RC-цепь

Электрическая цепь, состоящая из резисторов и конденсаторов

Цепь резистор -конденсатор ( RC-цепь ), или RC-фильтр или RC-сеть , представляет собой электрическую цепь , состоящую из резисторов и конденсаторов . Он может управляться источником напряжения или тока , и они будут вызывать разные реакции. RC-цепь первого порядка состоит из одного резистора и одного конденсатора и представляет собой простейший тип RC-цепи.

RC-цепи можно использовать для фильтрации сигнала путем блокировки определенных частот и пропускания других. Двумя наиболее распространенными RC-фильтрами являются фильтры верхних частот и фильтры нижних частот ; для полосовых и полосовых фильтров обычно требуются RLC-фильтры , хотя грубые фильтры можно сделать и с RC-фильтрами.

Введение

Существует три основных компонента линейной пассивной аналоговой схемы с сосредоточенными параметрами: резистор (R), конденсатор (C) и катушка индуктивности (L). Они могут быть объединены в цепь RC, цепь RL , цепь LC и цепь RLC , при этом аббревиатуры указывают, какие компоненты используются. Эти схемы, среди них, демонстрируют большое количество важных типов поведения, которые являются фундаментальными для большей части аналоговой электроники . В частности, они способны действовать как пассивные фильтры . В этой статье рассматривается RC-цепь как в последовательной , так и в параллельной форме, как показано на схемах ниже.

Естественный ответ

RC-цепь

Простейшая RC-цепь состоит из резистора и заряженного конденсатора, соединенных друг с другом в один контур без внешнего источника напряжения. Как только цепь замыкается, конденсатор начинает разряжать накопленную энергию через резистор. Напряжение на конденсаторе, которое зависит от времени, можно найти с помощью закона тока Кирхгофа . Ток через резистор должен быть равен по величине (но противоположному знаку) производной по времени накопленного заряда на конденсаторе. Это приводит к линейному дифференциальному уравнению

${\displaystyle C{\frac {dV}{dt}}+{\frac {V}{R}}=0\,,}$

где С – емкость конденсатора.

Решение этого уравнения для V дает формулу экспоненциального затухания :

${\displaystyle V(t)=V_{0}e^{-{\frac {t}{RC}}}\,,}$

где V ₀ — напряжение конденсатора в момент времени t = 0 .

Время, необходимое для падения напряжения доВ ₀/еназывается постоянной времени RC и определяется выражением ^[1]

${\displaystyle \tau =RC\,.}$

В этой формуле τ измеряется в секундах, R – в омах, а C – в фарадах.

Комплексный импеданс

Комплексное сопротивление Z _C (в Омах ) конденсатора емкостью C (в фарадах ) равно

${\displaystyle Z_{C}={\frac {1}{sC}}}$

Комплексная частота s , вообще говоря, является комплексным числом ,

${\displaystyle s=\sigma +j\omega \,,}$

где

• j представляет мнимую единицу : j ² = −1 ,
• σ — константа экспоненциального распада (в неперах в секунду), а
• ω — синусоидальная угловая частота (в радианах в секунду ).

Синусоидальное устойчивое состояние

Синусоидальное устойчивое состояние — это особый случай, в котором входное напряжение представляет собой чистую синусоиду (без экспоненциального затухания). В результате импеданс становится ${\displaystyle \sigma =0}$

${\displaystyle Z_{C}={\frac {1}{j\omega C}}=-{\frac {j}{\omega C}}\,.}$

Последовательная схема

Серия RC-цепи

Если рассматривать схему как делитель напряжения , напряжение на конденсаторе составит:

${\displaystyle V_{C}(s)={\frac {\frac {1}{Cs}}{R+{\frac {1}{Cs}}}}V_{\mathrm {in} }(s)={\frac {1}{1+RCs}}V_{\mathrm {in} }(s)}$

а напряжение на резисторе равно:

${\displaystyle V_{R}(s)={\frac {R}{R+{\frac {1}{Cs}}}}V_{\mathrm {in} }(s)={\frac {RCs}{1+RCs}}V_{\mathrm {in} }(s)\,.}$

Передаточные функции

Передаточная функция от входного напряжения к напряжению на конденсаторе равна

${\displaystyle H_{C}(s)={\frac {V_{C}(s)}{V_{\mathrm {in} }(s)}}={\frac {1}{1+RCs}}\,.}$

Аналогично, передаточная функция от входа к напряжению на резисторе равна

${\displaystyle H_{R}(s)={\frac {V_{R}(s)}{V_{\rm {in}}(s)}}={\frac {RCs}{1+RCs}}\,.}$

Полюсы и нули

Обе передаточные функции имеют один полюс , расположенный в точке

${\displaystyle s=-{\frac {1}{RC}}\,.}$

Кроме того, передаточная функция напряжения на резисторе имеет ноль, расположенный в начале координат .

Усиление и фаза

Функции передачи амплитуды и фазы для последовательной RC-цепи

Величина выигрыша по двум компонентам равна

${\displaystyle G_{C}={\big |}H_{C}(j\omega ){\big |}=\left|{\frac {V_{C}(j\omega )}{V_{\mathrm {in} }(j\omega )}}\right|={\frac {1}{\sqrt {1+\left(\omega RC\right)^{2}}}}}$

и

${\displaystyle G_{R}={\big |}H_{R}(j\omega ){\big |}=\left|{\frac {V_{R}(j\omega )}{V_{\mathrm {in} }(j\omega )}}\right|={\frac {\omega RC}{\sqrt {1+\left(\omega RC\right)^{2}}}}\,,}$

а фазовые углы равны

${\displaystyle \phi _{C}=\angle H_{C}(j\omega )=\tan ^{-1}\left(-\omega RC\right)}$

и

${\displaystyle \phi _{R}=\angle H_{R}(j\omega )=\tan ^{-1}\left({\frac {1}{\omega RC}}\right)\,.}$

Эти выражения вместе можно заменить в обычное выражение для вектора, представляющего выходные данные:

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{C}&=G_{C}V_{\mathrm {in} }e^{j\phi _{C}}\\V_{R}&=G_{R}V_{\mathrm {in} }e^{j\phi _{R}}\,.\end{aligned}}}$

Текущий

Ток в цепи везде одинаков, так как цепь включена последовательно:

${\displaystyle I(s)={\frac {V_{\mathrm {in} }(s)}{R+{\frac {1}{Cs}}}}={\frac {Cs}{1+RCs}}V_{\mathrm {in} }(s)\,.}$

Импульсивный ответ

Импульсная характеристика последовательной RC-цепи

Импульсная характеристика для каждого напряжения представляет собой обратное преобразование Лапласа соответствующей передаточной функции. Он представляет собой реакцию схемы на входное напряжение, состоящее из импульса или дельта-функции Дирака .

Импульсная характеристика напряжения конденсатора равна

${\displaystyle h_{C}(t)={\frac {1}{RC}}e^{-{\frac {t}{RC}}}u(t)={\frac {1}{\tau }}e^{-{\frac {t}{\tau }}}u(t)\,,}$

где u ( t ) — ступенчатая функция Хевисайда , а τ = RC — постоянная времени .

Аналогично, импульсная характеристика напряжения резистора равна

${\displaystyle h_{R}(t)=\delta (t)-{\frac {1}{RC}}e^{-{\frac {t}{RC}}}u(t)=\delta (t)-{\frac {1}{\tau }}e^{-{\frac {t}{\tau }}}u(t)\,,}$

где δ ( t ) — дельта-функция Дирака

Вопросы частотной области

Это выражения частотной области . Их анализ покажет, какие частоты схемы (или фильтры) пропускают, а какие отклоняют. Этот анализ основан на рассмотрении того, что происходит с этими выигрышами, когда частота становится очень большой или очень маленькой.

При ω → ∞ :

${\displaystyle G_{C}\to 0\quad {\mbox{and}}\quad G_{R}\to 1\,.}$

При ω → 0 :

${\displaystyle G_{C}\to 1\quad {\mbox{and}}\quad G_{R}\to 0\,.}$

Это показывает, что если выходной сигнал подается через конденсатор, высокие частоты ослабляются (замыкаются на землю), а низкие частоты пропускаются. Таким образом, схема ведет себя как фильтр нижних частот . Однако если выходной сигнал подается через резистор, высокие частоты пропускаются, а низкие частоты ослабляются (поскольку конденсатор блокирует сигнал, когда его частота приближается к 0). В этой конфигурации схема ведет себя как фильтр верхних частот .

Диапазон частот, который пропускает фильтр, называется его полосой пропускания . Точка, в которой фильтр ослабляет сигнал вдвое от его нефильтрованной мощности, называется частотой среза . Для этого необходимо уменьшить коэффициент усиления схемы до

${\displaystyle G_{C}=G_{R}={\frac {1}{\sqrt {2}}}}$.

Решение приведенного выше уравнения дает

${\displaystyle \omega _{\mathrm {c} }={\frac {1}{RC}}\quad {\mbox{or}}\quad f_{\mathrm {c} }={\frac {1}{2\pi RC}}}$

это частота, которую фильтр будет ослаблять до половины своей первоначальной мощности.

Очевидно, что фазы также зависят от частоты, хотя этот эффект в целом менее интересен, чем изменение коэффициента усиления.

При ω → 0 :

${\displaystyle \phi _{C}\to 0\quad {\mbox{and}}\quad \phi _{R}\to 90^{\circ }={\frac {\pi }{2}}{\mbox{ radians}}\,.}$

При ω → ∞ :

${\displaystyle \phi _{C}\to -90^{\circ }=-{\frac {\pi }{2}}{\mbox{ radians}}\quad {\mbox{and}}\quad \phi _{R}\to 0\,.}$

Таким образом, при постоянном токе (0  Гц ) напряжение конденсатора находится в фазе с напряжением сигнала, а напряжение резистора опережает его на 90°. По мере увеличения частоты напряжение конденсатора отстает на 90° относительно сигнала, а напряжение резистора становится синфазным с сигналом.

Соображения во временной области

Этот раздел основан на знании e , натуральной логарифмической константы .

Самый простой способ получить поведение во временной области — использовать _{преобразования} Лапласа выражений для VC и VR _, приведенных выше. Это эффективно преобразует jω → s . Предполагая пошаговый ввод (т. е. V _in = 0 до t = 0 , а затем V _in = V после этого):

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{\mathrm {in} }(s)&=V\cdot {\frac {1}{s}}\\V_{C}(s)&=V\cdot {\frac {1}{1+sRC}}\cdot {\frac {1}{s}}\\V_{R}(s)&=V\cdot {\frac {sRC}{1+sRC}}\cdot {\frac {1}{s}}\,.\end{aligned}}}$

Переходная характеристика напряжения конденсатора.

Переходная характеристика напряжения резистора.

Разложение частных дробей и обратное преобразование Лапласа дают:

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{C}(t)&=V\left(1-e^{-{\frac {t}{RC}}}\right)\\V_{R}(t)&=Ve^{-{\frac {t}{RC}}}\,.\end{aligned}}}$

Эти уравнения предназначены для расчета напряжения на конденсаторе и резисторе соответственно во время зарядки конденсатора ; для разряда уравнения обратные. Эти уравнения можно переписать в терминах заряда и тока, используя соотношения C =вопрос/Ви V = IR (см. закон Ома ).

Таким образом, напряжение на конденсаторе с течением времени стремится к V , а напряжение на резисторе стремится к 0, как показано на рисунках. Это соответствует интуитивному представлению о том, что конденсатор будет заряжаться от напряжения питания с течением времени и в конечном итоге будет полностью заряжен.

Эти уравнения показывают, что последовательная RC-цепь имеет постоянную времени , обычно обозначаемую τ = RC , обозначающую время, в течение которого напряжение на компоненте либо возрастает (на конденсаторе), либо падает (на резисторе) в пределах1/еего конечной стоимости. То есть τ — это время, необходимое _VC для достижения V (1 −1/е) и V _R для достижения V (1/е) .

Скорость изменения дробная 1 —1/еза τ . Таким образом, при переходе от t = Nτ к t = ( N + 1) τ напряжение переместится примерно на 63,2% пути от уровня при t = Nτ к своему конечному значению. Таким образом, конденсатор будет заряжен примерно до 63,2% после τ и практически полностью заряжен (99,3%) примерно через 5 τ . Когда источник напряжения заменяется на короткое замыкание, при полностью заряженном конденсаторе напряжение на конденсаторе падает экспоненциально с t от V до 0. Конденсатор будет разряжен примерно до 36,8% после τ и, по существу, полностью разряжен (0,7% ) примерно через 5 τ . Обратите внимание, что ток I в цепи ведет себя так же, как и напряжение на резисторе, согласно закону Ома .

Эти результаты также могут быть получены путем решения дифференциальных уравнений, описывающих схему:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {V_{\mathrm {in} }-V_{C}}{R}}&=C{\frac {dV_{C}}{dt}}\\V_{R}&=V_{\mathrm {in} }-V_{C}\,.\end{aligned}}}$

Первое уравнение решается с использованием интегрирующего коэффициента , а второе легко выводится; решения точно такие же, как и те, которые получены с помощью преобразований Лапласа.

Интегратор

Рассмотрим выходной сигнал конденсатора на высокой частоте, т.е.

${\displaystyle \omega \gg {\frac {1}{RC}}\,.}$

Это означает, что у конденсатора недостаточно времени для зарядки, и поэтому его напряжение очень мало. Таким образом, входное напряжение примерно равно напряжению на резисторе. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим выражение, приведенное выше: ${\displaystyle I}$

${\displaystyle I={\frac {V_{\mathrm {in} }}{R+{\frac {1}{j\omega C}}}}\,,}$

но обратите внимание, что описанное частотное условие означает, что

${\displaystyle \omega C\gg {\frac {1}{R}}\,,}$

так

${\displaystyle I\approx {\frac {V_{\mathrm {in} }}{R}}}$

это просто закон Ома .

Сейчас,

${\displaystyle V_{C}={\frac {1}{C}}\int _{0}^{t}I\,dt\,,}$

так

${\displaystyle V_{C}\approx {\frac {1}{RC}}\int _{0}^{t}V_{\mathrm {in} }\,dt\,,}$

который является интегратором на конденсаторе .

Дифференциатор

Рассмотрим выходной сигнал резистора на низкой частоте, т.е.

${\displaystyle \omega \ll {\frac {1}{RC}}\,.}$

Это означает, что конденсатор успевает зарядиться до тех пор, пока его напряжение не станет практически равным напряжению источника. Снова обратимся к выражению I , когда

${\displaystyle R\ll {\frac {1}{\omega C}}\,,}$

так

${\displaystyle {\begin{aligned}I&\approx {\frac {V_{\mathrm {in} }}{\frac {1}{j\omega C}}}\\V_{\mathrm {in} }&\approx {\frac {I}{j\omega C}}=V_{C}\,.\end{aligned}}}$

Сейчас,

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{R}&=IR=C{\frac {dV_{C}}{dt}}R\\V_{R}&\approx RC{\frac {dV_{in}}{dt}}\,,\end{aligned}}}$

который является дифференциатором на резисторе .

Интегрирование и дифференцирование также могут быть достигнуты путем размещения соответствующих резисторов и конденсаторов на входе и контуре обратной связи операционных усилителей (см. «Интегратор операционного усилителя» и «Дифференциатор операционного усилителя »).

Схема серии PWM RC

Параллельная схема

Параллельная RC-цепь

Параллельная RC-цепь обычно представляет меньший интерес, чем последовательная. Во многом это связано с тем, что выходное напряжение V _out равно входному напряжению V _in — в результате эта схема не действует как фильтр входного сигнала, если он не питается от источника тока .

При комплексных сопротивлениях:

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{R}&={\frac {V_{\mathrm {in} }}{R}}\\I_{C}&=j\omega CV_{\mathrm {in} }\,.\end{aligned}}}$

Это показывает, что ток конденсатора сдвинут по фазе на 90° с током резистора (и источника). В качестве альтернативы можно использовать основные дифференциальные уравнения:

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{R}&={\frac {V_{\mathrm {in} }}{R}}\\I_{C}&=C{\frac {dV_{\mathrm {in} }}{dt}}\,.\end{aligned}}}$

При питании от источника тока передаточная функция параллельной RC-цепи равна:

${\displaystyle {\frac {V_{\mathrm {out} }}{I_{\mathrm {in} }}}={\frac {R}{1+sRC}}\,.}$

Синтез

Иногда требуется синтезировать RC-цепь по заданной рациональной функции в s . Чтобы синтез был возможен в пассивных элементах, функция должна быть положительно-вещественной функцией . Для синтеза в виде RC-цепи все критические частоты ( полюсы и нули ) должны находиться на отрицательной действительной оси и чередоваться между полюсами и нулями с равным количеством каждой. Кроме того, критическая частота, ближайшая к началу координат, должна быть полюсом, если предположить, что рациональная функция представляет собой импеданс, а не адмиттанс.

Синтез может быть достигнут с помощью модификации синтеза Фостера или синтеза Кауэра, используемых для синтеза LC-схем . В случае синтеза Кауэра получится лестничная сеть резисторов и конденсаторов. ^[2]

Смотрите также

• Постоянная времени RC
• RL-схема
• LC-цепь
• RLC-схема
• Электрическая сеть
• Список тем по электронике
• Шаговый отклик

Рекомендации

1. Горовиц и Хилл, с. 1.13
2. Бакши и Бакши, стр. 3-30–3-37.

Библиография

• Бакши, UA; Бакши А.В., Анализ цепей - II , Технические публикации, 2009 ISBN  9788184315974 .
• Горовиц, Пол; Хилл, Уинфилд, Искусство электроники (3-е издание), Cambridge University Press, 2015 ISBN 0521809266 .