В алгебре для данного кольца R категория левых модулей над R — это категория , объектами которой являются все левые модули над R и чьи морфизмы являются всеми гомоморфизмами модулей между левыми R -модулями. Например, когда R — кольцо целых чисел Z , это то же самое, что и категория абелевых групп . Аналогично определяется категория правых модулей .
Можно также определить категорию бимодулей над кольцом R , но эта категория эквивалентна категории левых (или правых) модулей над обертывающей алгеброй R (или над противоположной ей).
Примечание. Некоторые авторы используют термин « категория модуля» для обозначения категории модулей. Этот термин может быть неоднозначным, поскольку он также может относиться к категории с действием моноидальной категории . [1]
Категории левого и правого модулей являются абелевыми категориями . В этих категориях достаточно проективов [2] и достаточно инъектив . [3] Теорема вложения Митчелла утверждает, что каждая абелева категория возникает как полная подкатегория категории модулей некоторого кольца.
Проективные пределы и индуктивные пределы существуют в категориях левых и правых модулей. [4]
Над коммутативным кольцом вместе с тензорным произведением модулей ⊗ категория модулей является симметричной моноидальной категорией .
Моноидный объект категории модулей над коммутативным кольцом R является в точности ассоциативной алгеброй над R .
См. также: компактный объект (компактный объект в R -моде — это в точности конечно-представленный модуль).
Категория K - Vect (некоторые авторы используют Vect K ) имеет все векторные пространства над полем K как объекты , а K -линейные отображения как морфизмы. Поскольку векторные пространства над K (как поле) — это то же самое, что модули над кольцом K , K - Vect является частным случаем R - Mod (некоторые авторы используют Mod R ), категории левых R -модулей.
Большая часть линейной алгебры касается описания K - Vect . Например, теорема о размерности векторных пространств гласит , что классы изоморфизма в K - Vect точно соответствуют кардинальным числам и что K - Vect эквивалентен подкатегории K - Vect , объектами которой являются векторные пространства K n , где n — любое кардинальное число.
Категория пучков модулей над кольцевым пространством также имеет достаточное количество инъектив (хотя и не всегда достаточное количество проективных).