$

таким образом, идентифицируя себя как представителя пространства Эйленберга–Маклейна . ${\displaystyle \mathrm {PU} ({\mathcal {H}})}$ ${\displaystyle \mathrm {K} (\mathbb {Z} ,2)}$

Как следствие, должно быть того же гомотопического типа, что и бесконечномерное комплексное проективное пространство , которое также представляет . Это означает, в частности, что они имеют изоморфные группы гомологии и когомологии : ${\displaystyle \mathrm {PU} ({\mathcal {H}})}$ ${\displaystyle \mathrm {K} (\mathbb {Z} ,2)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {H} ^{2n}(\mathrm {PU} ({\mathcal {H}}))&=\mathrm {H} _{2n}(\mathrm {PU} ({\mathcal {H}}))=\mathbb {Z} \\\mathrm {H} ^{2n+1}(\mathrm {PU} ({\mathcal {H}}))&=\mathrm {H} _{2n+1}(\mathrm {PU} ({\mathcal {H}}))=0\end{aligned}}}$

Представления

Присоединенное представление

PU( n ) в общем случае не имеет n -мерных представлений, так же как SO(3) не имеет двумерных представлений.

PU( n ) имеет сопряженное действие на SU( n ), таким образом, оно имеет -мерное представление. Когда n = 2, это соответствует трехмерному представлению SO(3). Присоединенное действие определяется путем представления элемента PU( n ) как класса эквивалентности элементов U( n ), которые отличаются фазами. Затем можно взять сопряженное действие по отношению к любому из этих представителей U( n ), и фазы коммутируют со всем и, таким образом, сокращаются. Таким образом, действие не зависит от выбора представителя и поэтому оно хорошо определено. ${\displaystyle (n^{2}-1)}$

Проективные представления

Во многих приложениях PU( n ) не действует ни в каком линейном представлении, а вместо этого в проективном представлении , которое является представлением с точностью до фазы, которая не зависит от вектора, на который действует. Они полезны в квантовой механике, поскольку физические состояния определены только с точностью до фазы. Например, массивные фермионные состояния преобразуются под проективным представлением, но не под представлением малой группы PU(2) = SO(3).

Проективные представления группы классифицируются по ее вторым интегральным когомологиям , которые в данном случае равны

${\displaystyle \mathrm {H} ^{2}(\mathrm {PU} (n))=\mathbb {Z} /n}$

или

${\displaystyle \mathrm {H} ^{2}(\mathrm {PU} ({\mathcal {H}}))=\mathbb {Z} .}$

Группы когомологий в конечном случае могут быть выведены из длинной точной последовательности для расслоений и приведенного выше факта, что SU( n ) является расслоением над PU( n ). Когомологии в бесконечном случае были доказаны выше из изоморфизма с когомологиями бесконечного комплексного проективного пространства. ${\displaystyle \mathbb {Z} /n}$

Таким образом, PU( n ) обладает n проективными представлениями, из которых первое является фундаментальным представлением его покрытия SU( n ), в то время как имеет счетное бесконечное число. Как обычно, проективные представления группы являются обычными представлениями центрального расширения группы. В этом случае центральная расширенная группа, соответствующая первому проективному представлению каждой проективной унитарной группы, является просто исходной унитарной группой , фактор которой мы взяли по U(1) в определении PU. ${\displaystyle \mathrm {PU} ({\mathcal {H}})}$

Приложения

Скрученная К-теория

Сопряженное действие бесконечной проективной унитарной группы полезно в геометрических определениях скрученной K-теории . Здесь используется сопряженное действие бесконечномерной либо на фредгольмовых операторах , либо на бесконечной унитарной группе . ${\displaystyle \mathrm {PU} ({\mathcal {H}})}$

В геометрических конструкциях скрученной K-теории с твистом H , является волокном расслоения, и различные твисты H соответствуют различным расслоениям. Как видно ниже, топологически представляет собой пространство Эйленберга–Маклейна , поэтому классифицирующее пространство расслоений является пространством Эйленберга–Маклейна . также является классифицирующим пространством для третьей целочисленной группы когомологий , поэтому расслоения классифицируются третьими целочисленными когомологиями. В результате возможные твисты H скрученной K-теории являются в точности элементами третьих целочисленных когомологий. ${\displaystyle \mathrm {PU} ({\mathcal {H}})}$ ${\displaystyle \mathrm {PU} ({\mathcal {H}})}$ ${\displaystyle \mathrm {K} (\mathbb {Z} ,2)}$ ${\displaystyle \mathrm {PU} ({\mathcal {H}})}$ ${\displaystyle \mathrm {K} (\mathbb {Z} ,3)}$ ${\displaystyle \mathrm {K} (\mathbb {Z} ,3)}$ ${\displaystyle \mathrm {PU} ({\mathcal {H}})}$

Чистая калибровочная теория Янга–Миллса

В чистой калибровочной теории Янга–Миллса SU( n ) , которая является калибровочной теорией только с глюонами и без фундаментальной материи, все поля преобразуются в сопряженной калибровочной группе SU( n ). Центр SU( n ) коммутирует, находясь в центре, с полями со значениями SU( n ), и поэтому сопряженное действие центра тривиально. Поэтому калибровочная симметрия является фактором SU( n ) по , что равно PU( n ), и она действует на поля, используя сопряженное действие, описанное выше. ${\displaystyle \mathbb {Z} /n}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /n}$

В этом контексте различие между SU( n ) и PU( n ) имеет важное физическое следствие. SU( n ) односвязна, но фундаментальная группа PU( n ) — это , циклическая группа порядка n . Поэтому калибровочная теория PU( n ) с присоединенными скалярами будет иметь нетривиальные вихри коразмерности 2 , в которых ожидаемые значения скаляров наматываются вокруг нетривиального цикла PU( n ) по мере того, как один окружает вихрь. Эти вихри, следовательно, также имеют заряды в , что подразумевает, что они притягиваются друг к другу, и когда n вступают в контакт, они аннигилируют. Примером такого вихря является струна Дугласа–Шенкера в калибровочных теориях SU( n ) Зайберга–Виттена . ${\displaystyle \mathbb {Z} /n}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /n}$

Ссылки

• Гроув, Ларри К. (2002), Классические группы и геометрическая алгебра , Graduate Studies in Mathematics , т. 39, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-2019-3, г-н  1859189

Смотрите также

• Унитарная группа
• Специальная унитарная группа
• Унитарные операторы
• Проективная ортогональная группа