В алгебре теорема Шлезингера — теорема в теории деформаций , введенная Шлезингером (1968), которая дает условия для того, чтобы функтор артиновых локальных колец был пропредставимым, уточняя более раннюю теорему Гротендика .
Λ — полное нётерово локальное кольцо с полем вычетов k , а C — категория локальных артиновых Λ-алгебр (это означает, в частности, что как модули над Λ они конечно порождены и артиновы) с полем вычетов k .
Малое расширение в C — это морфизм Y → Z в C , который является сюръективным с ядром — одномерным векторным пространством над k .
Функтор называется представимым, если он имеет вид h X , где h X ( Y )=hom( X , Y ) для некоторого X , и называется пропредставимым, если он имеет вид Y →lim hom( X i , Y ) для фильтрованного прямого предела по i в некотором фильтрованном упорядоченном множестве.
Морфизм функторов F → G из C в множества называется гладким, если всякий раз, когда Y → Z является эпиморфизмом C , отображение из F ( Y ) в F ( Z )× G ( Z ) G ( Y ) является сюръективным. Это определение тесно связано с понятием формально гладкого морфизма схем. Если, кроме того, отображение между касательными пространствами F и G является изоморфизмом, то F называется оболочкой G .
Гротендик (1960, предложение 3.1) показал, что функтор из категории C артиновых алгебр в множества является пропредставимым тогда и только тогда, когда он сохраняет все конечные пределы. Это условие эквивалентно требованию, чтобы функтор сохранял пулбэки и конечный объект. Фактически теорема Гротендика применима не только к категории C артиновых алгебр, но и к любой категории с конечными пределами, объекты которой являются артиновыми.
Взяв проективный предел пропредставимого функтора в более широкой категории линейно топологизированных локальных колец, получаем полное линейно топологизированное локальное кольцо, представляющее функтор.
Одна из трудностей в применении теоремы Гротендика заключается в том, что может быть трудно проверить, что функтор сохраняет все обратные образы. Шлезингер показал, что достаточно проверить, что функтор сохраняет обратные образы специального вида, что часто проще проверить. Теорема Шлезингера также дает условия, при которых функтор имеет оболочку, даже если она не представима.
Теорема Шессингера дает условия для того, чтобы многозначный функтор F на C был представим полной локальной Λ-алгеброй R с максимальным идеалом m таким, что R / m n принадлежит C для всех n .
Теорема Шлезингера утверждает, что функтор из C в множества, где F ( k ) — одноэлементное множество, представим полной нётеровой локальной алгеброй, если он обладает следующими свойствами, и имеет оболочку, если он обладает первыми тремя свойствами: