В математике категория колец , обозначаемая Ring , — это категория , объектами которой являются кольца (с единицей) и чьи морфизмы являются гомоморфизмами колец (сохраняющими идентичность). Как и многие категории в математике, категория колец является большой , а это означает, что класс всех колец является собственным .
Категория «Кольцо» — это конкретная категория, означающая, что объекты — это множества с дополнительной структурой (сложение и умножение), а морфизмы — это функции , сохраняющие эту структуру. Существует естественный функтор забывчивости.
для категории колец к категории множеств , которая отправляет каждое кольцо в его основной набор (таким образом «забывая» операции сложения и умножения). Этот функтор имеет левое сопряженное
который присваивает каждому множеству X свободное кольцо , порожденное X.
Можно также рассматривать категорию колец как конкретную категорию над Ab ( категория абелевых групп ) или над Mon ( категория моноидов ). В частности, существуют забывчивые функторы
которые «забывают» умножение и сложение соответственно. Оба этих функтора имеют левые сопряженные. Левым сопряженным к A является функтор, который ставит в соответствие каждой абелевой группе X (рассматриваемой как Z - модуль ) тензорное кольцо T ( X ). Левым сопряженным к M является функтор, который ставит в соответствие каждому моноиду X целое кольцо моноидов Z [ X ].
Категория Ring является одновременно полной и кополной , что означает, что все малые пределы и копределы существуют в Ring . Как и многие другие алгебраические категории, забывчивый функтор U : Ring → Set создает (и сохраняет) пределы и фильтруемые копределы , но не сохраняет ни копроизведения , ни коэквалайзеры . Забывчивые функторы Ab и Mon также создают и сохраняют пределы.
Примеры пределов и копределов в Ring включают:
В отличие от многих категорий, изучаемых в математике, между парами объектов в Ring не всегда существуют морфизмы . Это следствие того, что гомоморфизмы колец должны сохранять тождество. Например, не существует морфизмов нулевого кольца 0 ни в какое ненулевое кольцо. Необходимым условием существования морфизмов из R в S является то, что характеристика S делит характеристику R .
Обратите внимание, что даже несмотря на то, что некоторые из hom-множеств пусты, категория Кольцо по-прежнему связна , поскольку у нее есть начальный объект.
Некоторые специальные классы морфизмов в Ring включают:
Категория колец имеет ряд важных подкатегорий . К ним относятся полные подкатегории коммутативных колец , областей целостности , областей главных идеалов и полей .
Категория коммутативных колец , обозначаемая CRing , является полной подкатегорией Ring , все объекты которой являются коммутативными кольцами . Эта категория является одним из центральных объектов изучения предмета коммутативной алгебры .
Любое кольцо можно сделать коммутативным, факторизируя его по идеалу , порожденному всеми элементами вида ( xy − yx ). Это определяет функтор Ring → CRing , который слева сопряжен с функтором включения, так что CRing является отражающей подкатегорией Ring . Свободным коммутативным кольцом на множестве образующих E является кольцо полиномов Z [ E ], переменные которого взяты из E. Это дает левый сопряженный функтор к функтору забывчивости от CRing до Set .
CRing является ограниченным по пределу в Ring , что означает, что ограничения в CRing такие же, как и в Ring . Копределы, однако, обычно различны. Их можно сформировать, взяв коммутативное частное копределов в Ring . Копроизведение двух коммутативных колец задается тензорным произведением колец . Опять же, копроизведение двух ненулевых коммутативных колец может быть равно нулю.
Противоположная категория CRing эквивалентна категории аффинных схем . _ Эквивалентность задается контравариантным функтором Spec, который переводит коммутативное кольцо в его спектр , аффинную схему .
Категория полей , обозначаемая Field , является полной подкатегорией CRing , объектами которой являются поля . Категория полей ведет себя далеко не так хорошо, как другие алгебраические категории. В частности, свободных полей не существует (т.е. не существует левого сопряженного к забывчивому функтору Field → Set ). Отсюда следует, что Поле не является отражающей подкатегорией CRing .
Категория полей не является ни конечно полной , ни конечно кополной. В частности, у Филда нет ни продуктов, ни сопутствующих продуктов.
Другой любопытный аспект категории полей состоит в том, что каждый морфизм является мономорфизмом . Это следует из того, что единственными идеалами в поле F являются нулевой идеал и само поле F. Затем можно рассматривать морфизмы в Field как расширения полей .
Категория полей не связана . Между полями разных характеристик не существует морфизмов . Компоненты связности Поля — это полные подкатегории характеристики p , где p = 0 или — простое число . Каждая такая подкатегория имеет исходный объект : простое поле характеристики p (которое является Q , если p = 0, в противном случае — конечное поле F p ).
Существует естественный функтор из Ring в категорию групп Grp , который переводит каждое кольцо R в его группу единиц U ( R ), а каждый гомоморфизм колец — в ограничение на U ( R ). Этот функтор имеет левый сопряженный , который переводит каждую группу G в целочисленное групповое кольцо Z [ G ].
Другой функтор между этими категориями переводит каждое кольцо R в группу единиц кольца матриц M2 ( R ) , действующего на проективной прямой над кольцом P( R ).
Учитывая коммутативное кольцо R, можно определить категорию R -Alg , объектами которой являются все R -алгебры и чьи морфизмы являются гомоморфизмами R -алгебр.
Категорию колец можно считать частным случаем. Каждое кольцо можно уникальным образом рассматривать как Z -алгебру. Кольцевые гомоморфизмы — это в точности гомоморфизмы Z -алгебр. Категория колец, следовательно, изоморфна категории Z-Alg . [1] Многие утверждения о категории колец можно обобщить до утверждений о категории R -алгебр.
Для каждого коммутативного кольца R существует функтор R -Alg → Ring , который забывает структуру R -модуля. Этот функтор имеет левый сопряженный, который переводит каждое кольцо A в тензорное произведение R ⊗ Z A , которое можно рассматривать как R -алгебру, полагая r ·( s ⊗ a ) = rs ⊗ a .
Многие авторы не требуют, чтобы кольца имели мультипликативный единичный элемент и, соответственно, не требуют гомоморфизма колец для сохранения тождественности (если она существует). Это приводит к совершенно другой категории. Для различия мы называем такие алгебраические структуры rng , а их морфизмы rng гомоморфизмами . Категория всех rng будет обозначаться Rng .
Категория колец Ring является неполной подкатегорией Rng . Он неполный, поскольку между кольцами существуют гомоморфизмы rng, которые не сохраняют идентичность и, следовательно, не являются морфизмами в Ring . Функтор включения Ring → Rng имеет левый сопряженный, формально присоединяющий единицу к любому rng. Функтор включения Ring → Rng учитывает пределы, но не копределы.
Нулевое кольцо служит одновременно начальным и конечным объектом в Rng (то есть является нулевым объектом ). Отсюда следует, что Rng , как и Grp , но в отличие от Ring , не имеет морфизмов . Это всего лишь гомоморфизмы rng, которые отображают все в 0. Несмотря на существование нулевых морфизмов, Rng все еще не является преаддитивной категорией . Поточечная сумма двух гомоморфизмов rng, вообще говоря, не является гомоморфизмом rng.
Существует вполне точный функтор из категории абелевых групп в Rng , переводящий абелеву группу в связанную группу с квадратным нулем .
Свободные конструкции менее естественны в Rng , чем в Ring . Например, свободное кольцо, порожденное набором { x }, представляет собой кольцо всех целых многочленов по x без постоянного члена, в то время как свободное кольцо, порожденное { x }, представляет собой просто кольцо полиномов Z [ x ].