Роуз (математика)

Многолепестковая плоская кривая

Розы, заданные синусоидой r = cos( kθ ) для различных рациональных значений угловой частоты k = ⁠н/г⁠ .
Розы, заданные r = sin( kθ ), являются вращениями этих роз на четверть периода синусоиды против часовой стрелки вокруг полюса (начала координат). Для правильного математического анализа k должно быть выражено в неприводимой форме.

В математике кривая розы или родонеи — это синусоида, заданная либо косинусной , либо синусной функцией без фазового угла , которая отображается в полярных координатах . Кривые розы или «родонеи» были названы итальянским математиком, который их изучал, Гвидо Гранди , между 1723 и 1728 годами. ^[1]

Общий обзор

Спецификация

Роза — это множество точек в полярных координатах, заданное полярным уравнением ^[2]

${\displaystyle r=a\cos(k\theta )}$

или в декартовых координатах с использованием параметрических уравнений

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos(\theta )=a\cos(k\theta )\cos(\theta )\\y&=r\sin(\theta )=a\cos(k\theta )\sin(\theta )\end{aligned}}}$

Розы также можно определить с помощью функции синуса. ^[3] Так как

${\displaystyle \sin(k\theta )=\cos \left(k\theta -{\frac {\pi }{2}}\right)=\cos \left(k\left(\theta -{\frac {\pi }{2k}}\right)\right)}$.

Таким образом, роза, заданная r = a sin( kθ ), идентична розе, заданной r = a cos( kθ ), повернутой против часовой стрелки на ⁠π/2 тыс.⁠ радиан, что составляет одну четверть периода любой синусоиды.

Поскольку они определяются с помощью функции косинуса или синуса, розы обычно выражаются в виде графиков синусоид в полярных координатах (а не в декартовых координатах ), имеющих угловую частоту k и амплитуду a , которые определяют радиальную координату r при заданном полярном угле θ (хотя, когда k — рациональное число , кривая розы может быть выражена в декартовых координатах, поскольку их можно задать как алгебраические кривые ^[4] ).

Общие свойства

Художественное изображение роз с различными настройками параметров

Розы напрямую связаны со свойствами синусоид, которые их определяют.

Лепестки

• Графики роз состоят из лепестков . Лепесток — это фигура, образованная графиком полупериода синусоиды, которая задает розу. (Цикл — это часть синусоиды, которая составляет один период T = ⁠2π​/к⁠ длинный и состоит из положительного полуцикла, непрерывного множества точек, где r ≥ 0 и является ⁠Т/2⁠ = ⁠π/к⁠ длинный, а отрицательный полупериод — это другая половина, где r ≤ 0. )
  • Форма каждого лепестка одинакова, поскольку графики полуциклов имеют одинаковую форму. Форма задается положительным полуциклом с вершиной в точке ( a ,0), заданной r = a cos( kθ ) (которая ограничена угловым интервалом − ⁠Т/4⁠ ≤ θ ≤ ⁠Т/4⁠ ). Лепесток симметричен относительно полярной оси. Все остальные лепестки являются вращениями этого лепестка вокруг полюса, включая те, которые для роз определяются синусоидальной функцией с теми же значениями для a и k . ^[5]
  • В соответствии с правилами построения точек в полярных координатах, точка в отрицательном полупериоде не может быть построена под ее полярным углом, поскольку ее радиальная координата r отрицательна. Точка строится путем добавления π радиан к полярному углу с радиальной координатой | r | . Таким образом, положительные и отрицательные полупериоды могут совпадать на графике розы. Кроме того, розы вписаны в окружность r = a .
  • Когда период T синусоиды меньше или равен 4 π , форма лепестка представляет собой одиночную замкнутую петлю. Одиночная петля образуется, поскольку угловой интервал для полярного графика равен 2 π , а угловая ширина полуцикла меньше или равна 2 π . Когда T > 4 π (или | k | < ⁠1/2⁠ ) ​​график полуцикла можно рассматривать как спиральный от полюса в более чем одном обороте вокруг полюса, пока график не достигнет вписанного круга, где он спирально возвращается к полюсу, пересекаясь с самим собой и образуя одну или несколько петель по пути. Следовательно, каждый лепесток образует две петли, когда 4 π < T ≤ 8 π (или ⁠1/4⁠ ≤ | к | < ⁠1/2⁠ ), три петли, когда 8 π < T ≤ 12 π (или ⁠1/6⁠ ≤ | к | < ⁠1/4⁠ ) ​​и т. д. Розы с одним лепестком и несколькими петлями наблюдаются при k = ⁠1/3⁠ , ⁠1/5⁠ , ⁠1/7⁠ и т. д. (См. рисунок во введении.)
  • Лепестки розы не будут пересекаться друг с другом, если угловая частота k является ненулевым целым числом; в противном случае лепестки пересекаются друг с другом.

Симметрия

Все розы демонстрируют одну или несколько форм симметрии из-за лежащих в их основе симметричных и периодических свойств синусоид.

• Роза, заданная как r = a cos( kθ ), симметрична относительно полярной оси (линии θ = 0 ) из-за тождества a cos( kθ ) = a cos(− kθ ) , что делает розы, заданные двумя полярными уравнениями, совпадающими.

• Роза, заданная как r = a sin( kθ ), симметрична относительно вертикальной линии θ = ⁠π/2⁠ из-за тождества a sin( kθ ) = a sin( π − kθ ) , которое делает розы, заданные двумя полярными уравнениями, совпадающими.

• Только некоторые розы симметричны относительно шеста.

• Отдельные лепестки симметричны относительно линии, проходящей через полюс и вершину лепестка, что отражает симметрию полупериода базовой синусоиды. Розы, состоящие из конечного числа лепестков, по определению являются вращательно-симметричными , поскольку каждый лепесток имеет одинаковую форму, а последующие лепестки повернуты на один и тот же угол вокруг полюса.

Розы с ненулевыми целыми значениямик

Роза r = cos(4 θ ) . Поскольку k = 4 — четное число, у розы 2 k = 8 лепестков. Отрезки прямых, соединяющие последовательные вершины, лежат на окружности r = 1 и образуют восьмиугольник . Поскольку одна вершина находится в точке (1,0), восьмиугольник делает набросок графика относительно простым после того, как границы полуцикла (соответствующие апофемам) нарисованы.

Роза, заданная r = cos(7 θ ) . Поскольку k = 7 — нечетное число, у розы k = 7 лепестков. Отрезки прямых, соединяющие последовательные вершины, лежат на окружности r = 1 и образуют семиугольник . Роза вписана в окружность r = 1 .

Если k — ненулевое целое число, кривая будет иметь форму розы с 2 k лепестками , если k четное, и k лепестками, если k нечетное. ^[6] Свойства этих роз являются особым случаем роз с угловыми частотами k , которые являются рациональными числами, обсуждаемыми в следующем разделе этой статьи.

• Роза вписана в окружность r = a , соответствующую радиальной координате всех ее вершин.

• Поскольку график в полярных координатах ограничен полярными углами от 0 до 2π , существуют ⁠2π​/Т⁠ = k циклов, отображенных на графике. Дополнительные точки наносить не нужно, поскольку радиальная координата при θ = 0 имеет то же значение при θ = 2 π (которые являются вершинами для двух различных положительных полуциклов для роз, заданных функцией косинуса).

• Когда k четное (и ненулевое), роза состоит из 2 k лепестков, по одному для каждого пика в интервале 2 π отображаемых полярных углов. Каждый пик соответствует точке, лежащей на окружности r = a . Отрезки прямых, соединяющие последовательные пики, образуют правильный многоугольник с четным числом вершин, центр которого находится на полюсе, а радиус проходит через каждый пик, и аналогично:
  • Розы симметричны относительно шеста.
  • Розы симметричны относительно каждой линии, проходящей через полюс и вершину (через «середину» лепестка), при этом полярный угол между вершинами последовательных лепестков составляет ⁠2π​/2 тыс.⁠ = ⁠π/к⁠ радиан. Таким образом, эти розы имеют вращательную симметрию порядка 2 k .
  • Розы симметричны относительно каждой линии, делящей пополам угол между последовательными вершинами, что соответствует границам полуцикла и апофеме соответствующего многоугольника.

• Когда k нечетно, роза состоит из k лепестков, по одному на каждый гребень (или впадину) в интервале 2 π отображаемых полярных углов. Каждый пик соответствует точке, лежащей на окружности r = a . Положительные и отрицательные полуциклы этих роз совпадают, что означает, что при их построении нужно построить только положительные полуциклы или только отрицательные полуциклы, чтобы сформировать полную кривую. (Эквивалентно, полная кривая будет построена путем построения любого непрерывного интервала полярных углов длиной π радиан, например, от θ = 0 до θ = π . ^[7] ) Отрезки прямых, соединяющие последовательные пики, будут образовывать правильный многоугольник с нечетным числом вершин, и аналогично:
  • Розы симметричны относительно каждой линии, проходящей через полюс и вершину (через середину лепестка), при этом полярный угол между вершинами последовательных лепестков составляет ⁠2π​/к⁠ радиан. Таким образом, эти розы имеют вращательную симметрию порядка k .

• Лепестки розы не перекрываются.

• Розы можно задать алгебраическими кривыми порядка k + 1, когда k нечетное, и 2( k + 1) , когда k четное. ^[8]

Круг

Роза с k = 1 — это круг , который лежит на полюсе с диаметром, который лежит на полярной оси, когда r = a cos( θ ) . Круг — это единственный лепесток кривой. (См. круг, который формируется в конце следующего раздела.) В декартовых координатах эквивалентные спецификации косинуса и синуса следующие:

${\displaystyle \left(x-{\frac {a}{2}}\right)^{2}+y^{2}=\left({\frac {a}{2}}\right)^{2}}$

и

${\displaystyle x^{2}+\left(y-{\frac {a}{2}}\right)^{2}=\left({\frac {a}{2}}\right)^{2}}$

соответственно.

Квадрифолий

Роза с k = 2 называется квадрифолием, потому что у нее 2k = 4 лепестка и она образует квадрат . В декартовых координатах косинус и синус имеют следующие характеристики:

${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}=a^{2}\left(x^{2}-y^{2}\right)^{2}}$

и

${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}=4\left(axy\right)^{2}}$

соответственно.

Трилистник

Роза с k = 3 называется трифолиум ^[9] , потому что у нее k = 3 лепестка и она образует равносторонний треугольник . Кривая также называется Paquerette de Mélibée. В декартовых координатах косинус и синус имеют следующие характеристики:

${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=a\left(x^{3}-3xy^{2}\right)}$

и

${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=a\left(3x^{2}y-y^{3}\right)}$

соответственно. ^[10] (См. формирование трифолия в конце следующего раздела.)

Октафолий

Роза с k = 4 называется восьмилистником, потому что у нее 2k = 8 лепестков, и она образует восьмиугольник . В декартовых координатах косинус и синус имеют следующие характеристики:

${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)^{5}=a^{2}\left(x^{4}-6x^{2}y^{2}+y^{4}\right)^{2}}$

и

${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)^{5}=16a^{2}\left(xy^{3}-yx^{3}\right)^{2}}$

соответственно.

Пентафолий

Роза с k = 5 называется пентафолиум, потому что у нее k = 5 лепестков и она образует правильный пятиугольник . В декартовых координатах косинус и синус имеют следующие характеристики:

${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}=a\left(x^{5}-10x^{3}y^{2}+5xy^{4}\right)}$

и

${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}=a\left(5x^{4}y-10x^{2}y^{3}+y^{5}\right)}$

соответственно.

Двенадцатилистник

Роза с k = 6 называется двенадцатилистником, потому что у нее 2k = 12 лепестков, и она образует двенадцатиугольник . В декартовых координатах косинус и синус имеют следующие характеристики:

${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)^{7}=a^{2}\left(x^{6}-15x^{4}y^{2}+15x^{2}y^{4}-y^{6}\right)^{2}}$

и

${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)^{7}=4a^{2}\left(3x^{5}y-10x^{3}y^{3}+3xy^{5}\right)^{2}}$

соответственно.

Общая площадь и площадь лепестков

Полная площадь розы с полярным уравнением вида r = a cos( kθ ) или r = a sin( kθ ) , где k — целое число, отличное от нуля, равна ^[11]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }(a\cos(k\theta ))^{2}\,d\theta &={\frac {a^{2}}{2}}\left(\pi +{\frac {\sin(4k\pi )}{4k}}\right)={\frac {\pi a^{2}}{2}}&&\quad {\text{for even }}k\\[8px]{\frac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }(a\cos(k\theta ))^{2}\,d\theta &={\frac {a^{2}}{2}}\left({\frac {\pi }{2}}+{\frac {\sin(2k\pi )}{4k}}\right)={\frac {\pi a^{2}}{4}}&&\quad {\text{for odd }}k\end{aligned}}}$

Если k четное, то 2 k лепестков; если k нечетное, то k лепестков, поэтому площадь каждого лепестка равна ⁠πa ²/4 тыс.⁠ .

Розы с рациональными числовыми значениями дляк

В общем случае, когда k — рациональное число в несократимой дробной форме k = ⁠н/г⁠ , где n и d — ненулевые целые числа, число лепестков является знаменателем выражения ⁠1/2⁠ − ⁠1/2 тыс.⁠ = ⁠н − д/2 н⁠ . ^[12] Это означает, что количество лепестков равно n, если n и d нечетные, и 2 n в противном случае. ^[13]

• В случае, когда и n, и d нечетны, положительные и отрицательные полупериоды синусоиды совпадают. Графики этих роз завершаются в любом непрерывном интервале полярных углов, который имеет длину dπ . ^[14]

• Когда n четное, а d нечетное, или наоборот, роза будет полностью изображена в непрерывном интервале полярного угла длиной 2 dπ ^{. [15]} Более того, розы симметричны относительно полюса как для косинусных, так и для синусных спецификаций. ^[16]
  • Кроме того, когда n нечетное, а d четное, розы, заданные полярными уравнениями косинуса и синуса с одинаковыми значениями a и k, совпадают. Для такой пары роз роза со спецификацией функции синуса совпадает с гребнем розы со спецификацией косинуса на полярной оси либо при θ = ⁠дπ/2⁠ или при θ = ⁠3 дπ/2⁠ . (Это означает, что розы r = a cos( kθ ) и r = a sin( kθ ) с ненулевыми целыми значениями k никогда не совпадают.)

• Роза вписана в окружность r = a , соответствующую радиальной координате всех ее вершин.

Лист Дюрера

Роза с k = ⁠1/2⁠ называется Дюреровским листом, названным в честь немецкого художника и гравера Альбрехта Дюрера . Розы, указанные r = a cos( ⁠θ/2⁠ ) ​​и r = a sin( ⁠θ/2⁠ ) ​​совпадают, даже если cos ( ⁠θ/2⁠ ) ​​≠ грех ( ⁠θ/2⁠ ) ​​. В декартовых координатах роза определяется как ^[17]

${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)\left(2\left(x^{2}+y^{2}\right)-a^{2}\right)^{2}=a^{4}x^{2}}$

Лист Дюрера также является трисектрисой — кривой, которую можно использовать для трисекции углов.

Трисектриса лимасона

Роза с k = ⁠1/3⁠ — это лимасон трисектриса , обладающий свойством кривых трисектрисы , которые можно использовать для трисекций углов. У розы один лепесток с двумя петлями. (См. анимацию ниже.)

Примеры роз r = cos( kθ ), созданных с использованием шестеренок с разными передаточными отношениями.
Показанные лучи являются полярной осью и θ = ⁠π/2⁠ .
Построение графика начинается с θ = 2 π, когда k — целое число, и θ = 2 dπ в противном случае, и продолжается по часовой стрелке до θ = 0 .

Розы с иррациональными числовыми значениями дляк

Кривая розы, заданная иррациональным числом для k, имеет бесконечное число лепестков ^[18] и никогда не завершится. Например, синусоида r = a cos( πθ ) имеет период T = 2 , поэтому у нее есть лепесток в интервале полярного угла − ⁠1/2⁠ ≤ θ ≤ ⁠1/2⁠ с гребнем на полярной оси; однако нет другого полярного угла в области полярного уравнения, который будет построен в координатах ( a ,0) . В целом, розы, заданные синусоидами с угловыми частотами, которые являются иррациональными константами, образуют плотное множество (то есть они подходят произвольно близко к заданию каждой точки в круге r ≤ a ).

Смотрите также

• Лимасон трисектриса - имеет ту же форму, что и роза с k = ⁠1/3⁠ .
• Квадрифолий – кривая розы, где k = 2 .
• Маурер роза
• Роза (топология)
• Сектриса Маклорена
• Спирограф

Примечания

1. О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Родонея», Архив истории математики Мактьютора , Университет Сент-Эндрюс
2. Математические модели Х. Мартина Канди и А. П. Роллетта, второе издание, 1961 (Oxford University Press), стр. 73.
3. "Роза (Математика)" . Получено 2021-02-02 .
4. Роберт Ферреол. "Роза" . Получено 2021-02-03 .
5. Xah Lee. "Rose Curve" . Получено 2021-02-12 .
6. Эрик В. Вайсштейн. "Роза (Математика)". Wolfram MathWorld . Получено 2021-02-05 .
7. "Число лепестков кривой нечетного индекса родонеи". ProofWiki.org . Получено 2021-02-03 .
8. Роберт Ферреол. "Роза" . Получено 2021-02-03 .
9. "Trifolium" . Получено 2021-02-02 .
10. Эрик В. Вайсштейн. «Пакеретта де Мелибе». Вольфрам Математический мир . Проверено 5 февраля 2021 г.
11. Роберт Ферреол. "Роза" . Получено 2021-02-03 .
12. Ян Вассенаар. «Родонея» . Проверено 2 февраля 2021 г.
13. Роберт Ферреол. "Роза" . Получено 2021-02-05 .
14. Xah Lee. "Rose Curve" . Получено 2021-02-12 .
15. Xah Lee. "Rose Curve" . Получено 2021-02-12 .
16. Ян Вассенаар. «Родонея» . Проверено 2 февраля 2021 г.
17. Роберт Ферреоль. "Dürer Folium" . Получено 03.02.2021 .
18. Эрик В. Вайсштейн. "Роза (Математика)". Wolfram MathWorld . Получено 2021-02-05 .

Внешние ссылки

• Апплет для создания розы с параметром k
• Визуальный словарь специальных плоских кривых Xah Lee
• Интерактивный пример с JSXGraph
• Создать кривую розы в виде векторной графики (используя функцию синуса)