Рутианские механики

Формулировка классической механики

Эдвард Джон Раут , 1831–1907

В классической механике процедура Рауса или механика Рауса — это гибридная формулировка механики Лагранжа и механики Гамильтона, разработанная Эдвардом Джоном Раусом . Соответственно, механика Рауса — это функция , которая заменяет как функции Лагранжа , так и функции Гамильтона . Хотя механика Рауса эквивалентна механике Лагранжа и механике Гамильтона и не вводит никакой новой физики, она предлагает альтернативный способ решения механических проблем.

Определения

Раутиан, как и гамильтониан, может быть получен из преобразования Лежандра лагранжиана и имеет похожую на гамильтониан математическую форму, но не совсем то же самое. Различие между функциями Лагранжа, Гамильтона и Раута заключается в их переменных. Для заданного набора обобщенных координат, представляющих степени свободы в системе, лагранжиан является функцией координат и скоростей, тогда как гамильтониан является функцией координат и импульсов.

Раутиан отличается от этих функций тем, что некоторые координаты выбираются так, чтобы иметь соответствующие обобщенные скорости, остальные — так, чтобы иметь соответствующие обобщенные импульсы. Этот выбор произволен и может быть сделан для упрощения задачи. Он также имеет следствием то, что уравнения Раутиана являются в точности уравнениями Гамильтона для некоторых координат и соответствующих импульсов и уравнениями Лагранжа для остальных координат и их скоростей. В каждом случае функции Лагранжа и Гамильтона заменяются одной функцией — Раутианом. Таким образом, полный набор имеет преимущества обоих наборов уравнений с удобством разделения одного набора координат на уравнения Гамильтона, а остальных — на уравнения Лагранжа.

В случае лагранжевой механики обобщенные координаты q ₁ , q ₂ , ... и соответствующие им скорости dq ₁ / dt , dq ₂ / dt , ... , а также, возможно, время ^{[nb 1]} t , входят в лагранжиан,

${\displaystyle L(q_{1},q_{2},\ldots ,{\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},\ldots ,t)\,,\quad {\dot {q}}_{i}={\frac {dq_{i}}{dt}}\,,}$

где точки над точками обозначают производные по времени .

В гамильтоновой механике обобщенные координаты q ₁ , q ₂ , ... и соответствующие обобщенные импульсы p ₁ , p ₂ , ..., а также, возможно, время входят в гамильтониан,

${\displaystyle H(q_{1},q_{2},\ldots ,p_{1},p_{2},\ldots ,t)=\sum _{i}{\dot {q}}_{i}p_{i}-L(q_{1},q_{2},\ldots ,{\dot {q}}_{1}(p_{1}),{\dot {q}}_{2}(p_{2}),\ldots ,t)\,,\quad p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\,,}$

где второе уравнение является определением обобщенного импульса p _{i ,} соответствующего координате q _i ( частные производные обозначаются с помощью ∂ ). Скорости dq _i / dt выражаются как функции соответствующих им импульсов путем обращения их определяющего соотношения. В этом контексте p _i называется импульсом, «канонически сопряженным» с q _i .

Раутиан занимает промежуточное положение между L и H ; некоторые координаты q ₁ , q ₂ , ..., q _n выбираются так, чтобы иметь соответствующие обобщенные импульсы p ₁ , p ₂ , ..., p _n , остальные координаты ζ ₁ , ζ ₂ , ..., ζ _{s —} так, чтобы иметь обобщенные скорости dζ ₁ / dt , dζ ₂ / dt , ..., dζ _s / dt , а время может появляться явно; ^{[1] [2]}

Рутиан ( n + s степеней свободы)

${\displaystyle R(q_{1},\ldots ,q_{n},\zeta _{1},\ldots ,\zeta _{s},p_{1},\ldots ,p_{n},{\dot {\zeta }}_{1},\ldots ,{\dot {\zeta }}_{s},t)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}{\dot {q}}_{i}(p_{i})-L(q_{1},\ldots ,q_{n},\zeta _{1},\ldots ,\zeta _{s},{\dot {q}}_{1}(p_{1}),\ldots ,{\dot {q}}_{n}(p_{n}),{\dot {\zeta }}_{1},\ldots ,{\dot {\zeta }}_{s},t)\,,}$

где снова обобщенная скорость dq _i / dt должна быть выражена как функция обобщенного импульса p _i через его определяющее соотношение. Выбор того, какие n координаты должны иметь соответствующие импульсы, из n + s координат, является произвольным.

Вышеуказанное используется Ландау и Лифшицем , а также Гольдштейном . Некоторые авторы могут определить рутианца как отрицание вышеприведенного определения. ^[3]

Учитывая длину общего определения, более компактной записью будет использование жирного шрифта для кортежей (или векторов) переменных, таким образом, q = ( q ₁ , q ₂ , ..., q _n ) , ζ = ( ζ ₁ , ζ ₂ , ..., ζ _s ) , p = ( p ₁ , p ₂ , ..., p _n ) , и d ζ / dt = ( dζ ₁ / dt , dζ ₂ / dt , ..., dζ _s / dt ) , так что

${\displaystyle R(\mathbf {q} ,{\boldsymbol {\zeta }},\mathbf {p} ,{\dot {\boldsymbol {\zeta }}},t)=\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-L(\mathbf {q} ,{\boldsymbol {\zeta }},{\dot {\mathbf {q} }},{\dot {\boldsymbol {\zeta }}},t)\,,}$

где · — скалярное произведение, определенное для кортежей, для конкретного примера, представленного здесь:

${\displaystyle \mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}=\sum _{i=1}^{n}p_{i}{\dot {q}}_{i}\,.}$

Уравнения движения

Для справки, уравнения Эйлера-Лагранжа для s степеней свободы представляют собой набор s связанных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка в координатах

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}={\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}\,,}$

где j = 1, 2, ..., s , а уравнения Гамильтона для n степеней свободы представляют собой набор из 2 n связанных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка относительно координат и импульсов

${\displaystyle {\dot {q}}_{i}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}\,,\quad {\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}\,.}$

Ниже уравнения движения Рауса получены двумя способами, в ходе которых найдены другие полезные производные, которые можно использовать в других местах.

Две степени свободы

Рассмотрим случай системы с двумя степенями свободы , q и ζ , с обобщенными скоростями dq / dt и dζ / dt , а лагранжиан зависит от времени. (Обобщение на любое число степеней свободы следует точно такой же процедуре, как и с двумя). ^[4] Лагранжиан системы будет иметь вид

${\displaystyle L(q,\zeta ,{\dot {q}},{\dot {\zeta }},t)}$

Дифференциал L равен​​

${\displaystyle dL={\frac {\partial L}{\partial q}}dq+{\frac {\partial L}{\partial \zeta }}d\zeta +{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}d{\dot {q}}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\zeta }}}}d{\dot {\zeta }}+{\frac {\partial L}{\partial t}}dt\,.}$

Теперь заменим переменные из набора ( q , ζ , dq / dt , dζ / dt ) на ( q , ζ , p , dζ / dt ), просто заменив скорость dq / dt на импульс p . Эта замена переменных в дифференциалах является преобразованием Лежандра . Дифференциал новой функции для замены L будет суммой дифференциалов по dq , dζ , dp , d ( dζ / dt ) и dt . Используя определение обобщенного импульса и уравнение Лагранжа для координаты q :

${\displaystyle p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\,,\quad {\dot {p}}={\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}={\frac {\partial L}{\partial q}}}$

у нас есть

${\displaystyle dL={\dot {p}}dq+{\frac {\partial L}{\partial \zeta }}d\zeta +pd{\dot {q}}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\zeta }}}}d{\dot {\zeta }}+{\frac {\partial L}{\partial t}}dt}$

и чтобы заменить pd ( dq / dt ) на ( dq / dt ) dp , вспомним правило произведения для дифференциалов, ^{[nb 2]} и подставим

${\displaystyle pd{\dot {q}}=d({\dot {q}}p)-{\dot {q}}dp}$

чтобы получить дифференциал новой функции через новый набор переменных:

${\displaystyle d(L-p{\dot {q}})={\dot {p}}dq+{\frac {\partial L}{\partial \zeta }}d\zeta -{\dot {q}}dp+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\zeta }}}}d{\dot {\zeta }}+{\frac {\partial L}{\partial t}}dt\,.}$

Знакомство с Рутианом

${\displaystyle R(q,\zeta ,p,{\dot {\zeta }},t)=p{\dot {q}}(p)-L}$

где снова скорость dq / dt является функцией импульса p , мы имеем

${\displaystyle dR=-{\dot {p}}dq-{\frac {\partial L}{\partial \zeta }}d\zeta +{\dot {q}}dp-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\zeta }}}}d{\dot {\zeta }}-{\frac {\partial L}{\partial t}}dt\,,}$

но из вышеприведенного определения дифференциал Рутиана равен

${\displaystyle dR={\frac {\partial R}{\partial q}}dq+{\frac {\partial R}{\partial \zeta }}d\zeta +{\frac {\partial R}{\partial p}}dp+{\frac {\partial R}{\partial {\dot {\zeta }}}}d{\dot {\zeta }}+{\frac {\partial R}{\partial t}}dt\,.}$

Сравнивая коэффициенты дифференциалов dq , dζ , dp , d ( dζ / dt ) и dt , получаем уравнения Гамильтона для координаты q :

${\displaystyle {\dot {q}}={\frac {\partial R}{\partial p}}\,,\quad {\dot {p}}=-{\frac {\partial R}{\partial q}}\,,}$

и уравнение Лагранжа для координаты ζ

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial R}{\partial {\dot {\zeta }}}}={\frac {\partial R}{\partial \zeta }}}$

которые следуют из

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial \zeta }}=-{\frac {\partial R}{\partial \zeta }}\,,\quad {\frac {\partial L}{\partial {\dot {\zeta }}}}=-{\frac {\partial R}{\partial {\dot {\zeta }}}}\,,}$

и беря полную производную по времени от второго уравнения и приравнивая к первому. Обратите внимание, что рутиан заменяет функции Гамильтона и Лагранжа во всех уравнениях движения.

Оставшееся уравнение утверждает, что частные производные по времени от L и R отрицательны.

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial t}}=-{\frac {\partial R}{\partial t}}\,.}$

Любое количество степеней свободы

Для n + s координат, как определено выше, с Рутианом

${\displaystyle R(q_{1},\ldots ,q_{n},\zeta _{1},\ldots ,\zeta _{s},p_{1},\ldots ,p_{n},{\dot {\zeta }}_{1},\ldots ,{\dot {\zeta }}_{s},t)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}{\dot {q}}_{i}(p_{i})-L}$

уравнения движения могут быть выведены с помощью преобразования Лежандра этого Раутиана, как в предыдущем разделе, но другой способ — просто взять частные производные R по координатам q _i и ζ _j , импульсам p _i и скоростям dζ _j / dt , где i = 1, 2, ..., n , и j = 1, 2, ..., s . Производные равны

${\displaystyle {\frac {\partial R}{\partial q_{i}}}=-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}=-{\dot {p}}_{i}}$

${\displaystyle {\frac {\partial R}{\partial p_{i}}}={\dot {q}}_{i}}$

${\displaystyle {\frac {\partial R}{\partial \zeta _{j}}}=-{\frac {\partial L}{\partial \zeta _{j}}}\,,}$

${\displaystyle {\frac {\partial R}{\partial {\dot {\zeta }}_{j}}}=-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\zeta }}_{j}}}\,,}$

${\displaystyle {\frac {\partial R}{\partial t}}=-{\frac {\partial L}{\partial t}}\,.}$

Первые два являются тождественными уравнениями Гамильтона. Приравнивая полную производную по времени четвертого набора уравнений к третьему (для каждого значения j ), получаем уравнения Лагранжа. Пятое — это то же самое соотношение между частными производными по времени, что и раньше. Подводя итог ^[5]

Уравнения движения Рута ( n + s степеней свободы)

${\displaystyle {\dot {q}}_{i}={\frac {\partial R}{\partial p_{i}}}\,,\quad {\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial R}{\partial q_{i}}}\,,}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial R}{\partial {\dot {\zeta }}_{j}}}={\frac {\partial R}{\partial \zeta _{j}}}\,.}$

Общее число уравнений равно 2n + s , имеется 2n уравнений Гамильтона плюс s уравнений Лагранжа.

Энергия

Поскольку Лагранжиан имеет те же единицы, что и энергия , единицами Рутиана также являются энергия. В единицах СИ это Джоуль .

Взятие полной производной по времени от лагранжиана приводит к общему результату

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial t}}={\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i=1}^{n}{\dot {q}}_{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}+\sum _{j=1}^{s}{\dot {\zeta }}_{j}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\zeta }}_{j}}}-L\right)\,.}$

Если лагранжиан не зависит от времени, частная производная лагранжиана по времени равна нулю, ∂ L /∂ t = 0 , поэтому величина под полной производной по времени в скобках должна быть константой, это полная энергия системы ^[6]

${\displaystyle E=\sum _{i=1}^{n}{\dot {q}}_{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}+\sum _{j=1}^{s}{\dot {\zeta }}_{j}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\zeta }}_{j}}}-L\,.}$

(Если есть внешние поля, взаимодействующие с составляющими системы, они могут изменяться в пространстве, но не во времени). Это выражение требует частных производных L по всем скоростям dq _i / dt и dζ _j / dt . При том же условии, что R не зависит от времени, энергия в терминах Раутиана немного проще, заменяя определение R и частных производных R по скоростям dζ _j / dt ,

${\displaystyle E=R-\sum _{j=1}^{s}{\dot {\zeta }}_{j}{\frac {\partial R}{\partial {\dot {\zeta }}_{j}}}\,.}$

Обратите внимание, что нужны только частные производные R по скоростям dζ _j / dt . В случае, когда s = 0 и рутиан явно не зависит от времени, то E = R , то есть рутиан равен энергии системы. То же самое выражение для R в случае, когда s = 0 , также является гамильтонианом, поэтому во всех E = R = H .

Если Рутиан имеет явную зависимость от времени, полная энергия системы не является постоянной. Общий результат:

${\displaystyle {\frac {\partial R}{\partial t}}={\dfrac {d}{dt}}\left(R-\sum _{j=1}^{s}{\dot {\zeta }}_{j}{\frac {\partial R}{\partial {\dot {\zeta }}_{j}}}\right)\,,}$

которая может быть выведена из полной производной по времени R таким же образом, как и для L.

Циклические координаты

Часто подход Раута может не давать никаких преимуществ, но один примечательный случай, когда он полезен, — это когда система имеет циклические координаты (также называемые «игнорируемыми координатами»), по определению те координаты, которые не появляются в исходном лагранжиане. Уравнения Лагранжа являются мощными результатами, часто используемыми в теории и на практике, поскольку уравнения движения в координатах легко составить. Однако, если встречаются циклические координаты, все равно будут уравнения для решения всех координат, включая циклические координаты, несмотря на их отсутствие в лагранжиане. Уравнения Гамильтона являются полезными теоретическими результатами, но менее полезными на практике, поскольку координаты и импульсы связаны друг с другом в решениях — после решения уравнений координаты и импульсы должны быть исключены друг из друга. Тем не менее, уравнения Гамильтона идеально подходят для циклических координат, поскольку уравнения в циклических координатах тривиально исчезают, оставляя только уравнения в нециклических координатах.

Подход Раута сочетает в себе лучшее из обоих подходов, поскольку циклические координаты можно разделить на уравнения Гамильтона и исключить, оставив нециклические координаты, которые нужно решить из уравнений Лагранжа. В целом, необходимо решить меньше уравнений по сравнению с подходом Лагранжа.

Формулировка Раута полезна для систем с циклическими координатами , поскольку по определению эти координаты не входят в L , а значит, и в R. Соответствующие частные производные L и R по этим координатам равны нулю, что равно соответствующим обобщенным импульсам, сводящимся к константам. Чтобы сделать это конкретным, если q _i — все циклические координаты, а ζ _j — все нециклические, то

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}={\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial R}{\partial q_{i}}}=0\quad \Rightarrow \quad p_{i}=\alpha _{i}\,,}$

где α _i — константы. При подстановке этих констант в Раутиан, R является функцией только нециклических координат и скоростей (и в общем случае времени также)

${\displaystyle R(\zeta _{1},\ldots ,\zeta _{s},\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n},{\dot {\zeta }}_{1},\ldots ,{\dot {\zeta }}_{s},t)=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}{\dot {q}}_{i}(\alpha _{i})-L(\zeta _{1},\ldots ,\zeta _{s},{\dot {q}}_{1}(\alpha _{1}),\ldots ,{\dot {q}}_{n}(\alpha _{n}),{\dot {\zeta }}_{1},\ldots ,{\dot {\zeta }}_{s},t)\,,}$

Уравнение Гамильтона 2 n в циклических координатах автоматически исчезает,

${\displaystyle {\dot {q}}_{i}={\frac {\partial R}{\partial \alpha _{i}}}=f_{i}(\zeta _{1}(t),\ldots ,\zeta _{s}(t),{\dot {\zeta }}_{1}(t),\ldots ,{\dot {\zeta }}_{s}(t),\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n},t)\,,\quad {\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial R}{\partial q_{i}}}=0\,,}$

и уравнения Лагранжа находятся в нециклических координатах

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial R}{\partial {\dot {\zeta }}_{j}}}={\frac {\partial R}{\partial \zeta _{j}}}\,.}$

Таким образом, задача сводится к решению уравнений Лагранжа в нециклических координатах, с преимуществом уравнений Гамильтона, которые полностью удаляют циклические координаты. Используя эти решения, уравнения для можно интегрировать для вычисления . ${\displaystyle {\dot {q}}_{i}}$ ${\displaystyle q_{i}(t)}$

Если нас интересует, как циклические координаты изменяются со временем, то уравнения для обобщенных скоростей, соответствующих циклическим координатам, можно проинтегрировать.

Примеры

Процедура Рауса не гарантирует простоту уравнений движения, однако она приведет к меньшему количеству уравнений.

Центральный потенциал в сферических координатах

Одним из общих классов механических систем с циклическими координатами являются системы с центральными потенциалами , поскольку потенциалы этой формы зависят только от радиальных разделений и не зависят от углов.

Рассмотрим частицу массой m под действием центрального потенциала V ( r ) в сферических полярных координатах ( r , θ , φ )

${\displaystyle L(r,{\dot {r}},\theta ,{\dot {\theta }},{\dot {\phi }})={\frac {m}{2}}({\dot {r}}^{2}+{r}^{2}{\dot {\theta }}^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\varphi }}^{2})-V(r)\,.}$

Обратите внимание, что φ является циклическим, поскольку он не появляется в лагранжиане. Импульс, сопряженный с φ, является константой

${\displaystyle p_{\phi }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}}=mr^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\phi }}\,,}$

в котором r и dφ / dt могут меняться со временем, но угловой момент p _φ постоянен. Раутиан можно принять равным

${\displaystyle {\begin{aligned}R(r,{\dot {r}},\theta ,{\dot {\theta }})&=p_{\phi }{\dot {\phi }}-L\\&=p_{\phi }{\dot {\phi }}-{\frac {m}{2}}{\dot {r}}^{2}-{\frac {m}{2}}r^{2}{\dot {\theta }}^{2}-{\frac {p_{\phi }{\dot {\phi }}}{2}}+V(r)\\&={\frac {p_{\phi }{\dot {\phi }}}{2}}-{\frac {m}{2}}{\dot {r}}^{2}-{\frac {m}{2}}r^{2}{\dot {\theta }}^{2}+V(r)\\&={\frac {p_{\phi }^{2}}{2mr^{2}\sin ^{2}\theta }}-{\frac {m}{2}}{\dot {r}}^{2}-{\frac {m}{2}}r^{2}{\dot {\theta }}^{2}+V(r)\,.\end{aligned}}}$

Мы можем решить для r и θ , используя уравнения Лагранжа, и не нужно решать для φ, поскольку оно исключается уравнениями Гамильтона. Уравнение r имеет вид

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial R}{\partial {\dot {r}}}}={\frac {\partial R}{\partial r}}\quad \Rightarrow \quad -m{\ddot {r}}=-{\frac {p_{\phi }^{2}}{mr^{3}\sin ^{2}\theta }}-mr{\dot {\theta }}^{2}+{\frac {\partial V}{\partial r}}\,,}$

и уравнение θ равно

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial R}{\partial {\dot {\theta }}}}={\frac {\partial R}{\partial \theta }}\quad \Rightarrow \quad -m(2r{\dot {r}}{\dot {\theta }}+r^{2}{\ddot {\theta }})=-{\frac {p_{\phi }^{2}\cos \theta }{mr^{2}\sin ^{3}\theta }}\,.}$

Подход Раута дал два связанных нелинейных уравнения. Напротив, подход Лагранжа приводит к трем нелинейным связанным уравнениям, смешивая первую и вторую производные по времени от φ во всех из них, несмотря на ее отсутствие в Лагранжиане.

Уравнение r имеет вид

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {r}}}}={\frac {\partial L}{\partial r}}\quad \Rightarrow \quad m{\ddot {r}}=mr{\dot {\theta }}^{2}+mr\sin ^{2}\theta {\dot {\phi }}^{2}-{\frac {\partial V}{\partial r}}\,,}$

уравнение θ равно

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}={\frac {\partial L}{\partial \theta }}\quad \Rightarrow \quad 2r{\dot {r}}{\dot {\theta }}+r^{2}{\ddot {\theta }}=r^{2}\sin \theta \cos \theta {\dot {\phi }}^{2}\,,}$

уравнение φ имеет вид

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}}={\frac {\partial L}{\partial \phi }}\quad \Rightarrow \quad 2r{\dot {r}}\sin ^{2}\theta {\dot {\phi }}+2r^{2}\sin \theta \cos \theta {\dot {\theta }}{\dot {\phi }}+r^{2}\sin ^{2}\theta {\ddot {\phi }}=0\,.}$

Симметричные механические системы

Сферический маятник

Сферический маятник: углы и скорости

Рассмотрим сферический маятник , масса m (известный как «маятниковый груз»), прикрепленный к жесткому стержню длиной l пренебрежимо малой массы, подверженный локальному гравитационному полю g . Система вращается с угловой скоростью dφ / dt , которая не является постоянной. Угол между стержнем и вертикалью равен θ и не является постоянным.

Лагранжиан равен ^{[nb 3]}

${\displaystyle L(\theta ,{\dot {\theta }},{\dot {\phi }})={\frac {m\ell ^{2}}{2}}({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta {\dot {\phi }}^{2})+mg\ell \cos \theta \,,}$

а φ — циклическая координата для системы с постоянным импульсом

${\displaystyle p_{\phi }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}}=m\ell ^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\phi }}\,.}$

что снова физически является моментом импульса системы относительно вертикали. Угол θ и угловая скорость dφ / dt изменяются со временем, но момент импульса постоянен. Раутиан - это

${\displaystyle {\begin{aligned}R(\theta ,{\dot {\theta }})&=p_{\phi }{\dot {\phi }}-L\\&=p_{\phi }{\dot {\phi }}-{\frac {m\ell ^{2}}{2}}{\dot {\theta }}^{2}-{\frac {p_{\phi }{\dot {\phi }}}{2}}-mg\ell \cos \theta \\&={\frac {p_{\phi }{\dot {\phi }}}{2}}-{\frac {m\ell ^{2}}{2}}{\dot {\theta }}^{2}-mg\ell \cos \theta \\&={\frac {p_{\phi }^{2}}{2m\ell ^{2}\sin ^{2}\theta }}-{\frac {m\ell ^{2}}{2}}{\dot {\theta }}^{2}-mg\ell \cos \theta \end{aligned}}}$

Уравнение θ находится из уравнений Лагранжа

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial R}{\partial {\dot {\theta }}}}={\frac {\partial R}{\partial \theta }}\quad \Rightarrow \quad -m\ell ^{2}{\ddot {\theta }}=-{\frac {p_{\phi }^{2}\cos \theta }{m\ell ^{2}\sin ^{3}\theta }}+mg\ell \sin \theta \,,}$

или упрощая введением констант

${\displaystyle a={\frac {p_{\phi }^{2}}{m^{2}\ell ^{4}}}\,,\quad b={\frac {g}{\ell }}\,,}$

дает

${\displaystyle {\ddot {\theta }}=a{\frac {\cos \theta }{\sin ^{3}\theta }}-b\sin \theta \,.}$

Это уравнение напоминает простое нелинейное уравнение маятника , поскольку оно может качаться вокруг вертикальной оси, с дополнительным членом, учитывающим вращение вокруг вертикальной оси (константа a связана с угловым моментом p _φ ).

Применяя лагранжев подход, необходимо решить два нелинейных связанных уравнения.

Уравнение θ имеет вид

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}={\frac {\partial L}{\partial \theta }}\quad \Rightarrow \quad m\ell ^{2}{\ddot {\theta }}=m\ell ^{2}\sin \theta \cos \theta {\dot {\phi }}^{2}-mg\ell \sin \theta \,,}$

и уравнение φ имеет вид

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}}={\frac {\partial L}{\partial \phi }}\quad \Rightarrow \quad 2\sin \theta \cos \theta {\dot {\theta }}{\dot {\phi }}+\sin ^{2}\theta {\ddot {\phi }}=0\,.}$

Тяжелый симметричный верх

Тяжелый симметричный волчок в терминах углов Эйлера

Тяжелый симметричный волчок массы M имеет лагранжиан ^{[7] [8]}

${\displaystyle L(\theta ,{\dot {\theta }},{\dot {\psi }},{\dot {\phi }})={\frac {I_{1}}{2}}({\dot {\theta }}^{2}+{\dot {\phi }}^{2}\sin ^{2}\theta )+{\frac {I_{3}}{2}}({\dot {\psi }}^{2}+{\dot {\phi }}^{2}\cos ^{2}\theta )+I_{3}{\dot {\psi }}{\dot {\phi }}\cos \theta -Mg\ell \cos \theta }$

где ψ , φ , θ — углы Эйлера , θ — угол между вертикальной осью z и осью z ′ волчка, ψ — вращение волчка вокруг его собственной оси z ′ , а φ — азимут оси z ′ волчка вокруг вертикальной оси z . Главные моменты инерции равны I ₁ относительно собственной оси x ′ волчка , I ₂ относительно собственной оси y ′ волчка и I ₃ относительно собственной оси z ′ волчка. Поскольку волчок симметричен относительно своей оси z ′ , то I ₁ = I ₂ . Здесь используется простое соотношение для локальной гравитационной потенциальной энергии V = Mgl cos θ , где g — ускорение под действием силы тяжести, а центр масс волчка находится на расстоянии l от его кончика вдоль его оси z ′ .

Углы ψ , φ циклические. Постоянные импульсы — это моменты импульса волчка относительно его оси и его прецессии относительно вертикали соответственно:

${\displaystyle p_{\psi }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\psi }}}}=I_{3}{\dot {\psi }}+I_{3}{\dot {\phi }}\cos \theta }$

${\displaystyle p_{\phi }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}}={\dot {\phi }}(I_{1}\sin ^{2}\theta +I_{3}\cos ^{2}\theta )+I_{3}{\dot {\psi }}\cos \theta }$

Из них исключаем dψ / dt :

${\displaystyle p_{\phi }-p_{\psi }\cos \theta =I_{1}{\dot {\phi }}\sin ^{2}\theta }$

у нас есть

${\displaystyle {\dot {\phi }}={\frac {p_{\phi }-p_{\psi }\cos \theta }{I_{1}\sin ^{2}\theta }}\,,}$

и чтобы исключить dφ / dt , подставьте этот результат в p _ψ и решите относительно dψ / dt, чтобы найти

${\displaystyle {\dot {\psi }}={\frac {p_{\psi }}{I_{3}}}-\cos \theta \left({\frac {p_{\phi }-p_{\psi }\cos \theta }{I_{1}\sin ^{2}\theta }}\right)\,.}$

Рутиан можно считать

${\displaystyle R(\theta ,{\dot {\theta }})=p_{\psi }{\dot {\psi }}+p_{\phi }{\dot {\phi }}-L={\frac {1}{2}}(p_{\psi }{\dot {\psi }}+p_{\phi }{\dot {\phi }})-{\frac {I_{1}{\dot {\theta }}^{2}}{2}}+Mg\ell \cos \theta }$

и с тех пор

${\displaystyle {\frac {p_{\phi }{\dot {\phi }}}{2}}={\frac {p_{\phi }^{2}}{2I_{1}\sin ^{2}\theta }}-{\frac {p_{\psi }p_{\phi }\cos \theta }{2I_{1}\sin ^{2}\theta }}\,,}$

${\displaystyle {\frac {p_{\psi }{\dot {\psi }}}{2}}={\frac {p_{\psi }^{2}}{2I_{3}}}-{\frac {p_{\psi }p_{\phi }\cos \theta }{2I_{1}\sin ^{2}\theta }}+{\frac {p_{\psi }^{2}\cos ^{2}\theta }{2I_{1}\sin ^{2}\theta }}}$

у нас есть

${\displaystyle R={\frac {p_{\psi }^{2}}{2I_{3}}}+{\frac {p_{\psi }^{2}\cos ^{2}\theta }{2I_{1}\sin ^{2}\theta }}+{\frac {p_{\phi }^{2}}{2I_{1}\sin ^{2}\theta }}-{\frac {p_{\psi }p_{\phi }\cos \theta }{I_{1}\sin ^{2}\theta }}-{\frac {I_{1}{\dot {\theta }}^{2}}{2}}+Mg\ell \cos \theta \,.}$

Первый член постоянен и может быть проигнорирован, поскольку в уравнения движения войдут только производные R. Упрощенный Routhian, без потери информации, таким образом,

${\displaystyle R={\frac {1}{2I_{1}\sin ^{2}\theta }}\left[p_{\psi }^{2}\cos ^{2}\theta +p_{\phi }^{2}-2p_{\psi }p_{\phi }\cos \theta \right]-{\frac {I_{1}{\dot {\theta }}^{2}}{2}}+Mg\ell \cos \theta }$

Уравнение движения для θ , путем прямого вычисления, имеет вид

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial R}{\partial {\dot {\theta }}}}={\frac {\partial R}{\partial \theta }}\quad \Rightarrow \quad }$

${\displaystyle -I_{1}{\ddot {\theta }}=-{\frac {\cos \theta }{I_{1}\sin ^{3}\theta }}\left[p_{\psi }^{2}\cos ^{2}\theta +p_{\phi }^{2}-{\frac {p_{\psi }p_{\phi }}{2}}\cos \theta \right]+{\frac {1}{2I_{1}\sin ^{2}\theta }}\left[-2p_{\psi }^{2}\cos \theta \sin \theta +{\frac {p_{\psi }p_{\phi }}{2}}\sin \theta \right]-Mg\ell \sin \theta \,,}$

или путем введения констант

${\displaystyle a={\frac {p_{\psi }^{2}}{I_{1}^{2}}}\,,\quad b={\frac {p_{\phi }^{2}}{I_{1}^{2}}}\,,\quad c={\frac {p_{\psi }p_{\phi }}{2I_{1}^{2}}}\,,\quad k={\frac {Mg\ell }{I_{1}}}\,,}$

получается более простая форма уравнения

${\displaystyle {\ddot {\theta }}={\frac {\cos \theta }{\sin ^{3}\theta }}(a\cos ^{2}\theta +b-c\cos \theta )+{\frac {1}{2\sin \theta }}(2a\cos \theta -c)+k\sin \theta \,.}$

Хотя уравнение является в высшей степени нелинейным, для его решения требуется только одно уравнение, полученное напрямую, и циклические координаты не задействованы.

Напротив, подход Лагранжа приводит к решению трех нелинейных связанных уравнений, несмотря на отсутствие координат ψ и φ в Лагранжиане.

Уравнение θ имеет вид

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}={\frac {\partial L}{\partial \theta }}\quad \Rightarrow \quad I_{1}{\ddot {\theta }}=(I_{1}-I_{3}){\dot {\phi }}^{2}\sin \theta \cos \theta -I_{3}{\dot {\psi }}{\dot {\phi }}\sin \theta +Mg\ell \sin \theta \,,}$

уравнение ψ имеет вид

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\psi }}}}={\frac {\partial L}{\partial \psi }}\quad \Rightarrow \quad {\ddot {\psi }}+{\ddot {\phi }}\cos \theta -{\dot {\phi }}{\dot {\theta }}\sin \theta =0\,,}$

и уравнение φ имеет вид

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}}={\frac {\partial L}{\partial \phi }}\quad \Rightarrow \quad {\ddot {\phi }}(I_{1}\sin ^{2}\theta +I_{3}\cos ^{2}\theta )+{\dot {\phi }}(I_{1}-I_{3})2\sin \theta \cos \theta {\dot {\theta }}+I_{3}{\ddot {\psi }}\cos \theta -I_{3}{\dot {\psi }}\sin \theta {\dot {\theta }}=0\,,}$

Потенциалы, зависящие от скорости

Классическая заряженная частица в однородном магнитном поле

Классическая заряженная частица в однородном поле B , использующая цилиндрические координаты. Вверху: Если радиальная координата r и угловая скорость dθ / dt изменяются, траектория представляет собой геликоид с переменным радиусом, но равномерным движением в направлении z . Внизу: Постоянные r и dθ / dt означают геликоид с постоянным радиусом.

Рассмотрим классическую заряженную частицу с массой m и электрическим зарядом q в статическом (не зависящем от времени) однородном (постоянном во всем пространстве) магнитном поле B. [ ^9] Лагранжиан для заряженной частицы в общем электромагнитном поле, заданном магнитным потенциалом A и электрическим потенциалом , имеет вид ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle L={\frac {m}{2}}{\dot {\mathbf {r} }}^{2}-q\phi +q{\dot {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {A} \,,}$

Удобно использовать цилиндрические координаты ( r , θ , z ) , так что

${\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}=\mathbf {v} =(v_{r},v_{\theta },v_{z})=({\dot {r}},r{\dot {\theta }},{\dot {z}})\,,}$

${\displaystyle \mathbf {B} =(B_{r},B_{\theta },B_{z})=(0,0,B)\,.}$

В этом случае электрического поля нет, электрический потенциал равен нулю, и мы можем выбрать аксиальную калибровку для магнитного потенциала ${\displaystyle \phi =0}$

${\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {1}{2}}\mathbf {B} \times \mathbf {r} \quad \Rightarrow \quad \mathbf {A} =(A_{r},A_{\theta },A_{z})=(0,Br/2,0)\,,}$

и Лагранжиан равен

${\displaystyle L(r,{\dot {r}},{\dot {\theta }},{\dot {z}})={\frac {m}{2}}({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}+{\dot {z}}^{2})+{\frac {qBr^{2}{\dot {\theta }}}{2}}\,.}$

Обратите внимание, что этот потенциал имеет фактически цилиндрическую симметрию (хотя он также зависит от угловой скорости), поскольку единственная пространственная зависимость — это радиальная длина от воображаемой оси цилиндра.

Есть две циклические координаты, θ и z . Канонические импульсы, сопряженные с θ и z, являются константами

${\displaystyle p_{\theta }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}=mr^{2}{\dot {\theta }}+{\frac {qBr^{2}}{2}}\,,\quad p_{z}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {z}}}}=m{\dot {z}}\,,}$

поэтому скорости

${\displaystyle {\dot {\theta }}={\frac {1}{mr^{2}}}\left(p_{\theta }-{\frac {qBr^{2}}{2}}\right)\,,\quad {\dot {z}}={\frac {p_{z}}{m}}\,.}$

Угловой момент относительно оси z равен не p _θ , а величине mr ² dθ / dt , которая не сохраняется из-за вклада магнитного поля. Канонический импульс p _θ является сохраняющейся величиной. По-прежнему имеет место, что p _z является линейным или поступательным импульсом вдоль оси z , который также сохраняется.

Радиальная составляющая r и угловая скорость dθ / dt могут меняться со временем, но p _θ постоянна, и поскольку p _z постоянна, то dz / dt постоянна. Раутиан может иметь вид

${\displaystyle {\begin{aligned}R(r,{\dot {r}})&=p_{\theta }{\dot {\theta }}+p_{z}{\dot {z}}-L\\&=p_{\theta }{\dot {\theta }}+p_{z}{\dot {z}}-{\frac {m}{2}}{\dot {r}}^{2}-{\frac {p_{\theta }{\dot {\theta }}}{2}}-{\frac {p_{z}{\dot {z}}}{2}}-{\frac {1}{2}}qBr^{2}{\dot {\theta }}\\[6pt]&=(p_{\theta }-qBr^{2}){\frac {\dot {\theta }}{2}}-{\frac {m}{2}}{\dot {r}}^{2}+{\frac {p_{z}{\dot {z}}}{2}}\\[6pt]&={\frac {1}{2mr^{2}}}\left(p_{\theta }-qBr^{2}\right)\left(p_{\theta }-{\frac {qBr^{2}}{2}}\right)-{\frac {m}{2}}{\dot {r}}^{2}+{\frac {p_{z}^{2}}{2m}}\\[6pt]&={\frac {1}{2mr^{2}}}\left(p_{\theta }^{2}-{\frac {3}{2}}qBr^{2}+{\frac {(qB)^{2}r^{4}}{2}}\right)-{\frac {m}{2}}{\dot {r}}^{2}\end{aligned}}}$

где в последней строке член p _z ² /2 m является константой и может быть проигнорирован без потери непрерывности. Уравнения Гамильтона для θ и z автоматически исчезают и не нуждаются в решении для. Уравнение Лагранжа в r

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial R}{\partial {\dot {r}}}}={\frac {\partial R}{\partial r}}}$

путем прямого расчета

${\displaystyle -m{\ddot {r}}={\frac {1}{2m}}\left[{\frac {-2}{r^{3}}}\left(p_{\theta }^{2}-{\frac {3}{2}}qBr^{2}+{\frac {(qB)^{2}r^{4}}{2}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}(-3qBr+2(qB)^{2}r^{3})\right]\,,}$

который после сбора терминов

${\displaystyle m{\ddot {r}}={\frac {1}{2m}}\left[{\frac {2p_{\theta }^{2}}{r^{3}}}-(qB)^{2}r\right]\,,}$

и упрощая далее, вводя константы

${\displaystyle a={\frac {p_{\theta }^{2}}{m^{2}}}\,,\quad b=-{\frac {(qB)^{2}}{2m^{2}}}\,,}$

дифференциальное уравнение имеет вид

${\displaystyle {\ddot {r}}={\frac {a}{r^{3}}}+br}$

Чтобы увидеть, как z изменяется со временем, проинтегрируем выражение импульса для p _z выше.

${\displaystyle z={\frac {p_{z}}{m}}t+c_{z}\,,}$

где c _z — произвольная константа, начальное значение z указывается в начальных условиях .

Движение частицы в этой системе является геликоидальным , с равномерным (постоянным) осевым движением, но радиальными и угловыми компонентами, изменяющимися по спирали в соответствии с уравнением движения, выведенным выше. Начальные условия на r , dr / dt , θ , dθ / dt , определят, имеет ли траектория частицы постоянное r или изменяющееся r . Если изначально r не равно нулю, но dr / dt = 0 , а θ и dθ / dt произвольны, то начальная скорость частицы не имеет радиальной составляющей, r постоянна, _{поэтому} движение будет происходить по идеальной спирали. Если r постоянна, угловая скорость также постоянна в соответствии с сохраняющимся pθ .

При подходе Лагранжа уравнение для r будет включать dθ / dt , которое необходимо исключить, и возникнут уравнения для θ и z, которые нужно будет решить.

Уравнение r имеет вид

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {r}}}}={\frac {\partial L}{\partial r}}\quad \Rightarrow \quad m{\ddot {r}}=mr{\dot {\theta }}^{2}+qBr{\dot {\theta }}\,,}$

уравнение θ равно

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}={\frac {\partial L}{\partial \theta }}\quad \Rightarrow \quad m(2r{\dot {r}}{\dot {\theta }}+r^{2}{\ddot {\theta }})+qBr{\dot {r}}=0\,,}$

и уравнение z равно

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {z}}}}={\frac {\partial L}{\partial z}}\quad \Rightarrow \quad m{\ddot {z}}=0\,.}$

Уравнение z интегрируется тривиально, но уравнения r и θ — нет, в любом случае производные по времени смешаны во всех уравнениях и должны быть исключены.

Смотрите также

• Математический портал
• Физический портал

• Вариационное исчисление
• Фазовое пространство
• Конфигурация пространства
• Проблема многих тел
• Механика твердого тела

Сноски

1. Координаты являются функциями времени, поэтому лагранжиан всегда имеет неявную зависимость от времени через координаты. Если лагранжиан изменяется со временем независимо от координат, обычно из-за некоторого зависящего от времени потенциала, то говорят, что лагранжиан имеет «явную» зависимость от времени. Аналогично для функций Гамильтона и Раута.
2. Для двух функций u и v дифференциал произведения равен d ( uv ) = udv + vdu .
3. Потенциальная энергия на самом деле

   ${\displaystyle V=mg\ell (1-\cos \theta )\,,}$

   но поскольку первый член постоянен, его можно игнорировать в лагранжиане (и рутиане), которые зависят только от производных координат и скоростей. Вычитание этого из кинетической энергии означает знак плюс в лагранжиане, а не минус.

Примечания

1. Гольдштейн 1980, стр. 352
2. Ландау и Лифшиц 1976, стр. 134
3. Хэнд и Финч 1998, стр. 23
4. Ландау и Лифшиц 1976, стр. 134
5. Гольдштейн 1980, стр. 352
6. Ландау и Лифшиц 1976, стр. 134
7. Гольдштейн 1980, стр. 214
8. Киббл и Беркшир 2004, стр. 236
9. Киббл и Беркшир 2004, стр. 243

Ссылки

• Ландау, Л. Д .; Лифшиц, Э. М. (15 января 1976 г.). Механика (3-е изд.). Butterworth Heinemann. стр. 134. ISBN 9780750628969.
• Hand, LN; Finch, JD (13 ноября 1998 г.). Аналитическая механика (2-е изд.). Cambridge University Press. стр. 23. ISBN 9780521575720.
• Kibble, TWB; Berkshire, FH (2004). Классическая механика (5-е изд.). Imperial College Press. стр. 236. ISBN 9781860944352.
• Голдштейн, Герберт (1980). Классическая механика (2-е изд.). Сан-Франциско, Калифорния: Addison Wesley. стр. 352–353. ISBN 0201029189.
• Голдштейн, Герберт ; Пул, Чарльз П. младший; Сафко, Джон Л. (2002). Классическая механика (3-е изд.). Сан-Франциско, Калифорния: Addison Wesley. стр. 347–349. ISBN 0-201-65702-3.