Преобразование радона

Интегральное преобразование

Преобразование Радона. Отображает f в ( x , y )-области в Rf в ( α , s )-области.  

В математике преобразование Радона — это интегральное преобразование , которое переводит функцию f , определенную на плоскости, в функцию Rf , определенную в (двумерном) пространстве линий на плоскости, значение которой на конкретной линии равно линейному интегралу. функции над этой строкой. Преобразование было введено в 1917 году Иоганном Радоном ^[1] , который также предоставил формулу для обратного преобразования. Радон далее включил формулы для преобразования в трех измерениях , в которых интеграл берется по плоскостям (интегрирование по линиям известно как рентгеновское преобразование ). Позже оно было обобщено на многомерные евклидовы пространства и в более широком смысле в контексте интегральной геометрии . Комплексный аналог преобразования Радона известен как преобразование Пенроуза . Преобразование Радона широко применимо к томографии — созданию изображения на основе данных проекции, связанных со сканированием объекта в поперечном сечении.

Объяснение

Преобразование Радона индикаторной функции двух квадратов показано на изображении ниже. Более светлые области указывают на большие значения функции. Черный означает ноль.

Исходная функция равна единице в белой области и нулю в темной области.

Если функция представляет неизвестную плотность, то преобразование Радона представляет данные проекции, полученные в результате томографического сканирования. Следовательно, обратное преобразование Радона может использоваться для восстановления исходной плотности на основе данных проекции и, таким образом, формирует математическую основу для томографической реконструкции , также известной как итеративная реконструкция . ${\displaystyle f}$

Данные преобразования Радона часто называют синограммой, поскольку преобразование Радона точечного источника со смещением от центра представляет собой синусоиду. Следовательно, преобразование Радона ряда мелких объектов графически выглядит как ряд размытых синусоидальных волн с разными амплитудами и фазами.

Преобразование Радона полезно в компьютерной аксиальной томографии (КТ-сканировании), сканерах штрих-кодов , электронной микроскопии макромолекулярных ансамблей, таких как вирусы и белковые комплексы , сейсмологии отражения и при решении гиперболических уравнений в частных производных .

Горизонтальные проекции через форму приводят к накоплению сигнала (средняя полоса). Синограмма справа создается путем сбора множества таких проекций при вращении формы. Здесь цвет используется для выделения того, какой объект какую часть сигнала производит. Обратите внимание, как прямые объекты, выровненные по направлению проекции, приводят к более сильным сигналам.

Пример реконструкции с помощью преобразования Радона с использованием наблюдений под разными углами. Примененная инверсия к данным проекции затем восстанавливает изображение среза. ^[2]

Определение

Пусть – функция, удовлетворяющая трем условиям регулярности: ^[3] ${\displaystyle f({\textbf {x}})=f(x,y)}$

1. ${\displaystyle f({\textbf {x}})}$является непрерывным;
2. двойной интеграл , распространяющийся на всю плоскость, сходится; ${\displaystyle \iint {\dfrac {\vert f({\textbf {x}})\vert }{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\,dx\,dy}$
3. для любой произвольной точки плоскости справедливо равенство ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle \lim _{r\to \infty }\int _{0}^{2\pi }f(x+r\cos \varphi ,y+r\sin \varphi )\,d\varphi =0.}$

Преобразование Радона — это функция, определяемая на пространстве прямых линий линейным интегралом вдоль каждой такой линии следующим образом: ${\displaystyle Rf}$ ${\displaystyle L\subset \mathbb {R} ^{2}}$

$${\displaystyle Rf(L)=\int _{L}f(\mathbf {x} )\vert d\mathbf {x} \vert .}$$

${\displaystyle L}$ ${\displaystyle z}$

$${\displaystyle (x(z),y(z))={\Big (}(z\sin \alpha +s\cos \alpha ),(-z\cos \alpha +s\sin \alpha ){\Big )}\,}$$

${\displaystyle s}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (\alpha ,s)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}Rf(\alpha ,s)&=\int _{-\infty }^{\infty }f(x(z),y(z))\,dz\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f{\big (}(z\sin \alpha +s\cos \alpha ),(-z\cos \alpha +s\sin \alpha ){\big )}\,dz.\end{aligned}}}$$

евклидовом пространствегиперплоскостей ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Rf}$ ${\displaystyle \Sigma _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle Rf(\xi )=\int _{\xi }f(\mathbf {x} )\,d\sigma (\mathbf {x} ),\quad \forall \xi \in \Sigma _{n}}$$

гиперповерхностной мереединичный вектор ${\displaystyle d\sigma }$ ${\displaystyle \vert d\mathbf {x} \vert }$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \Sigma _{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \alpha =s}$ ${\displaystyle \alpha \in S^{n-1}}$ ${\displaystyle s\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S^{n-1}\times \mathbb {R} }$

$${\displaystyle Rf(\alpha ,s)=\int _{\mathbf {x} \cdot \alpha =s}f(\mathbf {x} )\,d\sigma (\mathbf {x} ).}$$

преобразование ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Связь с преобразованием Фурье

Вычисление двумерного преобразования Радона с помощью двух преобразований Фурье.

Преобразование Радона тесно связано с преобразованием Фурье . Здесь мы определяем одномерное преобразование Фурье как:

$${\displaystyle {\hat {f}}(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\omega }\,dx.}$$

${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =(x,y)}$

$${\displaystyle {\hat {f}}(\mathbf {w} )=\iint _{\mathbb {R} ^{2}}f(\mathbf {x} )e^{-2\pi i\mathbf {x} \cdot \mathbf {w} }\,dx\,dy.}$$

о срезе ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\alpha }[f](s)={\mathcal {R}}[f](\alpha ,s)}$

$${\displaystyle {\widehat {{\mathcal {R}}_{\alpha }[f]}}(\sigma )={\hat {f}}(\sigma \mathbf {n} (\alpha ))}$$

${\displaystyle \mathbf {n} (\alpha )=(\cos \alpha ,\sin \alpha ).}$

Таким образом, двумерное преобразование Фурье исходной функции вдоль линии под углом наклона является преобразованием Фурье с одной переменной преобразования Радона (полученного под углом ) этой функции. Этот факт можно использовать для вычисления как преобразования Радона, так и обратного ему. Результат можно обобщить на n измерений: ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$

$${\displaystyle {\hat {f}}(r\alpha )=\int _{\mathbb {R} }{\mathcal {R}}f(\alpha ,s)e^{-2\pi isr}\,ds.}$$

Двойное преобразование

Двойное преобразование Радона является своего рода сопряжением с преобразованием Радона. Начиная с функции g в пространстве , двойственное преобразование Радона представляет собой функцию на R ⁿ , определяемую формулой: ${\displaystyle \Sigma _{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}g}$

$${\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}g(\mathbf {x} )=\int _{\mathbf {x} \in \xi }g(\xi )\,d\mu (\xi ).}$$

вероятностная мера ${\displaystyle {\textbf {x}}\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle d\mu }$ ${\displaystyle \{\xi |\mathbf {x} \in \xi \}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$

Конкретно, для двумерного преобразования Радона двойное преобразование определяется формулой:

$${\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}g(\mathbf {x} )={\frac {1}{2\pi }}\int _{\alpha =0}^{2\pi }g(\alpha ,\mathbf {n} (\alpha )\cdot \mathbf {x} )\,d\alpha .}$$

обратным проецированием ^[4]

Переплетающаяся недвижимость

Обозначим лапласиан on, определяемый формулой: ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle \Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}}$$

Это естественный вращательно-инвариантный дифференциальный операторпереплетающимися операторами^[5] ${\displaystyle \Sigma _{n}}$ ${\displaystyle Lf(\alpha ,s)\equiv {\frac {\partial ^{2}}{\partial s^{2}}}f(\alpha ,s)}$

$${\displaystyle {\mathcal {R}}(\Delta f)=L({\mathcal {R}}f),\quad {\mathcal {R}}^{*}(Lg)=\Delta ({\mathcal {R}}^{*}g).}$$

^[6][7][8]

Подходы к реконструкции

Процесс реконструкции создает изображение (или функцию из предыдущего раздела) на основе данных его проекции. Реконструкция – это обратная задача . ${\displaystyle f}$

Формула инверсии радона

В двумерном случае наиболее часто используемой аналитической формулой для восстановления после преобразования Радона является формула фильтрованной обратной проекции или формула инверсии Радона ^[9] : ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle f(\mathbf {x} )=\int _{0}^{\pi }({\mathcal {R}}f(\cdot ,\theta )*h)(\left\langle \mathbf {x} ,\mathbf {n} _{\theta }\right\rangle )\,d\theta }$$

^[9] ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle {\hat {h}}(k)=|k|}$ ${\displaystyle h}$

некорректность

Интуитивно в формуле фильтрованной обратной проекции по аналогии с дифференцированием, для которого мы видим, что фильтр выполняет операцию, аналогичную производной. Грубо говоря, фильтр делает объекты более уникальными. Количественное утверждение о некорректности инверсии Радона выглядит следующим образом: ${\textstyle \left({\widehat {{\frac {d}{dx}}f}}\right)\!(k)=ik{\widehat {f}}(k)}$

$${\displaystyle {\widehat {{\mathcal {R}}^{*}{\mathcal {R}}[g]}}(\mathbf {k} )={\frac {1}{\|\mathbf {k} \|}}{\hat {g}}(\mathbf {k} )}$$

сопряжение ${\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}}$ ${\displaystyle g(\mathbf {x} )=e^{i\left\langle \mathbf {k} _{0},\mathbf {x} \right\rangle }}$

$${\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}{\mathcal {R}}[g](\mathbf {x} )={\frac {1}{\|\mathbf {k_{0}} \|}}e^{i\left\langle \mathbf {k} _{0},\mathbf {x} \right\rangle }}$$

^[9] ${\displaystyle e^{i\left\langle \mathbf {k} _{0},\mathbf {x} \right\rangle }}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}{\mathcal {R}}}$ ${\textstyle {\frac {1}{\|\mathbf {k} _{0}\|}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {\|\mathbf {k} \|}}}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}^{-1}}$

Итерационные методы реконструкции

По сравнению с методом фильтрованной обратной проекции итеративная реконструкция требует большого времени вычислений, что ограничивает ее практическое использование. Однако из-за некорректности инверсии Радона метод обратной проекции с фильтром может оказаться невозможным при наличии разрывов или шума. Методы итеративной реконструкции ( например , итеративный метод разреженной асимптотической минимальной дисперсии ^[10] ) могут обеспечить снижение металлических артефактов, шума и дозы для реконструированного результата, что привлекает большой исследовательский интерес во всем мире.

Формулы обращения

Доступны явные и эффективные с точки зрения вычислений формулы обращения для преобразования Радона и его двойника. Преобразование Радона в размерностях можно обратить по формуле: ^[11] ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle c_{n}f=(-\Delta )^{(n-1)/2}R^{*}Rf\,}$$

псевдодифференциальный оператор,преобразования Фурье ${\displaystyle c_{n}=(4\pi )^{(n-1)/2}{\frac {\Gamma (n/2)}{\Gamma (1/2)}}}$ ${\displaystyle (-\Delta )^{(n-1)/2}}$

$${\displaystyle \left[{\mathcal {F}}(-\Delta )^{(n-1)/2}\varphi \right](\xi )=|2\pi \xi |^{n-1}({\mathcal {F}}\varphi )(\xi ).}$$

^[12] ${\displaystyle R^{*}}$

$${\displaystyle c_{n}f={\begin{cases}R^{*}{\frac {d^{n-1}}{ds^{n-1}}}Rf&n{\text{ odd}}\\R^{*}{\mathcal {H}}_{s}{\frac {d^{n-1}}{ds^{n-1}}}Rf&n{\text{ even}}\end{cases}}}$$

преобразование Гильбертаs^[13] ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{s}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{s}{\frac {d}{ds}}}$ ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle f={\frac {1}{2}}R^{*}H_{s}{\frac {d}{ds}}Rf.}$$

цифровой обработки сигналов ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Rf}$ ${\displaystyle s}$

В явном виде формула обращения, полученная последним методом, имеет вид: ^[4]

$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\displaystyle -\imath 2\pi (2\pi )^{-n}(-1)^{n/2}\int _{S^{n-1}}{\frac {\partial ^{n-1}}{2\partial s^{n-1}}}Rf(\alpha ,\alpha \cdot x)\,d\alpha &n{\text{ odd}}\\\displaystyle (2\pi )^{-n}(-1)^{n/2}\iint _{\mathbb {R} \times S^{n-1}}{\frac {\partial ^{n-1}}{q\partial s^{n-1}}}Rf(\alpha ,\alpha \cdot x+q)\,d\alpha \,dq&n{\text{ even}}\\\end{cases}}}$$

$${\displaystyle c_{n}g=(-L)^{(n-1)/2}R(R^{*}g).\,}$$

Преобразование Радона в алгебраической геометрии

В алгебраической геометрии преобразование Радона (также известное как преобразование Брылинского–Радона ) строится следующим образом.

Писать

${\displaystyle \mathbf {P} ^{d}\,{\stackrel {p_{1}}{\gets }}\,H\,{\stackrel {p_{2}}{\to }}\,\mathbf {P} ^{\vee ,d}}$

для универсальной гиперплоскости , т.е. H состоит из пар ( x , h ), где x — точка в d -мерном проективном пространстве , а h — точка в двойственном проективном пространстве (другими словами, x — линия, проходящая через начало координат в ( d +1)-мерное аффинное пространство и h — гиперплоскость в этом пространстве) такая, что x содержится в h . ${\displaystyle \mathbf {P} ^{d}}$

Тогда преобразование Брылински–Радона является функтором между соответствующими производными категориями этальных пучков.

${\displaystyle \operatorname {Rad} :=Rp_{2,*}p_{1}^{*}:D(\mathbf {P} ^{d})\to D(\mathbf {P} ^{\vee ,d}).}$

Основная теорема об этом преобразовании состоит в том, что это преобразование индуцирует эквивалентность категорий перверсивных пучков в проективном пространстве и его двойственном проективном пространстве с точностью до постоянных пучков. ^[14]

Смотрите также

• Периодограмма
• Соответствующий фильтр
• Деконволюция
• Рентгеновское преобразование
• Фанк-трансформация
• Преобразование Хафа , записанное в непрерывной форме, очень похоже, если не эквивалентно, на преобразование Радона. ^[15]
• Теорема Коши – Крофтона — это тесно связанная формула для вычисления длины кривых в пространстве.
• Быстрое преобразование Фурье

Примечания

1. Радон 1917.
2. Одложилик, Михал (31 августа 2023 г.). «Отрядное томографическое инверсное исследование с помощью камер быстрого видимого света на токамаке COMPASS». {{cite journal}}: Требуется цитировать журнал |journal=( помощь )
3. Радон 1986.
4. Рёрдинк 2001.
5. Хельгасон 1984, Лемма I.2.1.
6. Лакс, ПД; Филипс, RS (1964). «Теория рассеяния». Бык. амер. Математика. Соц . 70 (1): 130–142. дои : 10.1090/s0002-9904-1964-11051-x .
7. Боннель, Н.; Рабин Дж.; Пейр, Г.; Пфистер, Х. (2015). «Срезные и радоновые барицентры Вассерштейна». Журнал математического изображения и видения . 51 (1): 22–25. дои : 10.1007/s10851-014-0506-3. S2CID  1907942.
8. Рим, Д. (2018). «Размерное расщепление гиперболических уравнений в частных производных с использованием преобразования Радона». СИАМ J. Sci. Вычислить . 40 (6): А4184–А4207. arXiv : 1705.03609 . Бибкод : 2018SJSC...40A4184R. дои : 10.1137/17m1135633. S2CID  115193737.
9. Candes 2016b.
10. Абейда, Хабти; Чжан, Цилинь; Ли, Цзянь; Мерабтин, Наджим (2013). «Итеративные разреженные асимптотические подходы к обработке массивов, основанные на минимальной дисперсии» (PDF) . Транзакции IEEE по обработке сигналов . IEEE. 61 (4): 933–944. arXiv : 1802.03070 . Бибкод : 2013ITSP...61..933A. дои : 10.1109/tsp.2012.2231676. ISSN  1053-587X. S2CID  16276001.
11. Хелгасон 1984, Теорема I.2.13.
12. Хелгасон 1984, Теорема I.2.16.
13. Нюгрен 1997.
14. Киль и Вайсауэр (2001, глава IV, кор. 2.4)
15. ван Гинкель, Хендрикс и ван Влит 2004.

Рекомендации

• Киль, Рейнхардт ; Вайсауэр, Райнер (2001), гипотезы Вейля, извращенные пучки и адическое преобразование Фурье , Springer, doi : 10.1007/978-3-662-04576-3, ISBN 3-540-41457-6, МР  1855066
• Радон, Иоганн (1917), «Über die Bestimmung von Funktionen durch ihre Integralwerte längs gewisser Mannigfaltigkeiten», Berichte über die Verhandlungen der Königlich-Sächsischen Akademie der Wissenschaften zu Leipzig, Mathematich-Physische Klasse [Отчеты о заседаниях Королевского Саксонская академия Науки в Лейпциге, Математический и физический отдел] , Лейпциг: Тойбнер (69): 262–277.;
  Перевод: Радон, Дж. (декабрь 1986 г.), перевод Паркса, ПК, «Об определении функций по их целым значениям вдоль определенных многообразий», IEEE Transactions on Medical Imaging , 5 (4): 170–176, doi : 10.1109 /TMI.1986.4307775, PMID  18244009, S2CID  26553287.
• Рердинк, JBTM (2001) [1994], «Томография», Математическая энциклопедия , EMS Press.
• Хельгасон, Сигурдур (1984), Группы и геометрический анализ: интегральная геометрия, инвариантные дифференциальные операторы и сферические функции , Academic Press, ISBN 0-12-338301-3.
• Кандес, Эммануэль (2 февраля 2016a). «Прикладной анализ Фурье и элементы современной обработки сигналов - лекция 9» (PDF) .
• Кандес, Эммануэль (4 февраля 2016b). «Прикладной анализ Фурье и элементы современной обработки сигналов - лекция 10» (PDF) .
• Нигрен, Андерс Дж. (1997). «Фильтрованная обратная проекция». Томографическая реконструкция данных ОФЭКТ .
• ван Гинкель, М.; Хендрикс, К. Л. Луенго; ван Влит, ЖЖ (2004). «Краткое введение в преобразования Радона и Хафа и их связь друг с другом» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 29 июля 2016 г.

дальнейшее чтение

• Локенат Дебнат; Дамбару Бхатта (19 апреля 2016 г.). Интегральные преобразования и их приложения. ЦРК Пресс. ISBN 978-1-4200-1091-6.
• Динс, Стэнли Р. (1983), Преобразование радона и некоторые его применения , Нью-Йорк: John Wiley & Sons.
• Хельгасон, Сигурдур (2008), Геометрический анализ симметричных пространств , Математические обзоры и монографии, том. 39 (2-е изд.), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , номер документа : 10.1090/surv/039, ISBN 978-0-8218-4530-1, МР  2463854
• Герман, Габор Т. (2009), Основы компьютерной томографии: реконструкция изображений по проекциям (2-е изд.), Springer, ISBN 978-1-85233-617-2
• Минлос, Р.А. (2001) [1994], «Преобразование Радона», Математическая энциклопедия , EMS Press
• Наттерер, Франк (июнь 2001 г.), Математика компьютерной томографии , Классика прикладной математики, том. 32, Общество промышленной и прикладной математики, ISBN. 0-89871-493-1
• Наттерер, Фрэнк; Вюббелинг, Франк (2001), Математические методы реконструкции изображений , Общество промышленной и прикладной математики, ISBN 0-89871-472-9

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Преобразование радона». Математический мир .
• Аналитическая проекция (преобразование Радона) (видео). Часть курса «Компьютерная томография и набор инструментов ASTRA». Университет Антверпена . 10 сентября 2015 г.