Ограниченные частичные коэффициенты

Аналитическая серия

В математике , и в частности в аналитической теории правильных цепных дробей , бесконечная правильная цепная дробь x называется ограниченной или составленной из ограниченных неполных частных , если последовательность знаменателей ее неполных частных ограничена; то есть

${\displaystyle x=[a_{0};a_{1},a_{2},\dots ]=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\cfrac {1}{a_{4}+\ddots }}}}}}}}=a_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{K}}}{\frac {1}{a_{i}}},\,}$

и существует некоторое положительное целое число M такое, что все ( целые ) частичные знаменатели a _i меньше или равны M . ^{[1] [2]}

Периодические непрерывные дроби

Правильная периодическая непрерывная дробь состоит из конечного начального блока частичных знаменателей, за которым следует повторяющийся блок; если

${\displaystyle \zeta =[a_{0};a_{1},a_{2},\dots ,a_{k},{\overline {a_{k+1},a_{k+2},\dots ,a_{k+m}}}],\,}$

тогда ζ — квадратичное иррациональное число, и его представление в виде правильной непрерывной дроби является периодическим. Очевидно, что любая правильная периодическая непрерывная дробь состоит из ограниченных неполных частных, поскольку ни один из частичных знаменателей не может быть больше наибольшего из a ₀ через a _{k + m} . Исторически математики изучали периодические непрерывные дроби, прежде чем рассматривать более общую концепцию ограниченных неполных частных.

Ограниченные CF и множество Кантора

Множество Кантора — это множество C меры ноль , из которого простым сложением можно построить полный интервал действительных чисел, то есть любое действительное число из интервала можно выразить как сумму ровно двух элементов множества C. Обычное доказательство существования множества Кантора основано на идее проделывания «дырки» в середине интервала, затем проделывания дырок в оставшихся подинтервалах и повторения этого процесса до бесконечности .

Процесс добавления еще одного неполного частного к конечной непрерывной дроби во многом аналогичен этому процессу «пробивания дыры» в интервале действительных чисел. Размер «дыры» обратно пропорционален следующему выбранному частичному знаменателю — если следующий частичный знаменатель равен 1, разрыв между последовательными сходящимися дробями максимизируется. Чтобы сделать следующие теоремы точными, мы рассмотрим CF( M ), множество ограниченных непрерывных дробей, значения которых лежат в открытом интервале (0, 1) и чьи частичные знаменатели ограничены положительным целым числом M — то есть,

${\displaystyle \mathrm {CF} (M)=\{[0;a_{1},a_{2},a_{3},\dots ]:1\leq a_{i}\leq M\}.\,}$

Проводя рассуждения, параллельные тем, которые использовались для построения множества Кантора, можно получить два интересных результата.

• Если M ≥ 4, то любое действительное число в интервале можно построить как сумму двух элементов из CF( M ), где интервал задается формулой

${\displaystyle (2\times [0;{\overline {M,1}}],2\times [0;{\overline {1,M}}])=\left({\frac {1}{M}}\left[{\sqrt {M^{2}+4M}}-M\right],{\sqrt {M^{2}+4M}}-M\right).}$

• Простое рассуждение показывает, что выполняется, когда M  ≥ 4, а это, в свою очередь, означает, что если M  ≥ 4, каждое действительное число может быть представлено в виде n  + CF ₁  + CF ₂ , где n — целое число, а CF ₁ и CF ₂ — элементы CF( M ). ^[3] ${\displaystyle {\scriptstyle [0;{\overline {1,M}}]-[0;{\overline {M,1}}]\geq {\frac {1}{2}}}}$

Гипотеза Зарембы

Заремба предположил существование абсолютной константы A , такой, что рациональные числа с частичными частными, ограниченными A, содержат по крайней мере один для каждого (положительного целого числа) знаменателя. Выбор A = 5 совместим с числовыми доказательствами. ^[4] Дальнейшие предположения уменьшают это значение в случае всех достаточно больших знаменателей. ^[5] Жан Бургейн и Алекс Конторович показали, что A можно выбрать так, чтобы заключение было верным для набора знаменателей плотности 1. ^[6]

Смотрите также

• Марковский спектр

Ссылки

1. Рокетт, Эндрю М.; Сюс, Питер (1992). Непрерывные дроби . World Scientific. ISBN 981-02-1052-3.
2. Более полное объяснение используемой здесь нотации K см. в этой статье .
3. Холл, Маршалл (октябрь 1947 г.). «О сумме и произведении непрерывных дробей». Анналы математики . 48 (4): 966–993. doi :10.2307/1969389. JSTOR  1969389.
4. Cristian S. Calude; Elena Calude; MJ Dinneen (29 ноября 2004 г.). Developments in Language Theory: 8th International Conference, DLT 2004, Окленд, Новая Зеландия, 13-17 декабря, Proceedings. Springer. стр. 180. ISBN 978-3-540-24014-3.
5. Хи О; Эммануэль Брейяр (17 февраля 2014 г.). Тонкие группы и сверхсильное приближение. Cambridge University Press. стр. 15. ISBN 978-1-107-03685-7.
6. Бурген, Жан ; Конторович, Алексей (2014). «О догадке Зарембы». Анналы математики . 180 (1): 137–196. arXiv : 1107.3776 . дои : 10.4007/анналы.2014.180.1.3. МР  3194813.